高一数学函数的奇偶性人教A版必修一

高一数学函数的奇偶性人教A版必修一第一页，共31页。第一页第二页，共31页。xy0第二页第三页，共31页。1.3.2函数奇偶性第三页第四页，共31页。o3-2421-119观察下图函数图像有什么共同的特征呢？o3-2221-113这两个函数的图像都关于y轴对称第四页第五页，共31页。f(x)=x2x-3-2-101230149149x-3-2-101230123123从函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？第五页第六页，共31页。函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)为偶函数.知识要点第六页第七页，共31页。偶函数图象的性质:偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.知识要点第七页第八页，共31页。观察下面函数图像，看下面函数是偶函数吗？xy1xy1-1思考：如果一个函数的图象关于y轴对称，它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称.第八页第九页，共31页。o3-2221-113-1-2-3观察下图图像有什么共同的特征呢？o3-2221-113-1-2-3f(x)=x两个函数的图像都关于原点对称.第九页第十页，共31页。f(x)=xx-3-2-101230-1-2-3123f(x)=x3x-3-2-101230-1-8-271827从函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？第十页第十一页，共31页。函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)奇函数.知识要点第十一页第十二页，共31页。奇函数图象的性质:⑴奇函数的图象关于原点对称.

反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,

那么这个函数为奇函数.知识要点第十二页第十三页，共31页。-23yox观察下面函数图像，看是奇函数吗？思考：如果一个函数的图象关于原点对称，它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称.yox-22第十三页第十四页，共31页。

1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.

2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．注意3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。第十四页第十五页，共31页。o3-2221-113o3-2221-113o3-2221-113-2-3o3-2221-11321f(x)=x第十五页第十六页，共31页。奇偶函数图象的性质可用于：①判断函数的奇偶性.②简化函数图象的画法.注意第十六页第十七页，共31页。（1）判断函数的奇偶性.（2）如图是函数图像的一部分，能否根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图像吗？

yx0（1）奇函数（2）根据奇函数的图像关于原点对称第十七页第十八页，共31页。例1说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4_______④f(x)=x-1________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2________偶函数③f(x)=x5________⑥f(x)=x-3

_____________结论：一般的，对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数.若n为奇数，则它为奇函数.第十八页第十九页，共31页。例2：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为（-∞，+∞）对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=-5x=-f(x)所以函数f(x)=5x为奇函数.第十九页第二十页，共31页。（2）对于函数的定义域为:（-∞，+∞）对于定义域中的每一个x，都有且所以函数既不是奇函数也不是偶函数.第二十页第二十一页，共31页。（3）对于函数的定义域为{x∣x≠0}

对于定义域中的每一个x，都有所以函数是奇函数.（4）对于函数f(x)=3的定义域为（-∞，+∞）对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=3=f(x)，所以函数f(x)=3是偶函数.第二十一页第二十二页，共31页。奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数（5）f(x)=0.（5）对于函数f(x)=0的定义域为（-∞，+∞）对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)，所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函数.根据奇偶性,函数可划分为四类:第二十二页第二十三页，共31页。判断或证明函数奇偶性的基本步骤：注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y轴对称或者关于原点对称。一看看定义域是否关于原点对称二找找关系f(x)与f(-x)三判断下结论奇或偶第二十三页第二十四页，共31页。练习判断下列函数的奇偶性：解：(1)因为所以f(x)是奇函数.因为f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函数.因为，所以f(x)是偶函数.第二十四页第二十五页，共31页。所以就谈不上与f(-3)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性.（5）函数的定义域为[-3,3),故f(3)不存在，同上可知函数没有奇偶性.故函数没有奇偶性.解：（4）当x=-3时，由于，故f(3)不存在，第二十五页第二十六页，共31页。例3已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，当

求（1)f(-1)；(2)若t<0,求f(t).第二十六页第二十七页，共31页。例4判断函数是否具有奇偶性？解：当a=0时，此时函数f(x)为奇函数.当a≠0时，此时f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定义域内恒成立，即函数既不是奇函数也不是偶函数.第二十七页第二十八页，共31页。1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,

如果都有f(－x)=-f(x)

f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)

f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称课堂小结第二十八页第二十九页，共31页。3.判断函数奇偶性的步骤和方法：先看