地理信息系统的数据处理

··74···75·一旦空间数据和非空间数据都输入计算机后，就须对输入的数据进展处理，数据处理是建立应用地理信息系统过程中不行缺少的一个阶段。在这个阶段中，一方面可对输入的数据进展质量检查与订正，其中包括：图形数据和属性数据的编辑、图形数据和属性数据之间的对应关系的校验及订正、空间数据的误差校正等；另一方面是对输入的图形数据进行整饰处理，以使这些图形数据能满足地理信息系统的各种应用要求，其中包括：对矢量数据的压缩与光滑处理、拓扑关系的建立、矢量数据与栅格数据的相互转换、图形的线性变换和投影变换、地图符号的设计及调用、图框的生成、地图裁剪以及图幅拼接等等。§5.1数据编辑又叫数字化编辑，它是指对地图资料数字化后的数据进展编辑加工，其主要目的是在改正数据过失的同时，相应地改正数字化资料的图形。大多数数据编辑都是消耗时间的交互处理过程，编辑时间与输入时间几乎一样多，有时甚至更多。全部编辑工作都GIS的图形编辑系统除具有图形编辑和属性编辑的功能外，还应具有窗口显示及操作功能，以到达数据编辑过程中的交互操作目的。一、窗口操作窗口操作是交互式图形编辑系统的重要工具，利用窗口我们既可以观看图形的全景，又可移动窗口观看图形的不同局部，还可以将图形局部放大，观看其细部，使图形的编辑、修改、设计更加便利、准确。开窗显示是窗口操作中主要而根本的功能，所谓开窗显示就是按用户指定的空间范围，进展图形子集合的选取，这个指定范围称之为“窗口存贮介质，对某个局部范围进展图形数据的显示或转贮时，往往都要使用开窗技术。开窗的方式有两种：正开窗和负开窗。正开窗就是选取整个图形数据在窗口内的子集合；负开窗就是选取整个图形数据在窗口外的子集合。在通常状况下，正开窗用途更大一些。窗口的外形通常为矩形，也可以是任意多边形，这依据用户的需要确定。窗口轮廓点坐标可由键盘输入，也可将全图显示在荧光屏上用光标确定。假设窗口为矩形，只要输入或标定窗口的两个对角坐标即可。在窗口确定以后，还要考虑如何切掉窗口以外(对正开窗)或以内(对负开窗)的线条，从而只显示窗口以内或以外的内容，这一过程称为裁剪。窗口规定了产生显示图形的范围，而视口(视见区)规定了显示图形在荧光屏上的位置和大小。要想按用户的需求实现开窗显示，就须用视见变换将窗口内的图形变换到显示器的视口中产生显示。下面就对开窗技术中所用到的裁剪技术和二维视见变换技术予以介绍。裁剪技术不同的图形需要实行不同的裁剪技术，一样元素对不同的窗口外形有不同的方法。现以正开窗且窗口为矩形来争论图形元素的裁剪方法。点的选取只要窗口左下角和右上角坐标，推断点是否在窗口内是格外简洁的。设窗口左下角和右上角坐标为：(x,y

)和(x,y),点p(x

,y),显示时只要下式x <x

<x且y <y<yp p p p

prr

就被选取，否则舍去。

l r l r线状要素的选取线状要素是由有序线段组成的折线来靠近的。因此对线状要素的选取只要争论线段的选取就可以了。下面介绍Cohen-Sutherland直线裁剪算法，首先对直线段的两个端点按所在区域进展分区编码，依据编码可以快速地判明全部在内的线和全部在某边界外侧的线。只有不属于这两种状况的线，才需要求出交点，舍去交点外侧局部。对剩余局部把它作为的线段对待，又从头开头考虑。两遍循环之后，就能确定该线段是局部裁留下来，还是全部舍弃。整个算法的思路和步骤如下：分区编码10011000101000010000100110001010000100000010设线段的两个端点为：P(x,y)和P(x,y),1 1 1 2 2 2依据上述的规章，可以求出P和P的区域代码C和C。1 2 1 2判别C和C的具体值，1 2可以有三种状况：两个端点码都是零，则两端点都在窗01010100 0110内，线段完全可见，承受此线段；两端点码对应位之间的规律与不是全为零，则它图5-1-1们处于窗某一边线的同一外侧，线段完全不行见，摒弃此线段；当两端点码不都是零，但各位的规律与都为零时，则线段可能局部可见，亦可能完全不行见，这时需要进展线段与窗边界交点位置计算。求交点通过端点P(xy)和P(xy

)的直线方程是：1 1 1 2 2 2ym(xx1

)y1

其中my2

y)/(x1

x)1直线与组成窗边的四条直线交点是：窗左边：xcl

x,yl

m(xl

x)y1

其中m窗右边：xcr

x,yr

m(xr

x)y1

其中m窗上边：xct窗下边：xcb

x1x1

1(ym 1(ym

y),y1 cty),y1

y其中m0ry其中m0l对剩下的线段，可重复a～d的步骤，至多重复到第三遍则为止。这时，剩下的线段或者全在窗内，或者全在窗外，从而完成了对线段的裁剪。面状要素(多边形)的选取多边形的边界也是一条有序线段组成的折线，只不过它是一条封闭的折线罢了。裁剪方法根本上同线状要素的处理，但在显示时要进展校正，即把窗口边界上有关线段参与显示局部的多边形的边并形成一个封闭的值。二维视见变换地理信息系统中的地图数据库涉及多种数据源，它们往往参考于不同的坐标系，这为空间数据处理带来很多不便。而各种图形输出设备，如图形屏幕显示器，绘图仪等，又各有其独特的坐标系。为了增加地图数据库的空间数据处理功能和更便利地使用各种图形输入、输出设备，需引入三种坐标系。世界坐标系(WC－WorldCoordinateSystem)世界坐标系是指用户坐标系。世界坐标系通常为直角坐标系，一般由用户自己选定，与机器设备无关。图形输入到数据库时所依据的就是这种坐标系，图形输出时应当照旧用用户所使用的坐标系，由于图形输出是面对用户的。用户坐标空间一般为实数域，理论上是连续的、无限的。作业区的左下角的坐标值通常为非零值。规格化数据库坐标系(NDC－NormalizedDatabaseCoordinateSystem)在图形输入时，其数据来源可能是不一样的，表现在它们的椭球参数、投影方式、比例尺以及单位等的不同。而图形输出时，又可能会由于用户的需求不一样，要求输出结果用不同的椭球参数、不同的投影方式、不同的比例尺、不同的单位等。为了在库中能统一治理，通常在地图数据库中使用规格化数据库坐标系，即在库中将使用统一的椭球参数、投影方式、比例尺和单位等。设备坐标系(DC－DeviceCoordinateSystem)设备坐标系是物理设备的I/O空间。每一种图形设备都有其独有的坐标系，在数字化坐标)，而不是该图所依据的投影坐标，因此，在一般状况下要进展从DC到WC的变换，使得一幅图的数据，特别是多幅有关联的图幅的数据位于一个统一的理论参考系中。在屏幕上显示图形或在绘图机上绘图时，则要作另一种坐标变换。坐标系之间的变换在地图数据库中，三种坐标系之间均是双向变换关系，如图5-1-2所示。世界坐标系图形数据入库规格化坐标系WCNDC〔用户坐标〕图形数据检索〔数据库坐标〕图图图形形交形输数互获出据编二维视见变换

图5-1-2三种坐标系的关系从图5-1-2可见，在进展图形数据交互编辑时，为了能实现开窗口，使得它在用户指定屏幕视口上显示图形，就必需进展NDCDCDCNDC数据编辑之前，用户先选定窗口范围(wxl,wyl)和(wxr,wyr)(vxl,vyl)(vxr,vyr)。然后进展二维视见变换，以实现在屏幕上适当位置正确显示窗口内数据，后可通过键盘或鼠标对屏幕图形进展交互式编辑。视见变换将两种不同坐标系中的图形联系起来，将窗口转为视口。转换过程是：先平移窗口使其左下角与坐标系原点重合，再比例变换使其大小与视口相等，最终再通过平移使其移到视口位置，窗口中的全部图形经过与此一样的变换后便成视口中的图形了。因此视见变换矩阵是：vxrvxl 0 0 1 0 0wxrwxl

1 0 0H 0 1 0 0

00 1 0

wyrwyl

wxl wyl 1

0 0

vxl vyl 1 vxrvxl 0 0 wxrwxl 0

vyrvyl 0wyrwyl vxlwxl

vxrvxl

vyrvyl 1wyrwyl 1取辑图形设备坐标系DC取辑图形设备坐标系DC〔设备相对坐标〕二、图形数据编辑空间和非空间数据输入时会产生一些误差，主要有：空间数据不完整或重复、空间数据位置不正确、空间数据变形、空间与非空间数据连接有误以及非空间数据不完整等。所以，在大多数状况下，当空间和非空间数据输入以后，必需经过检核，然后进展交互式编辑。一般来说，交互式进展图形数据编辑须按如下步骤进展：利用系统的文件治理功能，将存在地图数据库中的图形数据(文件)装入内存；开窗显示图形数据，检查错误之处；数字化定位和编辑修改；假设在编辑工作中消灭误操作，可用系统供给的多级Undo(懊悔)功能，改正误操作；当全部编辑工作完成后，再利用系统的文件治理功能，将编辑好的图形数据存贮到地图数据库中。步骤(3)所提到的数字化定位是指一旦觉察图形上的错误，数据库中相应的数字化数据就可找到，原则上数字检测的方法就是依据坐标、特征码和序列号。检测的方法取决于数字化数据的构造和资料本身。数据构造将在第六章中争论，须指出的是，在地图数据库中地图数据可能被处理的程度是衡量一个数据构造价值的重要标志。对图形数据编辑是通过向系统公布编辑命令(多数是窗口菜单)用光标激活来完成的，编辑命令主要有：增加数据、删除数据、修改数据三类。编辑的对象是点元、线元以及面元，而每种图元又包含空间数据和非空间数据两类。常用的编辑命令有：增加数据：输入点元、线元、面元；复制点元、线元、面元；删除数据：删除点元、线元、面元；修改空间位置数据：移动点元、线元、面元；旋转点元、线元、面元；镜像点元、线元、面元；修改空间外形数据：修改线上点；修改面元的弧段上的点；线元和孤段的端点匹配；延长或缩短线元以及面元的孤段；修改非空间数据：修改点元色、线元色、面元色；修改点元高度、宽度、角度；修改线宽；修改点元符号；修改线型符号；修改面元填充符号。三、属性数据编辑我们知道，地理信息系统所要猎取、治理以及分析加工的地理信息有三种形态：即空间信息、属性信息和关系信息。前面我已经表达有关空间信息——图形数据的编辑，关系信息的建立及编辑将在后面予以说明，这里介绍属性信息的编辑功能的实现。属性数据就是描述空间实体特征的数据集，这些数据主要是用来描述实体要素类别、级别等分类特征和其它质量特征。对属性数据的输入与编辑，一般是在属性数据处理模块中进展，但为了建立属性描述数据与几何图形的联系，通常需要在图形编辑系统中设计属性数据的编辑功能，主要是将一个实体的属性数据连接到相应的几何目标上，亦可在数字化及建立图形拓扑关系的同时或之后，比照一个几何目标直接输入属性数据。一个功能强的图形编辑系统可能供给删除、修改、拷贝属性等功能。§5.2空间数据的误差分析和校正一、空间数据的误差分析GISGIS数据，经过系统的处理、查询、分析等操作后，得到各种用户所需要的图形、图像、图表和文字等结果〔产品GISGIS不行避开的误差，描述数据的模型也只能是客观实体的一种近似，并且GIS产品的“生产”过程中——各种空间操作、处理等又会引入的误差或不确定性。因此，人们自然有理由要问：GISGISGIS得结论的准确度和可信度是多少？GISGIS题所作的结论？等等。用户在使用GIS解决具体问题的过程中，必需首先慎重地弄清上述一系列问题，才能作出正确的决策。这一点，在以往的GIS设计中常常被无视，使得由GIS生成的各种秀丽精巧图件与其内在质量不相符合而导致决策失误。GISGISGIS应当在供给产品的同时，附带供给产品的质量指标，就像测量工作者在供给大地坐标时，同时供给坐标精度一样。从应用角度看，GIS空间数据误差分析和处理的争论内容可概括为正演和反演两大问题。当GIS录入数据的误差和各种操作中引入误差时，计算GIS最终生成产品的误差大小和数值的过程是误差的正演问题。反之，依据用户对GIS定GIS录入数据误差和质量，则是误差的反演问题。明显，误差传播机制是解决正、反演问题的关键。GISGISGISGIS算法，削减GISGISGIS数据误差争论的主要对象是GIS野外直接进展数据采集)或间接法(指从地图等图件上进展数据采集)。因此，这方面的争论历史可追溯到GIS建立之前的大地测量、工程测量和摄影测量以及制图学中的经典误差理论。在GIS1969Frolov公式。1975Switzer1978Goodchild给出了检验多边形叠置过程中产生的无意义多边形统计量。1982年，Chrisman引入了著名的“ε1986年，Burrough对空间数据误差这一领域内的重要争论成果进展了总结。此外，Openshaw1975MacDougall。GIS80198812分析中心〔NCGIA〕主持召开的专题争论会，其宗旨就是为GIS空间数据误差争论拟定方向和立题。这是GIS误差理论争论史上的一个里程碑，标志着人们对GIS误差问题进展系统争论的开头。1990年以前，GIS数据误差争论的重点集中在误差的来源分析、空间和非空间误差度GIS环境下将误差传播模拟的众多内容联系起来，甚至有些争论是独立于GIS环境之外进展的，GISGIS数据误差问题各项争论的深入，估量将来的GIS尽管GIS数据误差理论的争论内容繁多，但就目前来看，最有前途的进展方向可概括7建立误差分析体系这个体系包括误差源确实定、误差的鉴别和度量方法、误差传播模型的建立以及把握和减弱误差对GIS产品影响的方法。传统的概率统计仍是建立误差分析体系的理论根底。但是，必需依据GIS用敏感度分析法确定评价GIS产品质量的置信域一般而言，准确确定GIS输入数据的实际误差格外困难。为了从理论上了解输出结果如何随输入数据误差的变化而变化，可以人为地在输入数据中加上扰动值来检验输出结果对这些扰动值的敏感程度。依据适合度分析，置信区间是衡量由输入数据误差引起输出结果变化的指标。目前应用最广泛的两种适合度分析是加权叠置和加权多维尺度变换。为了确定置信域，即敏感度，从这种争论中得到的并不是输出结果的真实误差，而是输出结果的变化范围。对于某些难以确定的误差，这种方法是行之有效的。在GIS中，敏感度检验一般有下面几种：地理敏感度、属性敏感度、面积敏感度、多边形敏感度和增删图层敏感度。敏感度分析是一种间接测定GIS尺度不变空间分析法地理数据的分析结果应与承受的空间坐标系统无关，即尺度不变空间分析，它包括比例不变和平移不变。在集合分析和建模过程中，当把面元作为空间数据采集单元时，为了保证在转变面元集合方式的状况下不影响分析结果，需要满足尺度不变条件。此外，假设把空间集合看成空间滤波器时，用尺度不变空间分析法就可以严格地测定空间集合的影响程度。尺度不变是数理统计中常用的一个准则：一方面能保证用不同方法得到的结果全都；另一方面又可在同一尺度下合理地衡量估值的精度。空间集合与分区法在GIS分析中，常常把小区域看成面元，而一个大区域又由假设干面元组成。这在城市规划和社会经济分析中是常见的。这种面元可以是正规的方格形，也可以是不规章的三角形。每个面元的大小是空间精度的一个函数，由此引入了一个用于处理空间数据误差或不确定性的根本方法。由于将面元看成是建立GIS空间数据误差模型的随机抽样点。因此，需要首先划分争论区域，然后对每个区或面元所包含的信息进展集合或综合抽象，而面元的大小和信息的综合方法又直接影响结果的精度。空间数据误差的概念模式我们可以把地理要素定义在空间(几何位置)、专题(属性)和时间三个维度中，每个维度的精度可由相应的误差大小来描述，例如，空间位置误差是由三维坐标精度来描述的，专题数据精度取决于数据的类型，它们常常与位置精度有关；在空间数据精度分析中常常被无视的是时间精度，数据的牢靠程度通常是时间的反函数，由于数据的空间属性和专题属性是随时间的变化而变化的。空间数据误差的特点之一是多样性。数据质量包括6个主要局部：位置精度、属性精度、数据状况说明、规律全都性以及完整性和时间精度。位置精度和属性精度分别指精度的空间因素和专题因素。数据状况说明系指数据的来源、数据处理和编码方法以及对数据所的边长和面积)以及专题属性的全都性。完整性是指描述数据库中目标以及目标的抽象概括之间的关系。总之，空间数据误差可以认为是由空间、专题和时间三个误差重量组成的。蒙特卡洛试验仿真GISGIS，既有描述空间拓朴关系的几何数据，也有描述空间物体内涵的属性数据。对于属性数据的精度常常只能用打分或不确定度来表示。对于不同的用户，由于专业领域的限制和需要，数据牢靠性的评价标准并不一样。因此，想用一个简洁的、固定不变的统计模型描述GIS〔MonteCarlo〕模拟仿真是一种有效方法，它首先依据阅历对数据误差的种类和分布模式进展假设，然后利用计算机进展模拟试验，将所得结果与实际结果进展比较，找出与实际结果最接近的模型。对于某些无法用数学表达式描述的过程，用这种方法既可得到有用公式，也可检验理论争论的正确性。空间滤波猎取空间数据的方法可能是不同的，既可以承受连续方式采集，也可以承受离散方式。这些数据的采集过程又可以看成是随机采样，其中包含倾向性局部和随机性局部。前者代表所采集物体的外形信息，它可以是确定性参数，也可以是带有先验性质的信号；后者是由观测噪声引起的。空间滤波分高通滤波和低通滤波。前者指从含有噪声的数据中分别提取噪声信息的过程；而后者指从数据中提取信号的过程。经高通滤波后可得到一个点(或线、面)的随机噪声场，然后按随机过程理论或方差－协方差重量估量理论求得数据采集误差。二、空间数据的误差校正前节表达的数据编辑处理，一般只能消退或削减在数字化过程中因操作产生的局部误差或明显过失，但因图纸变形和数字化过程的随机误差所产生的影响，必需经过几何校正。从理论上讲，几何校正是依据图形的变样子况，计算出其校正系数，然后依据校正系数，校正变形图形。常用的几何校正方法有一次变换、二次变换以及高次变换，下面简洁介绍它们。二次变换和高次变换这两种变换是实施地图内容转换的多项式拟合方法，它由以下多项式表达：x”f1

(x,y)a1

xa2

ya11

x2a12

xya22

y2Ay”f2

(x,y)b1

xb2

yb11

x2b12

xyb22

y2Bx，y为变换前坐标，xy′为变换后的坐标；系数a,b是函数f,f的待定系数。1 2AB假设不考虑AB，则上式为二次曲线方程：x”f1

(x,y)a1

xa2

ya11

x2a12

xya y222y”f2

(x,y)b1

xb2

yb11

x2b12

xyb y222符合上列二次曲线方程的变换为二次变换。这两种变换的实质是：制图资料上的直线经变换后，可能为二次曲线或高次曲线，它适用于原图有非线性变形的状况。55个点的坐标及其相应的理论值，便可能算出a和b，从而建立起变换方程，完成几何校正的任务，即对数字化的地图的全部空间数据进展校正。实际应用时，可取多于5个点及其理论值，并用最小二乘法求解，可提高解算系数的精度。所选点的分布应能把握全图。一次变换同素变换和仿射变换均为一次变换。同素变换是一种较简洁的一次变换形式，其函数式为axayax” 1c1b

2xc2xb

3yc3yby”1 2 3cxc1 2

yc3其主要性质有：直线变换后仍为直线，但同一线段上长度比不是常数；平行线变换后为直线束；同一线束中经一割线的穿插比在变换前后保持不变；通过同一割线上相应各点的线束的穿插比在变换前后也保持不变。仿射变换是一种比较简洁的一次变换，其表达式为：x”a1y”b

xa2xb

ya3yb1 2式中33个对应点坐标都可求得。实际应用时，往往利用4个以上对应点坐标和最小二乘方法求解变换系数，以提高变换精度。仿射变换的特点是：直线变换后仍为直线；平行线变换后的仍为平行线，并保持简洁的长度比；不同方向上的长度比发生变化。§5.3在空间数据输入计算机后，有时为了削减数据的存贮量节约存贮空间，加快后继处理速度，把大量的原始数据转换为有用的、有条理的、精炼而简洁的信息的过程，这就称为数据简化或数据压缩。数据压缩的主要对象是线状要素中心轴线和面状要素边界数据。相反，在进展图形输出时，又需要将以前压缩的数据恢复成其原原来面目，必需对它们进展光滑，这称为曲线光滑。一、数据压缩常用的数据压缩方法有如下几种。间隔取点法每隔k个点取一点，或每隔一规定的距离取一点，但首末点确定要保存。这种方法可大量压缩数字化使用连续方法猎取的点和栅格数据矢量化而得到的点，但不愿定能恰当地保存方向上曲率显著变化的点。垂距法5-3-1P点的垂2距大于限差，应保存；P点的垂距小于限差，予以舍弃。3合并法〔偏角法〕这个方法是沿着边界限，逐点计算通过当前点PL和L之间的夹角α，j j1 j2 jL是经过PP两点的直线，而LPP这两点的直线。假设｜α｜小于j1 j j-k0 j2 j j+k0 j某一阈值α，那么就认为P5-3-2o jP P2 j限差P α Pj-2 j j+2P P1 3P4图5-3-1垂距法 图5-3-2合并法分裂法(道格拉斯－普克法)这个方法可用以下几步来描述：在给定的曲线的两端之间连始终线。对曲线上每一点计算它与直线的垂直距离。假设全部这些距离均小于某一阈值ε ，o那么就用它来表示原曲线。假设(2)中条件不满足，含有最大垂直距离的点P为保存点将原曲线分成两段曲线，j对它们递归地重复使用分裂法。此法试图保持曲线走向和允许使用人员规定合理的限差，其执行过程如图5-3-3所示。图中，实线为原曲线，虚线为压缩后的曲线。(a) (b) (c) (d)图5-3-3分裂法(道格拉斯－普克法)二、曲线光滑(曲线拟合)曲线光滑是假想曲线(或接近它们的曲线)为一组离散点，查找形式比较简洁、性能良好的曲线解析式。曲线光滑有两种方式：插值方式与靠近方式，前者所得到的曲线通过原先给定的离散点；而后者的曲线与所给的离散点相当“接近学方法。拉格朗日插值曲线设多项式曲线通过k1个把握点(x0式为：

,y,z0

),(x,y,z1 1

), (xk

,y,zk

),拉格朗日插值多项ii0

f(t)l(t)i i

(531)其中l(t)称为混合函数，它可写成：ilt)kij0ij

tt)/kjj0ij

(tt)j

(532)l(ti

) 1j ij 0

jit1，t0，t1，t2，由此可得四个混合函数。0 1 2 3由此可见，当ti时，函数l(t)将对第i个把握点具有完全把握权。实际上，参数值t的i具体值不重要，重要的是正确的次序。例如，可设计如下的混合函数：t(t1)(t2) t(t1)(t2)l(t) 0 (1)(2)(3) 6l(t)1

(1)(1)(2) 2(t1)t(t2) (t1)t(t2)l(t)2

(2)(1)(1) 2(t1)t(t1) (t1)t(t1)l(t)3

(3)(2)(1) 6利用这些函数及四个样本点，可产生通过这四个样本点的曲线：xxl 00

(t)xl11

(t)xl22

(t)xl33

(t)yyl 00

(t)yl11

(t)yl22

(t)yl33

(t) (5-3-3)zzl(t)zl(t)zl(t)zl(t)00 11 22 33由式(5-3-3)可见，由四个把握点得到的曲线是三次多项式，假设想用三次多项式来得到多于四个把握点的曲线，整条曲线可重复这一过程：先取邻近的样本点(0，1，2，3)并在中间两点(1，2)作靠近，然后往前推动一个样本点即在这一边取一个的样本点，而在另一边丢掉一个点，于是得到(1，2，3，4)，然后再靠近曲线(2，3)局部，如此连续地移动样本点，始终到整条曲线画完为止。曲线的开头局部及最终局部需做特别处理。三次样条曲线x，y，zt的三次多项式。为了不失一般0≤t≤1。因此：x(t)a

t3bx

t2c

td x xy(t)a

t3by

t2c

y

0≤t≤1yz(t)az

t3bz

t2cz

td z用矢量形式表示成：p(t)at3bt2ctd 0≤t≤1 (5-3-4)现在的目的是对给定的一组把握点Q，QQ，找出由n段如式(5-3-4)形式的三0 1 n次曲线拼合而成，且通过这些把握点的一条三次曲线，该曲线上的任一点有直到二阶导数的连续性。下面说明求出n(5-3-4)所示的方程系数：QQ之间的三次曲线段为p(t)，则在QQi i i-1 ip(0)QiQ

i1

dp(t)

Qi1dp(tdp(t)idt

idtidti i i由(5-3-4)和(5-3-5)可得到如下关系：p(0)d i

Qi1dpidt

ct0

Q”

i1iaibi

cd Qi i idp

3a2bcQ”dt

i i i i解上面联立方程组得：a Q”Q” 2(QQ )i ib Q”

i12Q”

i

i1Q )i c Q”

i1

i i1

(5-3-6)i i1d Qi i1 p(t)Q”i i

Q”i1

2(QiQi1

Q”i

2Q”i1

3(QiQi1

Q”i1

Q

i1

0≤t≤1pi1

(t)Q”i1

Q”i

2(Q

i1

i

Q”i1

2Q”i

i1

i

Q”tQi i0≤t≤1依据三次样条曲线在任一点都有直到二阶导数的连续性可知，在点Qi

处的二阶导数是连续的，故有：

(0)i

其中p“(1)6Q”Q”

)2Q”2Q”

Q )i i

i

i

i i12(2Q”Q” )6(QQ )i i1 i i1 p“ (0)2Q” 2Q”3(Q Q)i1即得

i1 i

i1 i 2(2Q”Q”

)6(QQ

) 2Q” 2Q”3(Q Q)i整理得方程：

i1

i i1

i1 i

i1 iQ” 4Q”Q”

Q )i1

i

i1

i1上式方程中，i可为全部把握点的任一点，故可得n-1个这样的方程，联立这些方程，并用矩阵表示可得下式：14100 ... 00014100 ... 000Q”01410 ... 00 0Q” 2 00 11

Q Q 0 0 1 4 1 ... 0 0 0·Q”

3 =3Q Q

(5-3-7) ...

2

4 2...n ... n0

0 0 0 0 ... 1 4 1 Q”

Qn

Q n2方程(5-3-7)左边有n+1n-1定这个方程组。通常可指定两端点Q0

和Q的切线向量Q”n 0

和Q”n

为，则式(5-3-7)可重排列成下面形式：

410000 ... 00410000 ... 00141000 ... 00

Q Q 1Q” 12Q” 2

2 0 3 03 Q Q 3 0 1 4 1 0 0 ... 0 0·Q”

=3 Q Q

(5-3-8) ...

3 ...

4 2 ... 0

0 0 0 0 0 ... 1 4 Q”

Q Q 1Q”n1 n n2 3 n利用追踪法可很便利地求出式(5-3-8)中的切线向量Q”,Q”,...Q”

。其追赶计算公式1 2 n1是：i

1 4i1

i

i1

)*i i

(i=1,2,„n) (5-3-9)其中 0, 0,为式(5-3-8)等式右边列矩阵的各系数。0 0 iQ”i i

Q”i i1

(i=n-1,„，2，1) (5-3-10)其中Q”n

。n求出切线向量Q”Q”,...Q”

后，分别将它们代入式〔5-3-6〕以求出各曲线段的三次多项式系数。

1 2 n1实现三次样条的算法步骤：①输入把握点坐标QQ0 1

,...Q；n②输入Q”,Q”;0 n③用式(5-3-9)和式(5-3-8)的等式右边矩阵计算,;i i i④用式(5-3-10)求Q”;i⑤i=1;⑥假设i<n则{ 用式〔5-3-6〕求第iabi ij=1;

,c,di i;假设j≤max则 /*max为每个曲线段中要插入的点数*/{ t=j/max;p(t)at3bt2ctdi i i ij=j+1;}i=i+1;}算法完毕。Qi

Qi

，，i，i

、三次多项式系数a,bi i

,c,di

pi

(t)，编程序时须留意。贝齐尔曲线和拉格朗日插值曲线以及三次样条曲线不同的是，贝齐尔曲线和后面介绍的B样条曲线并不通过给定的把握点，而只是利用这些把握点的转变来到达曲线外形的变化。贝齐尔曲线是由给定的n+1个把握点Qi来定义，其形式为：pt)ni0

QB (t) 0t1 (5-3-11)i i,nBi,n

(t)是一个混合函数：Bi,n

(t)C(n,i)ti(1t)niC(n,i)是二项式系数： n! C(n,i)i!(ni)!实际计算过程中，可将(5-3-11)矢量方程分别写出其三个重量的表示式：xt)

xBi i,n

(t)i0 yt)

yBi i,n

(t)

(5-3-12)i0 zt)ni0

zBi i,n

(t)B前述的贝齐尔曲线可通过调整把握点的位置来转变，但调整一个把握点会影响整条曲线，这正是贝齐尔曲线的缺乏之处。70B样条曲线是在贝齐尔曲线的根底上进展而来，且有更多的优势，表现在：生成的曲线与把握多边形的外形更接近；具有局部把握的特性；整体上有确定阶数的连续性。Bpt)ni0

QN (t) (5-3-13)i i,kk-1阶的混合函数N (t)可递归地定义如下：i,k1

tttN (t) i

i1i,1

0

其它状况(tt)N (t) (t t)N (t)N (t) i i,k1 ik i1,k1

(5-3-14)i,k

tik1ti

tik

ti10／0=0t的变化是沿曲线p(t0t ，选定结点值t至t 的规章如下：max 0 nkt 0 当ikit

1 当kiniti

2 当in§5.4图形变换对于输入计算机中的图形数据，有时由于比例尺不符，或为了实现地图的合成与排版，需要对这些图形数据进展几何变换(线性变换)，可满足地理信息系统应用的要求。此外，仪)上表示三维物体，就需进展三维空间到二维空间的变换，这种变换称为投影变换。一、几何变换二维几何变换二维几何变换包括平移、比例和旋转变换。我们假设变换前和变换后的图形坐标分别用(x、y)和(x′、y′)表示。平移、比例和旋转变换平移变换：如图5-4-1(a)所示，它使图形移动位置。图p′的每一图元点是原图形p中每个图元点在xy方向分别移动TxTyx′=x+Tx和y′=y+Ty可利用矩阵形式表示成：［x′y′］=［xy］+［TxTy］简记为P′=P+T，T=［TxTy］是平移变换矩阵(行向量)。比例变换：如图5-4-1(b)所示，它转变显示图形的比例。图形p′的每个图元点的坐标值是原图形pSx和Sy，所以对应点之间的坐标值满足关系式x′=x·Sx和y′=y·Sy可利用矩阵形式表示成：x” y”x

s 0 0 s y简记成p′=P·S，其中S是比例变换矩阵。旋转变换：图形相对坐标原点的旋转如图5-4-1(c)所示，它产生图形位置和方向的变P′的每个图元点是原图形P每个图元点保持离坐标原点距离不变并绕原点旋转θ角产生的，以逆时针方向旋转为正角度，对应图元点的坐标值满足关系式x′=xcosθ-ysinθ和y′=xsinθ+ycosθ用矩阵形式表示成x”

sincos简记为P′=P·R，其中R是旋转变换矩阵。y2p’1y2p’1pyp’py21p’θ10 1 2 0 1 2 0 1 2平移 〔b〕比例 旋转图5-4-1三种根本图形变换齐次坐标系在上述三种变换中，比例和旋转变换都是作矩阵乘法。假设这样的变换进展组合，例如旋转变换后再作比例变换，我们可得PS=(R)。依据矩阵乘法的性质，我们可得(P·R)·S=P·(R·S)，其中(R·S)构成组合变换矩阵。假设很多图形进展一样的变换，则P′=P+T，假设也能够承受矩阵的相乘形式，则三种变换便能利用矩阵乘法任意组合了。承受几何学中的齐次坐标系可到达此目的。即n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。例如二维空间直线ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以X、YW三维变量，构成没有常数项的三维平面(固此得名齐次空间)。点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,wWnn+1间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。例如齐次空间点P(X、Y、W)对应的x=X/Wy=Y/W。将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时，W1。齐次坐标系中的根本二维几何变换可表示成：平移：x”

y”

1 y 10 T T

0xy0PT(T,T)xy1x y 比例：

S

0 0x” y” 1x

y 100

Sy 0PS(Sx,Sy)0 1绕坐标原点旋转：x” y”

cosy 1sin0

sincos0

00PR()1变换的组合在齐次坐标中三种根本变换都用矩阵乘法表示，从而可以通过根本变换矩阵的连乘来实现变换组合，以到达特别变换的目的。例如，将图形绕任意点A(xr,yr)进展旋转变换。该变换可分成三个步骤来实现：利用平移变换T1(-Xr,-Yr)移动图形，使点(Xr,Yr)移至坐R(θ)产生绕在坐标原点的AT2(Xr，Yr)移动旋转后的图形，使A(Xr,Yr)处。所以完成全部变换的图形坐标可以表示成：x” y”

y 1

(xr

,yr

)R()T(x,y)2 r rx

y 1

(xr

,yr

)R()T(x,y)}2 r rx

100100cossin0000010sincos0010xr

ry 1 r

r0 1xr

y 1r所以绕点〔Xr,Yr〕旋转θ角的复合变换矩阵是： cos sin T(x1

,yr

)R()T(x,y2 r

) sin cos 0(1cos)xr

ysin (1cos)yr

xsin 1r任意矩阵的乘法满足结合律不满足交换律，在进展连续变换时确定要按变换次序对变矩阵求积后才得总的变换矩阵。这和在图形变换中不同次序的变换会产生不同的变换结果相全都。请读者自行验证。三维几何变换根本的三维几何变换也是平移、比例和旋转。平移和比例变换是二维状况的直接推广。平移变换：x” y” z” 1x y z 1T(Tx,Ty,Tz其中T(T,T,Tx y z

1 0 0 000 1 0 0) 0 0 1 0Tx Ty Tz 1比例变换：x” y” z” y z 1S(SSS其中x y zS x

0 0S(S,S,Sx y z

)0000

Sy 0 00 S 01z 10 0 旋转变换：三维坐标系中绕过坐标原点的任意方向直线的旋转可由绕三个坐标轴的旋转组合构成。我们规定旋转正方向与坐标轴矢量符合右手法则，即从坐标轴正值点向坐标原点观看，逆时针方向转动的角度为正。旋转方向的定义如图5-4-2绕Z轴的旋转不转变原空间点的Z坐标 yo5-4-2旋转方向的定义o5-4-2旋转方向的定义x” y” z” 1x y z z

由坐标轴的对称性，绕x轴的旋转不转变空间点的x坐标值，绕y轴的旋转不转变y坐 x标值。因此绕x轴旋转的坐标变换关系和绕y z轴旋转的坐标变换关系是：x” y” z” y z x其中，

(和x”

y” z” y z

()ycos 0Ry()sin

0 sin 01 0 00 cos 00

cossinz 0

sincos0

0 000 01 01100000 1100000 01 0 0 000 cos0Rx() sin0

sin cos 00100 0100 二、投影变换实际物体都是三维的，可以在三维直角坐标系中描述，但显示屏是二维的，所以最终还是用二维图形基元产生图形。从三维物体模型描述到二维图形描述的转换过程称为投影变换。精准地说，从空间选定的一个投影中心和物体上每点连直线便构成了一簇射线，射线与选定的投影平面的交点集便是物体的投影。投影变换可分类如下： 主视图 正投影

俯视图

侧视图 正平行投影

正等轴测投影平行投影

正轴测投影

正二轴测投影

正三轴测投影 斜等测投影投影 斜等测投影 斜平行投影斜二测投影 其它斜平行投影 一点透视 透视投影二点透视 三点透视平行投影与透视投影间的区分在于投影射线是相互平行还是会聚于一点，或说投影中心是在无限远处还是在有限远处，正平行投影与斜平行投影的区分在于投影线是否与投影平面垂直。正平行投影变换由前述，正平行投影的投影中心是在无限远处，且投影射线与投影平面垂直。正投影正投影的投影方向与用户坐标系的某个坐标轴方向平行，即投影方向与另外两个坐标轴组成的平面是垂直的。在观看坐标系中进展平行正投影很便利，由于是按Z方向投影，物体的投影图坐标便与它的ZZZ方向正投影的变换可表示成：x y zp p p

1xo

y z o o

zort10M zort 000

0 0 01 0 00 0 00 0 1Xp、Yp、ZpXo、YoZo正轴测投影正轴测投影的投影方向不与坐标轴方向平行，常用的有投影方向与各坐标轴夹角相等的正等轴测投影，此时物体中各边以一样比例缩小；使两个边等比例缩小的正二轴测投影和使三条边以不同比例缩小的正三轴测投影等。为了到达投影要求，需在用户坐标系中安排恰当的观看坐标系位置。假设观看坐标系与用户坐标系重合。经过将用户坐标系先绕yθ角，再绕x角的变换，形成观看坐标系与用户坐标系的的位置关系，如图5-4-3所示。两坐标系之间的变换矩阵为：HR

()yxcosyxcos0sin01000

00 cos

sin 0sin

0 cos

00

cos 00 0 0

10

0 1cos 0sin

sinsincoscossin

sincos 0sin 0coscos 001000 1000 y(v) vy’x’B’y’x’B’A’oC’vpnz’o A x(u) uCZ(vpn)(a)观看坐标系与用户坐标系重合 (b)旋转变换后两坐标系的位置关系图5-4-3旋转变换后两坐标系的位置关系以正二轴测投影为例，用户坐标系中x轴上A点100］变换后为100·H=[coθ siθsin -siθ·co ，y轴上B点010］变换后为0101·H=[0cosi。在观看坐标系中的正投影是去除Z重量。这两点到坐标原点的长度是xx2y2。按正二轴测投影的要求，原用户坐标系中x和y方向单位长度的投影长度应相等：AOBO，即cos2sin2sin2cos，将该式化简得sin2tg2。再确定Z轴缩短比例为d，C点坐标0 0 1 sin2cos2sin2d2。解方程组sin2tgsin2cos2sin2d2

cossin coscos 得即可得出正二轴测投影的变换矩阵。斜平行投影变换斜平行投影是指投影射线方向不与投影平面垂直的平行投影。假设投影方向用矢量［A，B，C］表示，则点(Xo,Yo,Zo)的投影直线可用参数写成：x Atxp oy Bty p ozpCtzoZ=0t=-Zo/C，所以投影点的坐标Xp=Xo－A·Zo/CYp=Yo－B·Zo/C。这些变换关系可写成：x y zp p

o

y z o ob1 0 0 00 1 0 0M A B ob 0 0 C C 0 0 0 1常用的斜平行投影有投影方向与投影平面成45°的斜等测投影，它保持平行投影平面和垂直投影平面的线的投影长度不变，以及与投影平面成arctg(1/2)角的斜二测投影，它使垂直投影平面的线产生长度为原来1/2透视投影变换从一点(有限远处的视点)动身，看空间物体在某个平面上的投影称为透视投影。透视投影变换的观看坐标系中，投影中心处为坐标系原点，投影平面与Z轴垂直并距原点距离为d。由相像三角形关系求得空间点P(Xo，Yo，Zo)和投影平面上投影点P′(Xp，Yp，Zp)的坐标关系。y y d和xp o z o

x dzo可见随物距Zo的增大，投影点的XpYp

1 0 0 00 1 0 0x” y”p

z” wxp

y z 1 1o o 0 0 1 10 d0 0 0 0x”p

y” z” wx

y z z /d,可见wz /d,所以x x” /wx d/z,o o o o p p o oy y” /wy d/z和z z” /wd，这确实是投影点的坐标。p p o o p p§5.5在地理信息系统领域里，栅格数据与矢量数据各有千秋，它们互为补充，必要时相互转换，这是由地理信息系统处理方式以及这两种数据格式各自的特点所打算的。一、矢量数据转换成栅格数据 /参考计算机图形学学问点的栅格化y习惯上，矢量数据中的点坐标用X、Y来表示，而在栅格数据中，像元的行、列号用I、J5-5-1，设OO′(Xo,Yo)为栅格数据的坐标原点。格网的行平行于XYA该点在矢量和栅格数据中可分别表示为(X，Y)和(I，J)。yyo’(Xo,Yo)J由图5-5-1，不难理解，将点的矢量坐X、Y式中，DX、DY分别表示一个栅格的宽和高，I xA当栅格通常为正方形时，DX=DY。[]表示取整。 Y YI1 O DY (5-5-1) XX 0 x5-5-1栅格点坐标与矢量点坐标的关系

J1

DXO线段的栅格化 //将几何上的线段显示在光栅显示器的显示平面上的算法在矢量数据中，曲线是由折线来靠近的。因此只要说明白一条直线段如何被栅格化，对任何线划的栅格化过程也就清楚了。图5-5-2说明白线划栅格化的二种不同方法，即八方向栅格化和全路径栅格化。●●2●●2●●●●●●●●●●●●●1●●1●a●e八方向栅格化 (b)全路径栅格化图5-5-2二种栅格化方案八方向栅格化依据矢量的倾角状况，在每行或每列上，只有一个像元被“涂黑保持八方向连通的前提下，栅格影像看起来最细，不同线划间最不易“粘连12线段的两个端点，其坐标分别为(X1,Y1)、(X2，Y2)。先按上述点的栅格化方法，确定端点1和2所在的行、列号(I1、J1)及(I2，J2)，并将它