省直辖县级行政区划天门市东方高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析

省直辖县级行政区划天门市东方高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数，则的虚部为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）的值域为（）A．[﹣1，] B．[，1] C．[﹣，1] D．[﹣1，1]参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用函数图象可得A=1，=16，ω=，利用函数过点（1，1），可求φ，利用正弦函数的图象和性质即可得解所求值域．【解答】解：由题意，A=1，=16，ω=，∴f（x）=sin（x+φ），（1，1）代入可得+φ=+2kπ，∵﹣＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+），当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）的值域为[，1]，故选：B．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题．3.设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，a=（）A． B． C．1 D．2参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】可以作出不等式的平面区域，根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，得到a+1=2，解得即可【解答】解：画出可行域如图，可知z在H（1，1）处取得最小值，故a+1=2，a=1，故选C．【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）参考答案：A考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答： 解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．5.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：C略6.在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若,则的最大值为（

）A.

B.1

C.2

D.3参考答案：B略7.对于函数，若存在区间（其中），使得则称区间M为函数的一个“稳定区间”。给出下列4个函数：①②③④其中存在“稳定区间”的函数有 （

）A．①③

B．①②③

C．①②③④

D．②④参考答案：B8.设函数，区间M=[a，b](a<b)，集合N={}，则使M=N成立的实数对(a，b)有

(

)

A．0个

B．1个

C．2个

D．无数多个参考答案：A9.已知为虚数单位，则的值等于A.

B.

C.

D.参考答案：C10.已知向量。则是的

A．充分不必要祭件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外15人选修B课程，其它人不选任何课程，从中任选两名学生，则他们选修不同课程的学生概率为__________。参考答案：12.已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有3个不同的实根，则实数k的取值范围为

参考答案：1＜k≤2考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意作函数f（x）=的图象，由图象得到．解答： 解：作函数f（x）=的图象如下图，则由图象可知，1＜k≤2点评：本题考查了学生的作图与应用图象的能力，属于基础题．13.设函数，，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于______________.参考答案：614.若复数z满足是虚数单位)，则z的虚部为

．参考答案：－1由题得所以复数z的虚部为－1.故答案为：－1

15.从圆外一点向这个圆作两条切线，切点分别为A，B，则______．参考答案：【分析】由题意作出图像，记圆的圆心为，根据题意得到，得到，根据题意求出，再由二倍角公式即可求出结果.【详解】先由题意作出图像如下图：记圆的圆心为，由题意，易得，所以，因此；因为，所以，，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记二倍角公式即可，属于常考题型.16.点M(x，y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，使z＝y－2x的值取得最小的点为A(x0，y0)，则(O为坐标原点)的取值范围是________．参考答案：[0,6]作出可行域Ω为如图四边形OBCD区域，作直线l0：y－2x＝0，平移l0，当平移到经过点【答案】【解析】17.已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式组进行化简，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：∵y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u=1﹣v，即v+u﹣1=0的距离最小，此时d=，故u2+v2的最小值为d2=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.参考答案：解：（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由题设知，所以，故，．以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），=(1，0，0)，，．设平面EBC的法向量为n=（x，y，z），则即所以可取n=.设平面的法向量为m=（x，y，z），则即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值为．

19.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高5m，隧道全长2.5km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽是多少？（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程

量最小，则应如何设计拱高h和拱宽？（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高。）（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少。

参考答案：解：（1）如下图建立直角坐标系，则点P（10，2），椭圆方程为+=1，将b=h－3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，l=2a=，隧道的拱宽约为m。5分

（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭圆的面积最小即可。由椭圆方程+=1，得+=1。因为+≥，即ab≥40，…8分所以半椭圆面积S=≥。当S取最小值时，有==，得a=10，b=，此时l=2a=20，

h=b+3=+3，故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小

13分（3）设，设=+·=2（10），则令得或17（舍）∴时，取最小值，此时,代入椭圆方程得

∴…

13分略20.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，90°,,是的中点.

（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）若为上一点，且，求二面角的大小.参考答案：解法一：

（Ⅰ）取的中点，连，则∥，

∴或其补角是异面直线与所成的角.……2分

设，则，

.

∴.………………4分

∵在中，.……5分

∴异面直线与所成的角为.……………6分

（Ⅱ）连结，设是的中点，过点作于，连结，则

.又∵平面平面

∴平面.………8分

而

∴

∴是二面角的平面角.…………………9分

由=，=，，得.……………10分

即二面角为

∴所求二面角为.………………12分解法二：（Ⅰ）如图分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.……………………1分

设，则、、、

、.

………2分

∴，

∴.………5分

∴异面直线与所成的角为.

………6分（Ⅱ）由题意知点，设平面的一个法向量为，则，∵，∴，取，得.………………8分易知平面的一个法向量，

∴.

…………11分

∴二面角的大小为.

…………12分21.已知函数（1）设（2）在

求的值。

参考答案：(1)(2)解析：(1)由已知，由得，于是（2）由f（C）=+1得f（C）=2cos=+1sinC﹣cosC=﹣1

…2分sin（C﹣）=﹣

…4分所以C﹣=﹣，C=

又因为的面积为，所以可得，由余弦定理得，所以由正弦定理得

略22.已知直线x﹣y+a=0与圆心为