2022-2023学年湖南省株洲市腰陂中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省株洲市腰陂中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.的展开式中，项的系数为，则实数的值为

A、2

B、3

C、-2

D、2或3参考答案：D2.在中，角C为最大角，且，则是（

）A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．形状不确定参考答案：A3.已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.【详解】时，,为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，，得对任意恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.5.若复数满足，是虚数单位，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略6.已知命题p:；q:；r:∥平面，则直线；s:同时抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率为，则下列复合命题中正确的是A、p且q

B、r或s

C、非r D、q或s参考答案：B略7.已知正数满足,则的最小值为

(A)6

(B)5 (C)

(D)参考答案：答案：C8.若复数满足(其中为虚数单位)，则复数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D9.设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是

(A)p为真(B)为假(C)为假(D)为真参考答案：C10.已知幂函数的图象不过原点，则的值为（

）A．6

B．3

C．3或6

D．3或0参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为

．参考答案：时，，符合题意，当时，，得，综上有．考点：函数的定义域．【名师点晴】本题表面上考查函数的定义域，实质是考查不等式恒成立问题，即恒成立，这里易错的地方是只是利用判别式，求得，没有讨论二次项系数为0的情形．12.已知α，β∈，sn(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.参考答案：－13.（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为

．参考答案：8考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．专题： 计算题；压轴题．分析： 由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．解答： 解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：8点评： 本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．14.已知，则=_____________参考答案：略15.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列四个图象可以为y＝f(x)的图象序号是_______________（写出所有满足题目条件的序号）.参考答案：①②③；因为′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝ex，且x＝－2为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(-1)＋f′(-1)＝0；对于①②，f(-1)=0且f′(-1)＝0，所以成立；对于③，f(-1)0，且，得，即，所以，所以可满足f(-1)＋f′(-1)＝0，故③可以成立；对于④，因f(1)>0，f′(1)>0，不满足f′(1)＋f(1)＝0，故不能成立，故①②③成立.16.若的大小关系为

。参考答案：略17.若，则=．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵，∴=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；（2）已知a＞2，求证：?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．参考答案：【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，即|x﹣1|+|x|＜4，利用零点分段法求出各段上的解，综合可得答案；（2）由a＞2，结合绝对值的性质，可得?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．【解答】解：（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，即|x﹣1|+|x|＜4，①当x≤0时，不等式为1﹣x﹣x＜4，即，∴是不等式的解；②当0＜x≤1时，不等式为1﹣x+x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解；③当x＞1时，不等式为x﹣1+x＜4，即，∴是不等式的解．综上所述，不等式的解集为．…证明：（2）∵a＞2，∴f（ax）+af（x）=|ax﹣2|+a|x﹣2|=|ax﹣2|+|ax﹣2a|=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|＞2，∴?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．…（10分）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值不等式的证明与求解，难度中档．19.（本题满分14分）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，求的值；（3）直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，，若点满足，证明：点在椭圆上．参考答案：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，，∴抛物线

…………2分同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：．得椭圆．

…………4分（2）设直线的方程为，则．联立方程组，消去得：且

…………5分由得：整理得：．…………8分（3）设，则由得；①

；②；③

…………11分由①+②+③得∴满足椭圆的方程，命题得证．

…………14分20.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明不等式参考答案：（1）函数的定义域是且……………（1分）当时，，从而，函数在上单调递减；当时，若，则，从而；若，则，从而，所以函数在上单调递减，在上单调递增．……………（4分）（2）由（1）可知，函数的极值点是，若，则．若在上恒成立，即在上恒成立，只需在上恒成立．………………（6分）令，则，易知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，即=，故只要即可．所以b的取值范围是．……………………（8分）（3）由题意可知，要证不等式成立，只需证．构造函数,则，因为在上单调递增，由于，所以，所以，即．………（13分）21.已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，am和正数b1，b2，…，bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b是等比数列．（1）若m＝5，，求的值；（2）若b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在n(n∈N*，6≤n≤m)使得an－5＝bn，求λ的最小值及此时m的值；（3）求证：an＞bn(n∈N*，n≤m)．参考答案：的大小关系不确定，故要对其分类讨论：①当时，．当时，．即

因为，所以为有理数．

(3)设，为数列的前项的和．22.已知向量．（Ⅰ）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）由整理可求Q点的轨迹方程．（II）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，结合直线与椭圆有两个不同的交点，可得△＞0，从而可得m与k得关系，设弦MN的中点为P由|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，从而有KAP?Kmn=﹣1，代入可求．【解答】解：（I）由题意得：，∵．∴…（4分）（II）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①…（6分）（1）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xp，y