2022-2023学年湖南省岳阳市市第三中学高三数学文月考试卷含解析

2022-2023学年湖南省岳阳市市第三中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线（实线和虚线）为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A．24π B．29π C．48π D．58π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由长方体截割去4个等体积的三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的外接球的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得：该几何体是由长方体截割得到，如图中三棱锥A﹣BCD，由三视图中的网络纸上小正方形边长为1，得该长方体的长、宽、高分别为3、2、4，体对角线长为=则几何体外接球的表面积为=29π．故选：B．2.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则

(

).

A.

B.C.

D.参考答案：D3.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为A．

B．C．

D．参考答案：B4.已知直线m、l,平面α、β，且m⊥α,lβ，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l,则α∥β；④若m∥l,则α⊥β.其中正确命题的个数是（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：答案：B5.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.下列函数与相等的是A．

B．

C． D．参考答案：A7.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(

)A． B． C．3 D．2参考答案：A试题分析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，

由椭圆和双曲线的定义可知，

设，椭圆和双曲线的离心率分别为

由余弦定理可得，①

在椭圆中，①化简为即即在双曲线中，①化简为即即③

联立②③得，由柯西不等式得即（

即，当且仅当时取等号，故选A考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理8.设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（?UB）=（）A．（0，2] B．（﹣1，2] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合A，B，从而得到CUB，由此能求出A∩（?UB）．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，∴CUB={x≤﹣1或x≥2}，A∩（?UB）={x|x≥2}=[2，+∞）．故选：D．9.函数y=1+x+的部分图象大致为（）A． B．C． D．参考答案：D【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，点x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．10.若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，∴z=﹣i，=+i，则在复平面内，z的共轭复数的实部与虚部的积==．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则

．参考答案：由三角函数定义得，所以12.若复数z满足（其中i为虚数单位），则

▲

.参考答案：

1

13.已知tan（α+β）=，tan（α+）=，则tan（β﹣）=

．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由三角函数的公式可得tan（β﹣）=tan=，代入已知数据化简可得．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（α+）=，∴tan（β﹣）=tan===，故答案为：．【点评】本题考查两角差的正切公式，角的整体代入是解决问题的关键，属基础题．14.设集合则使成立的实数的值是

参考答案：-115.阅读下列程序:Read

S1For

I

from

1

to

5

step2

SS+I

PrintSEndforEnd输出的结果是

。参考答案：2，5，1016.（5分）设变量x，y满足，则z=|x﹣3y|的最大值为

．参考答案：8【考点】：简单线性规划．不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，设t=x﹣3y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合求出t的取值范围，即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域，设t=x﹣3y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A（﹣2，2）时，截距最大，此时t=2+6=8，经过点B（﹣2，﹣2）时，截距最小，此时t=﹣2+6=﹣4，∴﹣4≤t≤8即z=|x﹣3y|的最大值为8，故答案为：8【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用条件设t=x﹣3y，求出t的取值范围是解决本题的关键．17.函数的值域是 。参考答案：（0，1）∪（1，+∞）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.平行四边形ABCD所在的平面与直角梯形ABEF所在的平面垂直，，，且，，，P为DF的中点.（1）求证：平面ABCD；（2）求证：；（3）若直线EF上存在点H，使得CF，BH所成角的余弦值为，求BH与平面ADF所成角的大小.参考答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【分析】(1)取的中点或取中点,利用证平行四边形的方法再证明平面即可.(2)根据勾股定理与余弦定理证明,再根据面面垂直的性质得出平面即可证明.(3)以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.设,再利用空间向量求解关于线面角的问题即可.【详解】（1）解法1：取的中点,连结,,,在直角梯形中,,,所以四边形为平行四边形,所以,在中,,所以,又因为,所以平面平面,又平面,所以平面.解法2：取中点,连结,,在中,,,所以,且,又,,所以,,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面.（2）在中,,,所以,所以,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为平面,所以.（3）由（1）（2）以为原点,以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.所以,,,,,所以,所以,,,设,所以,所以,所以,所以,所以,设平面的法向量为,所以,所以令,则,如与平面成的角为,所以.所以,即与面成的角为.【点睛】本题主要考查了线面平行与线线垂直的一般方法,同时也考查了建立空间直角坐标系求解线面角的问题,需要设线段的比例关系,求解关于比例参数的解析式根据线面角大小化简求解.属于难题.19.已知A（﹣2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足．（1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程．参考答案：【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．【分析】（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），欲求点D的轨迹方程，即寻找x，y之间的关系式，利用向量间的关系求出P点的坐标后代入距离公式即可得；（2）设椭圆方程为，根据圆的切线性质及中点条件，利用待定系数法求出待定系数a，b即可．【解答】解：（1）设C、D点的坐标分别为C（x0，y0），D（x，y），则），，则，故．又代入中，整理得x2+y2=1，即为所求点D的轨迹方程．（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x+2），①又设椭圆方程为，②a2﹣b2=4，因为直线l：kx﹣y+2k=0与圆x2+y2=1相切．故，解得．将①代入②整理得，（a2k2+a2﹣4）x2+4a2k2x+4a2k2﹣a4+4a2=0，③将代入上式，整理得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由线段MN的中点到y轴的距离为，||=，解得a2=8，或a2=，经检验，a2=8，此时③的判别式大于0．故所求的椭圆方程为．20.如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°。

（1）求证：PM⊥平面SAC；（2）求二面角M-AB-C的平面角的余弦值。参考答案：（1）证明:∵平面，∴，

∵，∴。又，

∴

平面，

∵、是和SB的中点，∴∥，

∴平面。（2）以C为原点，CA、CB、CS所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示，则，，，设（），则，，

，，∵直线AM与直线SC所成的角为60°，∴|，|=||=，解得。，，，，，设平面的法向量为，则

且，

从而，令，得，∵平面的一个法向量为，

∴，∴二面角的平面角的余弦值为。21.已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数，e为自然对数的底数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx在区间[﹣1，1]上是减函数．（1）求实数a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．参考答案：【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用定义法进行判断得a（ex+e﹣x+a）=0恒成立，求出a的值；（2）利用导数，结合单调性可知g'（x）≤0恒成立，λ≤﹣1；要使g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可．可构造函数，看成关于λ的一次函数进行求解，进而得出λ的范围；（3）利用构造函数法，令，通过导函数判断函数的单调性，通过极值，单调性，模拟函数图象，利用数学结合得出m的不同分类．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（ex+a）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即ln（e﹣x+a）=﹣ln（ex+a）恒成立，∴（e﹣x+a）（ex+a）=1，∴1+ae﹣x+aex+a2=1．即a（ex+e﹣x+a）=0恒成立，故a=0…（2）由（l）知g（x）=λf（x）+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，x∈[﹣1，1]，∴要使g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，则有g'（x）≤0恒成立，∴λ≤﹣1．又∵g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，∴要使g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1在λ≤﹣1时恒成立即可．∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（其中λ≤﹣1）恒成立即可．令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1），则即而t2﹣t+sin1≥0恒成立，∴t≤﹣1…（3）由（1）知方程，即，令∵当x∈（0，e]时，f'1（x）≥0，∴f1（x）在（0，e]上为增函数；当x∈[e，+∞）时，f'1（x）≤0，∴f1（x）在[e，+∞）上为减函数；当x=e时，．而当x∈（0，e]时f2（x）是减函数，当x∈[e，+∞）时，f2（x）是增函数，∴当x=e时，．故当，即时，方程无实根；当，即时，方程有一个根；当，即时，方程有两个根．…22.（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆.点M的坐标是（0,1）,线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．

（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求m的值．参考答案：解：设C1的方程为,C2的方程为（）．

…..2分∵C1,C2的离心率相同，∴,∴，………………..……3分∴C2的方程为．当m=时，A,C．………………….……5分又∵,

∴，解得a=