2022年江西省宜春市林业中学高三数学理期末试题含解析

2022年江西省宜春市林业中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（）.A.若，，则

B.若，，则C.若，，则

D.若，，，则参考答案：B2.设，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.在△ABC中，，，，则（

）A.1 B.C.2 D.参考答案：C【分析】由题得，，再利用数量积公式即得解.【详解】因为.所以.因为.所以.所以故选：C【点睛】本题主要考查向量的运算法则和数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是()A．

B．∪[0，＋∞)C．

D．参考答案：C5.已知满足约束条件则的最小值是（

）A.-7

B.-3

C.1

D.4参考答案：A方法一：画出可行域，找截距的最小值，数形结合求解；方法二：找出三条直线的交点，分别带入目标函数，得到最小值-7，答案选A。（这种做法仅适用于线性约束条件，线性目标函数）6.若复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算求出z，从而求出z的共轭复数即可．【解答】解：∵，∴z===1+i，则z的共轭复数为1﹣i，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数问题，是一道基础题．7.已知函数，是的反函数，若（），则的值为（

）A．10

B．4

C．1

D．参考答案：【解析】于是8.如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点Q到平面PEF的距离 B．直线PE与平面QEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积 D．二面角P﹣EF﹣Q的大小参考答案：B【考点】直线与平面所成的角．【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．【解答】解：A中，取B1C1的中点M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF为定值；B中，∵P是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PE与平面QEF所成的角不是定值；C中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：B．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．9.已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间上随机取一个数x，则事件“g（x）≥1”发生的概率为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，确定满足g（x）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．解答： 解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），由题意知=，则T=π，∴ω==2，∴f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）=f（x+）=2sin=2sin（2x+）=2cos2x．∵2cos2x≥1，x∈，可得：cos2x，解得：x∈，∴事件“g（x）≥1”发生的概率为=．故选：B．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，本题考查几何概型，三角函数的化简，学生的计算能力，属于中档题．10.设函数满足则时，A.有极大值，无极小值

B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值

D既无极大值也无极小值参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为__________。（从小到大排列）参考答案：略12.如图所示，在矩形OABC内任取一点P，则点P恰落在图中阴影部分中的概率为

．参考答案：考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题是几何概型的考查，只要求出矩形OABC的面积以及阴影部分的面积，利用几何概型的公式解答即可．解答： 解：由题意矩形OABC的面积为2×1=2，阴影部分的面积为2﹣=2﹣（）|=2﹣=，由几何概型的公式可得点P恰落在图中阴影部分中的概率为；故答案为：．点评：本题考查了几何概型的概率公式的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积的方法．13.若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点坐标为_________参考答案：答案：

14.已知数列{an}满足：（），若，则

.参考答案：试题分析：因,故当时,,,即时,,即,所以;当时,,,即时,可得,不成立,所以,应填.考点：分段数列的通项及运用．15.某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为______、_______、________.参考答案：15

10

2016.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中则的最小值为

．参考答案：17.已知圆,过点的直线,则与的位置关系是___________（填“相交”、“相切”、“相离”或“三种位置关系均有可能”）.参考答案：相交,所以点在圆C内部,故直线与圆相交；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．（I）证明：BC⊥平面AMN；（II）求三棱锥N﹣AMC的体积；（III）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）证明：∵ABCD为菱形，∴AB=BC又∠ABC=60°，∴AB=BC=AC，又M为BC中点，∴BC⊥AM而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC又PA∩AM=A，∴BC⊥平面AMN（II）∵又PA⊥底面ABCD，PA=2，∴AN=1∴三棱锥N﹣AMC的体积S△AMC?AN=（III）存在点E，取PD中点E，连接NE，EC，AE，∵N，E分别为PA，PD中点，∴又在菱形ABCD中，∴，即MCEN是平行四边形∴NM∥EC，又EC?平面ACE，NM?平面ACE∴MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时．略19.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．参考答案：【考点】半角的三角函数；余弦定理的应用．【分析】（1）先根据角A的范围和正弦值求出余弦值，然后根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对进行化简，最后代入角A的余弦值即可．（2）先根据三角形的面积公式求出b与c的乘积，然后将数据代入余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA即可求出b的值．【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，所以cosA=，则=（2），则bc=3．将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9=0解得b=20.(本小题满分13分)在中,的对边分别是,已知,平面向量,,且.(Ⅰ)求△ABC外接圆的面积;(Ⅱ)已知O为△ABC的外心,由O向边BC、CA、AB引垂线,垂足分别为D、E、F,求的值.参考答案：(1)由题意，

得………………2分由于中,,………………3分∴………4分2R=-----------------------------------------6分(2)因为O为△ABC的外心,由O向边BC、CA、AB引垂线,垂足分别为D、E、F,所以,故=-----13分21.已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．参考答案：【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：计算题．【分析】：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）【点评】：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．（Ⅰ）试比较ab+1与a+b的大小；（Ⅱ）设maxA表示数集A中的最大数，且，求h的范围．【答案】【解析】【考点】：绝对值不等式的解法；不等式比较大小．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（1）先解不等式得出其解集M，再利用作差法比较大小即可；（2）不妨设0＜a≤b＜1，先找出其最大值，进而即可求出其范围．解：由不等式|2x﹣1|＜1化为﹣1＜2x﹣1＜1解得0＜x＜1，∴原不等式的解集M={x|0＜x＜1}，（Ⅰ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）=（1﹣a）（1﹣b）＞0，∴ab+1＞a+b．（Ⅱ）∵a，b∈M，