考研数学一向量

考研数学一向量1.【单项选择题】若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则（）．A.α1可由α2，α3线性表（江南博哥）示B.α4可由α1，α2，α3线性表示C.α4可由α1，α3线性表示D.α4可由α1，α2线性表示正确答案：A参考解析：对于A：由a2，a3，a4线性无关，知a2，a3线性无关，而a1，a2，a3线性相关，故a1必能由a2，a3线性表示。对于B：若a4可由a1，a2，a3线性表示，而a1又能a2，a3线性表示，则a4就能由a2，a3线性表示，这与a2，a3，a4线性无关矛盾，故a4不能由a1，a2，a3线性表示，所以B不正确。同样C，D也是错误的。2.【单项选择题】向量组α1，α2，…，αn线性无关等价于（）．A.存在一组不全为0的数，使其线性组合不为0B.存在一个向量不能由其他向量线性表示C.任何一个向量均不能由其他向量线性表示D.其中任意两个向量线性无关正确答案：C参考解析：3.【单项选择题】设向量组(Ⅰ)β1，β2，…，βt，(Ⅱ)α1，α2，…，αs，则下列命题①若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且s<t，则必有(Ⅰ)线性相关，②若向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示，且s<t，则必有(Ⅰ)线性相关，③若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且(Ⅰ)线性无关，则必有s≥t，④若向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示，且(Ⅰ)线性无关，则必有s≥t，正确的是（）．A.①④B.①③C.②③D.②④正确答案：B参考解析：由结论“以少表多，多的相关”，命题①正确，而命题③是命题①的逆否命题，故命题①和命题③正确．如β1-α1+α2，β2-α1-α2，β3=α1+2α2，则β1，β2，β3必线性相关．3.【单项选择题】设向量组(Ⅰ)β1，β2，…，βt，(Ⅱ)α1，α2，…，αs，则下列命题①若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且s<t，则必有(Ⅰ)线性相关，②若向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示，且s<t，则必有(Ⅰ)线性相关，③若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且(Ⅰ)线性无关，则必有s≥t，④若向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示，且(Ⅰ)线性无关，则必有s≥t，正确的是（）．A.①④B.①③C.②③D.②④正确答案：B参考解析：由结论“以少表多，多的相关”，命题①正确，而命题③是命题①的逆否命题，故命题①和命题③正确．如β1-α1+α2，β2-α1-α2，β3=α1+2α2，则β1，β2，β3必线性相关．4.【单项选择题】设α1=(a1，a2，a3)T，α2=(b1，b2，b3)T．α3=(c1，c2，c3)T，其中≠0(i=1，2，3)，则三条直线aix+biy+ci=0(i=1，2，3)恰好仅交于一点的充要条件是（）．A.r(α1，α2，α3)=3B.r(α1，α2，α3)=1C.r(α1，α2，α3)=r(α1，α2)D.r(α1，α2，α3)=r((α1，α2)=2正确答案：D参考解析：三条直线交于一点，等价于有唯一的x，y满足方程组

5.【单项选择题】设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k和μ，向量组α1+kα3，α2+μα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的（）．A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件正确答案：C参考解析：

6.【单项选择题】设三维列向量α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，记(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)A3×3，(γ1，γ2，γ3)=(α2，α3，α4)B3×3，则（）．A.存在矩阵A3×3，使得β1，β2，β3线性无关B.不存在矩阵A3×3，使得β1，β2，β3线性相关C.存在矩阵B3×3，使得γ1，γ2，γ3线性无关D.不存在矩阵B3×3，使得γ1，γ2，γ3线性相关正确答案：C参考解析：7.【单项选择题】设向量α1，α2，α3满足是k1α1+k2α2+k3α3=0，k1，k2，k3为常数，且k1k3≠0，则（）．A.α1与α3等价B.α1，α2与α1，α3等价C.α1，α2与α2，α3等价D.α1，α3与α2，α3等价正确答案：C参考解析：两个向量组等价是指这两个向量组可以互相线性表示．

8.【单项选择题】设4维列向量α1，α2，α3线性无关，βi(i=1，2，3，4)为非零列向量，且βi与α1，α2，α3均正交，则r(β1，β2，β3，β4)=（）．A.1B.2C.3D.4正确答案：A参考解析：

9.【单项选择题】设A，B均是m×n矩阵，则Ax=0与Bx=0同解的充要条件是（）．A.A，B的列向量组等价B.A，B的行向量组等价C.A，B是等价矩阵D.ATx=0与BTx=0同解正确答案：B参考解析：

10.【单项选择题】设向量α1=(a1，a2，a3)T，α2=(b1，b2，b3)T，α3=(c1，c2，c3)T，α4=(d1，d2，d3)T，则三个平面a1x+b1y+c1z+d1=0，a2x+b2y+c2z+d2=0,a3x+b3y+c3z+d3=0两两相交成三条平行直线的充分必要条件是（）．A.r(α1，α2，α3)=1，r(α1，α2，α3，α4)=2B.r(α1，α2，α3)=2，r(α1，α2，α3，α4)=3C.在α1，α2，α3中任意两个向量均线性无关，且α4可由α1，α2，α3线性表示D.在α1，α2，α3中任意两个向量均线性无关，且α4不能由α1，α2，α3线性表示正确答案：D参考解析：

由三个平面两两相交，知方程组

11.【单项选择题】设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，下列命题中正确的是A.若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s.B.若向量组Ⅰ线性相关，则r>s.C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s.D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s.正确答案：A参考解析：因向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，故关于(D)的反例请同学自己构造．12.【单项选择题】如果向量组α1，α2，…，αs的秩为r则下列命题中正确的是A.向量组中任意r-1个向量都线性无关．B.向量组中任意r个向量都线性无关．C.向量组中任意r-1个向量都线性相关．D.向量组中任意r+1个向量都线性相关．正确答案：D参考解析：13.【单项选择题】若α1，α2，α3线性相关α2，α3，α4线性无关，则(  )．A.α1可由α2，α3线性表示B.α4可由α1，α2，α3线性表示C.α4可由α1，α3线性表示D.α4可由α1，α2线性表示正确答案：A参考解析：因为α2，α3，α4线性无关，所以α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3线性相关，所以α1可由α2，α3线性表示，选(A)．14.【单项选择题】设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩为r2。且向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示，则(  )．A.α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩为r1+r2B.向量组α1-β1，α2-β2，…。Αs-βs的秩为r1-r2C.向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1+r2D.向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1正确答案：D参考解析：因为向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，所以向量组α1，α2，…，αs与向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等价，所以选(D)．15.【单项选择题】向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是(  )．A.α1，α2，…，αs都不是零向量B.α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C.α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示D.α1，α2，…，αs中有一个部分向量组线性无关正确答案：C参考解析：若向量组α1，α2，…，αs线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示．反之，若α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示，则α1，α2，…，αs一定线性无关，因为若α1，α2，…，αs线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)．16.【单项选择题】设α为n阶矩阵，且|A|=0，则A()．A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合正确答案：C参考解析：因为|A|=0，所以r(A)<n，从而A的行个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．17.【单项选择题】设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经初等行变换化为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3，α4线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则(  )．A.β4不能由β1，β2，β3线性表示B.β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一C.β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一D.β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定正确答案：C参考解析：18.【单项选择题】设α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βs)=r，则(  )．A.两个向量组等价B.r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)=rC.若向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价正确答案：C参考解析：不妨设向量组α1，α2，...，αm的极大线性无关组为α1，α2，...αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，...，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，...αr也可由β1，β2，…，βr线性表示，若β1，β2，…，βr不可由α1，α2，...αr线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，...，αm线性表示，所以两向量组的秩不等，矛盾，C正确。19.【单项选择题】已知向量组若α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，则a=(  )．A.3B.-3C.2D.-2正确答案：A参考解析：20.【填空题】已知向量α1=(1，2，3)T，α2=(2，-1，1)T，α3=(-2，k，4)T线性相关，则k=______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：6【解析】对于3个3维向量线性相关性的问题，用行列式或秩．本题用秩进行计算．

21.【填空题】已知3维线性空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)，则向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标为．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：(1，1，-1)．【解析】

22.【填空题】设3维向量空间的两组基分别为α1=(1，2，3)T，α2=(2，3，1)T，α3=(3，1，2)T，β1=(-1，-1，2)T，β2=(-1，2，-1)T，β3=(3，1，2)T，则从α1，α2，α3到β1，β2，β3的过渡矩阵为_________．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

23.【填空题】已知α1，α2，α3线性无关，若α1-3α3，aα1+α2+2α3，2α1+3α2+α3亦线性无关，则a的取值______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

由于24.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：25.【解答题】设向量组α1=(1，1，1，2)T，α2=(3，a+4，2a+5，a+7)T，α3=(4，6，8，10)T，α4=(2，3，2n+3，5)T，α=(0，1，3，6)T．(Ⅰ)求向量组α1，α2，α3，α4的秩及其一个极大线性无关组；(Ⅱ)若α不能由α1，α2，α3，α4线性表示，求a，b的取值．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ)

26.【解答题】设α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，-1，a，1)T，β=(1，b，4，7)T，a，b为何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示，a、b为何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，并写出表达式．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

27.【解答题】设有向量组(Ⅰ)α1=(2，3，5)T，α2=(0，1，2)T，α3=(1，0，0)T，(Ⅱ)β1=(3，1，2)T，β2=(1，1，1)T，β3=(1，1，-1)T，β4=(2，1，0)T，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：证明向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的基本方法是定义法，即证明(Ⅰ)与(II)可以互相线性表示，而线性表示的问题可转化为解非齐次线性方程组，解方程组一般用初等变换．

28.【解答题】设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs，(Ⅱ)β1，β2，…，βt，r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，且向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示．证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：依题设，只需证明(11)可由(Ⅰ)线性表示．

29.【解答题】设A是3阶方阵，α1，α2为A的分别属于特征值-2，1的特征向量，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：法1由特征值的定义，有Aα1=-2α1，Aα2=α2．

30.【解答题】设矩阵A5×4的秩为2，α1=(1，1，2，3)T，α2=(-1，1，4，-1)T，α3=(5，-1，-8，9)T是方程组Ax=0的解向量，求Ax=0的解空间的一组标准正交基．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：先求Ax=0的解

空间的一组基，再将其正交单位化，解空间的维数就是Ax-0的基础解

系所含解

向量的个数，故n-r(A)=4-2=2．

31.【解答题】(Ⅰ)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组；(Ⅱ)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)对A进行初等行变换，得

(Ⅱ)对C作初等列变换，得

32.【解答题】设A是3阶矩阵，αi(i=1，2，3)是3维非零列向量，且Aαi=iαi(i=1，2，3)．α=α1+α2+α3，证明：α，Aα，A2α线性无关．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

(Ⅱ)

33.【解答题】设α1，α2，α3与β1，β2，β3是3维向量空间的两组基，若向量γ在这两组基下的坐标分别为(x1，x2，x3)与(y1，y2，y3)，且x1=y1，x2=-y1+y2，x3=-y2+y3．(Ⅰ)求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵；(Ⅱ)若α1=(1，2，3)T，α2=(2，3，1)T，α3=(3，1，2)T，求β1，β2，β3．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)依题设，有

(Ⅱ)

34.【解答题】设α1，α2，…，αn为起维向量空间Rn的一组基，且β1=α1，β2=α1+α2，…，βn=α1+α2+…+αn(Ⅰ)证明．β1，β2，…，βn也是Rn的一组基，并写出由α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵P；(Ⅱ)设向量α∈Rn，α在基α1，α2，…，αn。下的坐标为(n，n-1，…，2，1)T，求α在基β1，β2，…，βn下的坐标．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)依题设，有

35.【解答题】已知向量组α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1,a)T，α4=(3，10，b，4)T线性相关.(1)求a，b的值.(2)判断α4能否由α1，α2，α3线性表示?如能就写出表达式.(3)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：【解】(1)由(2)当b=2时(3)当a=1且b=2时，r(α1，α2，α3，α4)=2，极大无关组α1，α2，当a=1且b≠2时，r(α1，α2，α3，α4)=3，极大无关组α1，α2，α4，当a≠1且b=2时，r(α1，α2，α3，α4)=3，极大无关组α1，α2，α3．36.【解答题】设α为n×m矩阵，B为m×n矩阵(m>n)，且AB=E．证明：B的列向量组线性无关．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：37.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：38.【解答题】设α，β是n维非零列向量，A=αβT+βαT．证明：r(A)≤2．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：39.【解答题】设A为n阶矩阵且r(A)=n-1．证明：存在常数k，使得(A*)2=kA*．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：40.【解答题】设α1，α2，…，αn为行个行维列向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：41.【解答题】已知α1=[1，2，-3，1]T，α2=[5，-5，a，11]T，α3=[1，-3，6，3]T，α4=[2，-1，3，a]T．问：(1)当a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关；(2)当a为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关；(3)当a为何值时，α4能由α1，α2，α3线性表出，并写出它的表出式．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：42.【解答题】已知α1=[1+λ，1，1]T，α2=[1，1+λ，1]T，α3=[1，1，1+λ]T，β=[0，λ，λ2]T．问α取何值时，(1)β可由α1，α2，α3线性表出，且表达式