考研数学一随机变量及其分布

考研数学一随机变量及其分布1.【单项选择题】设随机变量X1与X2的分布函数分别为F1(x)与F2(x)，F(x)=aF1(x)（江南博哥）-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，则（）．A.

B.

C.

D.

正确答案：A参考解析：要使F(x)为某一随机变量的分布函数，必须有F(+∞)=1．又由已知，F1(+∞)=1，F2(+∞)=1，故a-b=1，即只要a，b的取值满足a-b=1即可．1.【单项选择题】设随机变量X1与X2的分布函数分别为F1(x)与F2(x)，F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，则（）．A.

B.

C.

D.

正确答案：A参考解析：要使F(x)为某一随机变量的分布函数，必须有F(+∞)=1．又由已知，F1(+∞)=1，F2(+∞)=1，故a-b=1，即只要a，b的取值满足a-b=1即可．2.【单项选择题】设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，X的分布函数为F(x)，则对任意实数k，有（）．A.

B.

C.F(-k)=2F(k)-1D.F(-k)=F(k)正确答案：B参考解析：

1.【单项选择题】设随机变量X1与X2的分布函数分别为F1(x)与F2(x)，F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，则（）．A.

B.

C.

D.

正确答案：A参考解析：要使F(x)为某一随机变量的分布函数，必须有F(+∞)=1．又由已知，F1(+∞)=1，F2(+∞)=1，故a-b=1，即只要a，b的取值满足a-b=1即可．2.【单项选择题】设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，X的分布函数为F(x)，则对任意实数k，有（）．A.

B.

C.F(-k)=2F(k)-1D.F(-k)=F(k)正确答案：B参考解析：

3.【单项选择题】下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数的是（）．A.

B.

C.

D.

正确答案：B参考解析：

F(x)要成为某一随机变量的分布函数，必满足以下三个条件：①0≤F(x)≤1，F(+∞)=1，F(-∞)=0；②F(x)是单调不减函数；

只有选项B满足以上三个条件，而A，C中F(x)不满足F(+∞)=1，D中F(x)不一定单调不减．3.【单项选择题】下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数的是（）．A.

B.

C.

D.

正确答案：B参考解析：

F(x)要成为某一随机变量的分布函数，必满足以下三个条件：①0≤F(x)≤1，F(+∞)=1，F(-∞)=0；②F(x)是单调不减函数；

只有选项B满足以上三个条件，而A，C中F(x)不满足F(+∞)=1，D中F(x)不一定单调不减．4.【单项选择题】设x是随机变量，对任意实数x，P{X=x}=0的充分必要条件是（）．A.X的概率密度f(x)是连续函数B.X的分布函数F(x)是连续函数C.X为离散型随机变量D.X是非离散型随机变量正确答案：B参考解析：5.【单项选择题】设X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，记p1=P{X≤μ-4)，p2=P{Y≥μ+5}，则（）．A.对任意实数μ，有p1>p2B.对任意实数μ，p1<p2C.对任意实数μ，有p1=p2D.只对μ=0，有p1=p2正确答案：C参考解析：

6.【单项选择题】设X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，P{|x-μ|<σ}（）．A.单调减少B.单调增加C.保持不变D.增减不确定正确答案：C参考解析：

7.【单项选择题】分布函数为F(x)，则F(0)=（）．A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4正确答案：A参考解析：

8.【单项选择题】设f(x)为随机变量X的概率密度，则下列选项可作为某一随机变量的概率密度的是（）．A.f(1-x)B.f()C.f(x2)D.f2(x)正确答案：A参考解析：

9.【单项选择题】设X1，X2，X3都服从正态分布，且X1～N(0，1)，X2～N(0，22)，X3～N(5，32)，pi=P{-2≤Xi≤2)(i=1，2，3)，则（）．A.p3>p1>p2B.p1>p3>p2C.p1>P2>P3D.p2>p1>p3正确答案：C参考解析：10.【单项选择题】A.eλ-e-λB.1-e-λ.C.D.正确答案：B参考解析：11.【单项选择题】假设随机变量X的概率密度函数f(x)是偶函数，其分布函数为F(x)，则A.F(x)是偶函数．B.F(x)是奇函数．C.F(x)+F(-x)=1．D.2F(x)-F(-x)=1．正确答案：C参考解析：由于F(x)是单调不减的非负函数，所以(A)、(B)不成立．已知f(x)是偶函数，因12.【单项选择题】假设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度函数f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中f1(x)是正态分布N(0，σ2)的概率密度函数，f2(x)是参数为λ的指数分布的概率密度函数，已知F(0)=，则A.a=1，b=0．B.a=，b=．C.a=，b=．D.a=，b=．正确答案：D参考解析：13.【单项选择题】设随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X-μ<2σ)()．A.与μ及σ2都无关B.与μ有关，与σ2无关C.与μ无关，与σ2有关D.与μ及σ2都有关正确答案：A参考解析：=(2)-(-2)为常数，所以应选(A)．14.【单项选择题】设X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令p=P(X≤μ-4)，q=P(Y≥μ+5)，则()．A.p>qB.p<qC.p=qD.p，q的大小由μ的取值确定正确答案：C参考解析：15.【单项选择题】设随机变量X，Y的分布函数分别为F1(x)，F2(x)，为使得F(x)=aF1(x)+bF2(x)为某一随机变量的分布函数，则有(  )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：根据性质F(+∞)=1，得正确答案为(D)．16.【单项选择题】X～N(μ，σ2)，F(X)为其分布函数，则随机变量Y=F(X)的分布函数(  )．A.处处可导

B.恰有1个不可导点C.恰有2个不可导点

D.恰有3个不可导点正确答案：C参考解析：因为FY(y)=P{Y≤y}=P{F(X)≤y}，于是当y<0时，FY(y)=0，当0≤y<1时，FY(y)=P{X≤F-1(y)}=y，当y≥1时，FY(y)=1，所以应选择C。17.【填空题】设随机变量X服从参数为λ(λ>0)的指数分布，则P{X>16|X>8)=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：e-8λ【解析】

18.【填空题】设X～N(μ，σ2)，f(x)为X的概率密度，当x=1时，f(x)取得最大值，则P{X<3)=_______(用标准正态分布函数(x)表示)．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：φ(1)．【解析】

19.【填空题】设自动机床在任何时长为t的时间间隔内发生故障的次数X服从参数为λt的泊松分布，Y表示相继两次故障之间的时间间隔，则当t>0时，P{Y>t}=______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：e-λt【解析】

{Y>t}表示相继两次故障之间的时间间隔超过t，故在时长为t的时间间隔内没有发生故障，所以P{Y>t}=P{X=0}，而X是服从参数λt的泊松分布，故

20.【填空题】设X～N(0，1)，则Y=|X|的概率密度fY(y)=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

21.【填空题】设随机变量X～N(μ，σ2)，σ>0，(x0，y0)为其分布函数曲线y=F(x)的拐点，则x0=_______，y0=_______·请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

22.【填空题】设随机变量X～N(μ，σ2)，其中d>0，F(x)为X的分布函数，则F(μ-xσ)+F(μ+xa)=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：1【解析】

23.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

依题设，

24.【填空题】设离散型随机变量X的分布律为，k=0，1，2，…，则常数a=_______.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：e【解析】

所以a=e．25.【填空题】设X～N(0，σ2)，X在区间(a，b)内取值的概率最大，其中a>0，则σ2=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】

26.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：3≤b<4【解析】27.【填空题】设随机变量x服从参数为2的指数分布，a为大于2的常数，已知P{X≤a|X>2)=1-e-2，则a=____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：3【解析】解得a=3．28.【填空题】设随机变量x～N(μ，σ2)，且方程x2+4x+X=0无实根的概率为1/2，则μ=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：29.【填空题】设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且E[(X-1)(X+2)]=8，则λ=_______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：30.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：31.【填空题】等可能地在数轴上的有界区间[a，b]上投点，记X为落点的位置(数轴上的坐标)，则X的概率密度f(x)为______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】方法一

公式法．直接由区间[a，b]上均匀分布的32.【填空题】设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，且一元二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为，则μ=____．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：4【解析】33.【解答题】设连续型随机变量X的分布函数为其中a>0．(Ⅰ)求常数k1，k2的值；(Ⅱ)求X的概率密度；(Ⅲ)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(Ⅰ)由分布函数F(x)的性质，有F(-a+0)-F(-a)，F(a+0)=F(a)，

(Ⅱ)

(Ⅲ)

34.【解答题】设随机变量X服从参数为λ的指数分布，对X进行三次独立重复观察，至少有一次观测值大于3的概率，求λ的值．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

35.【解答题】设随机变量x的概率密度为求Y=1/X的分布函数和概率密度．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

36.【解答题】设随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

37.【解答题】的分布函数和概率密度．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

用定义法，Y的分布函数为

38.【解答题】设随机变量x服从λ=2的指数分布，求Y=1-e-2X的分布函数和概率密度．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：

39.【解答题】设连续型随机变量x的概率密度为f(x)，求Y=sinX的分布函数和概率密度．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：Y=sinX的值域为[-1，1]．当-1≤Y<1时，

40.【解答题】(1)求常数A，B；(2)求X的密度函数f(x)；(3)求P(X>)．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)因为连续型随机变量的分布函数是连续的，(2)(3)41.【解答题】设电子管寿命X的概率密度为若一台收音机上装有三个这种电子管，且是否正常工作相互独立．求：(1)使用的最初150小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率；(2)在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y的分布律；(3)Y的分布函数．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了