圆的一般方程（重难点突破）

专题2.4.2圆的一般方程知识点一：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.知识点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.知识点二：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点三：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．重难点题型1求圆的一般方程例1、（1）、（2022秋·山东泰安·高二统考期中）已知圆M的方程为，则圆心M的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化成标准式，即得圆心坐标.【详解】，因此圆心坐标为.故选：B.（2）、（2021秋·陕西·高二校考阶段练习）若方程表示圆，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程配方后，左边为平方和，由右边大于0可得．【详解】方程配方得，方程表示圆，则，解得或，故选：D．（3）、（2023秋·高一单元测试）以为圆心，且经过的圆的方程是.【答案】【分析】设出圆的标准方程，把代入圆方程即可求出参数，从而得圆的标准方程.【详解】因为圆心，故可设圆的标准方程为，因为点在圆上，所以，所以所求圆的方程为.故答案为：（4）、（2022秋·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选：D．【变式训练11】、（2023秋·广东广州·高二广州市白云中学校考期末）已知圆，则圆心坐标、圆的半径分别是（

）A．，3 B．，3 C．，3 D．，9【答案】A【分析】将圆的一般式化为标准式，写出圆心和半径.【详解】变形为，故圆心为，半径为3.故选：A【变式训练12】、（2021春·河北·高三统考学业考试）若圆C：的半径为1，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可求解.【详解】由，得，所以圆C的圆心为，半径为，因为圆C：的半径为1，所以，解得，故实数.故选：D.【变式训练13】、（2021秋·高二课时练习）圆心在y轴上，经过点且与x轴相切的圆的方程是．【答案】【分析】先设出圆的标准方程，再利用条件建立方程求出参数即可求出结果.【详解】由题意，设圆的方程为，因为圆经过点，所以把点代入圆的方程，得，整理得，∴，所以圆的方程为，即，故答案为：.【变式训练14】、（2022秋·高二课时练习）圆过点、，求面积最小的圆的一般方程为．【答案】【分析】求出以线段为直径的圆的方程，即可得解.【详解】当为圆的直径时，过、的圆的半径最小，从而面积最小．因为点、，线段的中点为，，故所求圆的半径为，所以，所求圆的方程为，即.故答案为：.例2、（2023春·江苏常州·高一华罗庚中学校考期末）已知方程.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围；（2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.【详解】（1）若此方程表示圆，则，解得，即实数m的取值范围是；（2）由（1）可知，此时圆E：，圆心坐标为，半径为1，因为圆F和圆E关于y轴对称，所以圆F圆心坐标是，半径是1，故圆F方程为，则圆心到直线的距离，故到直线的距离的最大值为，最小值.例3、（2022秋·江西宜春·高二校考阶段练习）已知方程表示圆，其圆心为.(1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；(2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案；（2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案.【详解】（1）方程可变为：由方程表示圆，所以，即得，.圆心坐标为.（2）当时，圆方程为：，设，又为线段的中点，的坐标为则，由端点在圆上运动，即线段中点的轨迹方程为.例4、（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线上，且过点的圆；(2)过三点的圆.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先设圆的标准方程为，根据题意得到，再解方程组即可.（2）首先设圆的一般方程为：，，根据题意得到，再解方程组即可.【详解】（1）设圆的标准方程为，由题知：，解得.所以圆的标准方程为：.（2）设圆的一般方程为：，，由题知：，所以圆的方程为：.例5、（2022秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考阶段练习）