2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第23讲存在性问题探究含解析

第23讲存在性问题探究所谓存在性问题是指圆锥曲线中存在某个量（点、线或参数等）使得某个几何关系成立，这种问题有两种常考题型：题型一：存在点或者参数，使得某个量为定值．解题思路：这类问题的解题思路是运用参数无关性来消参，即存在某点使得某个量和所设的参数无关，从而得到定值．题型二：存在点在曲线上．解题思路：设出点，带锥曲线方程，看方程是否有解．解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．存在点使向量点积为定值【例1】过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标．若不存在，请说明理由．【解析】（1）当直线不与轴重合时，可设直线的方程为：，，．联立，整理得，则，．假设存在定点，使得为定值，当且仅当,即时,.(为定值),这时,(2)当直线与轴重合时,此时,满足题意.∴存在定点,使得对于经过点的任意一条直线均有(恒为定值).存在点使斜率的和或积为定值【例1】设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点,试问:在轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值?若存在,请求出点的坐标.若不存在,请说明理由.【解析】若存在满足条件的点.(1)当直线的斜率存在时,设.联立,消得.设,则 ∴要使对任意实数为定值,则只有,此时,.(2)当直线与轴垂直时,若,也有.故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值0.【例2】过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点,在轴上是否存在定点,使得直线的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由.【解析】依题意可设直线的方程为.联立得∴,,则,.假设存在定点,使得直线,的斜率之积为非零常数,则要使为非零常数,当且仅当,解得,时,.时,.∴存在两个定点和,使直线的斜率之积为常数.当定点为时,直线的斜率之积为常数.当定，点为时,直线的斜率乘积是.存在点使角度相等【例】1设过椭圆:右焦点的动直线与椭圆交于两点,试问在轴上是否存在与点不重合的定点,使得恒成立?若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由.【解析】假设存在与不重合的定点,使得恒成立,设,且,,则即整理得.设直线.联立,消去,整理得.,∴.∵.∴∴存在与不重合的定，点,使得恒成立,且，点坐标为【例2】过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点使得为坐标原点)?若存在,求出点的坐标.若不存在,说明理由.【解析】(1)当直线非轴时,可设直线的方程为,联立得,整理得.由1),设,定点且,由韦达定理可得,.由,可知等价于,的斜率互为相反数.,即,整理得.从而可得.,即,∴当,即时,(2)当直线为轴时,也符合题意.综上,存在轴上的定点,满足.存在点使等式恒成立【例1】过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点,为坐标原点,问椭圆上是否存在点,使得?若存在,求出直线的方程.若不存在,请说明理由.【解析】(1)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,联立,得,或.则点或故此时椭圆上不存在这样的点.(2)当直线的斜率时,此时椭圆上不存在符合题意的点,.(3)当直线的斜率不为0时,设,点.,直线的方程为.联立,消去得,故.则.则点.又点在椭圆上,则有,整理得,解得.∴椭圆上存在点,使得,此时直线的方程为.【例2】已知动直线过椭圆右焦点,且与椭圆分别交于两点.试问轴上是否存在定点,使得.恒成立?若存在求出点的坐标.若不存在,说明理由.【解析】(1)假设在轴上存在定点,使得.(1)当直线的斜率不存在时,则,,,由,解得或.(2)当直线的䐷率为0时,则,,由,解得或.由(1)(2)可得,即点的坐标为(2)当时,恒成立.当直线的斜率不存在或斜率为0时,由(1)知结论成立.当直线的斜率存在且不为0时,设其方程为,.直线与椭圆方程联立得.直线经过椭圆内一点,一定与椭圆有两个交点,且.综上所述，在轴上存在点,使得恒成立.【例3】已知椭圆,过右焦点的直线交椭圆于两点,若直线的斜率存在,在线段上是否存在点,使得,若存在,求出的范围.若不存在,请说明理由.【解析】当直线的斜率存在时,设,直线的方程为,①又椭圆的方程为,②由①②可得,设的中点为,即.假设存在点,使得,即在的中垂线上,则,解得.当时,为椭圆长轴的两个端点,则,点与原点重合.当时,.综上所述,存在点且.【例4】过点作直线与抛物线交于不同的两点,设的中点为,问曲线上是否存在一点,使得恒成立?如果存在,求出点的坐标.如果不存在,说明理由.【解析】由题意两点在抛物线上,设点,点.设直线的方程为.联立得设满足条件的点存在,设.若抛物线上的点满足,则点在以为直径的圆上.即.∴由题意即是恒成立,可得.∴,∴抛物线上存在点,满足【例】是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时,能在直线上找到一点,在椭圆上找到一点,满足?若存在,求出直线的方程.若不存在,请说明理由.【解析】设直线的方程为,设,的中点为,联立,消去得,且故且.由,知四边形为平行四边形.而点,为线段的中点,因此点,为线段的中点,可得,又,可得,因此点,不在椭圆上,故不存在满足题意的直线.存在性使线段关系式为定值【例1】椭圆的一个焦点到直线的距离为,离心率为,抛物线的焦点与椭圆的焦点重合,斜率为的直线过的焦点与交于,与交于.(1)求椭圆及抛物线的方程.(2)是否存在常数,使得为常数?若存在,求出的值.若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆,抛物线的公共焦点为.∴椭圆.(2)设直线,.联立联立∵是焦点弦,若为常数,则,【例2】在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴交于点,与椭圆交于两点,当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时,弦的长为.(1)求椭圆的方程.(2)是否存在点,使得为定值?若存在,请求出点的坐标,并求出该定值.若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意可得,当与轴垂直且为椭圆右焦点时,为通径.∴椭圆的方程为.(2)假设存在