模糊控制与模糊策略

模糊控制

与模糊决策9/21/20231^_^模糊控制的基本思想范例：汽车停在拥挤的停车场上两辆车之间的一个空隙处精确方法：车C上的一个固定参考点，车C的方位，建立车的状态方程和运动方程；临近两辆车为约束，停着的车之间的空隙为允许的终端状态集合。缺点：约束多，难于求解。9/21/20232^_^汽车司机：通过一些不精确的观察，执行一些不精确的控制，达到准确停车的目的。控制论的创始人维纳，描述人与外部环境相互作用时的关系：人不断地从外界（对象）获取信息，再存储和处理信息，并给出决策反作用于外界（输出），从而达到预期目标。9/21/20233^_^人的控制行为，遵循控制与反馈控制的思想，人的手动控制决策可以用语言描述，形成一系列条件语句，即控制规则，微机程序可以实现这些控制规则，微机充当控制器，微机取代人对对象实现控制。描述控制规则的条件语句中的一些词，如“较大”、“稍小”、“偏高”，等，都具有一定的模糊性。因此用模糊集合来描述这些条件语句，组成模糊控制器。9/21/20234^_^模糊控制的基本原理A/D模糊控制器D/A执行机构被控对象传感器计算控制变量模糊量化处理模糊控制规则模糊推理非模糊化处理9/21/20235^_^一步模糊控制算法：微机经中断采样获取被控制量的精确值，然后将此量与给定值比较得到误差信号E，一般将误差信号E作为模糊控制器的一个输入量。将误差信号E模糊量化，用相应的模糊语言表示。得到误差E的模糊语言集合的一个子集，再和模糊控制规则，根据推理的合成规则进行模糊决策，得到模糊控制量。模糊控制量清晰化，对对象进行一步控制，等到第二次采样。9/21/20236^_^范例：某电热炉用于对金属零件的热处理，要求保持炉温600度恒定不变。根据人工经验，控制规则可用语言描述如下。若炉温低于600度则升压，低得越多升压越高；若炉温高于600度则降压，高得越多降压越低；若炉温等于600度则维持不变1.模糊控制器的输入输出变量：e(k)=t0-t(k)输出为触发电压u的变化2.输入输出变量的模糊语言描述{NB,NS,O,PS,PB}误差e的论域为X，u的论域为Y，把其量化为7个等级X=Y={-3,-2,-1,0,1,2,3}9/21/20237^_^假设语言变量的隶属函数曲线如下。9/21/20238^_^9/21/20239^_^3.模糊控制规则的语言描述（1）若e负大，则u正大；（2）若e负小，则u正小；（3）若e为零，则u为零；（4）若e正小，则u负小；（5）若e正大，则u负大；4.模糊控制规则的矩阵形式：模糊控制规则可以表示为从误差论域X到控制量论域Y的模糊关系R9/21/202310^_^9/21/202311^_^5.模糊决策模糊控制器的控制作用取决于控制量，即等于误差的模糊向量e和模糊关系的合成，假设e=PS,则9/21/202312^_^6.控制量的模糊量转化为精确量上面求得的控制量u为模糊向量，可写为：u=(0.5/-3)+(0.5/-2)+(1/-1)+(0.5/0)+(0.5/1)+(0/2)+(0/3)对上式控制量的模糊子集按照隶属度最大原则，取控制量为-1级，即当炉温偏高时，应降一点电压。9/21/202313^_^模糊控制器设计的基本方法1.模糊控制器的结构设计确定模糊控制器的输入、输出变量（1）人机系统中的信息量：误差、误差变化、误差变化的变化，以及人控制动作的输出量（2）模糊控制器的输入、输出变量9/21/202314^_^9/21/202315^_^2.模糊控制规则的设计（1）选择输入输出变量的词集误差：{负大,负中,负小,零,正小,正中,正大}{NB,NM,NS,O,PS,PM,PB}误差变化{负大,负中,负小,负零,正零,正小,正中,正大}{NB,NM,NS,NO,PO,PS,PM,PB}9/21/202316^_^(2)定义各模糊变量的模糊子集：确定模糊子集隶属函数曲线的形状X={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}

9/21/202317^_^则模糊变量A的模糊子集为A=0.2/2+0.7/3+1/4+0.7/5+0.2/6当论域中元素总数为模糊子集总数二到三倍时，模糊子集对论域的覆盖程度较好。9/21/202318^_^（3）.建立模糊控制器的控制规则：通过学习、试验以及长期经验积累而逐渐形成的技术知识集合。若A则B否则C

若A则B且若A则C

9/21/202319^_^模糊规则表9/21/202320^_^3.精确量的模糊化处理（1）把精确量离散化，如把[-6，+6]之间变化的连续量分为7个档次，每一档对应一个模糊集。9/21/202321^_^一般情况，如果把[a,b]区间的离散量x，转换为[-n，+n]区间的离散量y—模糊量，其中，n不小于2,则Y=2n[x-(a+b)/2]/(b-a)(2)将某一区间的精确量x模糊化成这样一个子集，在点x处隶属度为1，其余各点的隶属度为0或小于19/21/202322^_^4.模糊推理和模糊量的非模糊化处理（模糊决策，模糊判决）（1）MIN-MAX-重心法

考虑以下模糊推理形式。9/21/202323^_^由各模糊规则得的推理结果最终结论由综合推理结果得到模糊结论C’的“重心”计算如下9/21/202324^_^9/21/202325^_^（2）代数积——加法——重心法用代数积取代MIN，用加法取代MAX。9/21/202326^_^9/21/202327^_^（3）模糊加权型推理法9/21/202328^_^9/21/202329^_^（4）函数型推理法9/21/202330^_^（5）加权函数型推理法9/21/202331^_^（6）选择最大隶属度法选取模糊子集中隶属度最大的元素作为控制量，若该元素仅为一个，则选择该值作为控制量，否则取其平均值。C1=0.3/-1+0.8/-2+1/-3+0.5/-4+0.1/-5C2=0.3/0+1/1+1/2+0.8/3+0.4/4+0.2/59/21/202332^_^（7）取中位数法选取求出模糊子集的隶属函数曲线和横坐标所围成区域的面积平分为两部分的数，作为非模糊化的结果。优点是充分利用了模糊子集提供的信息量，但是计算繁琐，且缺乏对隶属度较大元素提供主导信息的重视，实际应用受到限制。9/21/202333^_^在各种模糊判决方法中，若充分考虑利用模糊推理子集提供的有用信息，会导致计算烦琐，否则会丢掉一些有用信息．要根据实际系统的具体情况，如系统复杂度及控制精度等，适当地确定模糊量的去模糊化方法．9/21/202334^_^讨论由模糊推理所获得的模糊子集的隶属函数形状，及其对控制性能的影响．9/21/202335^_^5.论域、量化因子、比例因子的选择基本论域、模糊子集的论域、模糊语言词集的总数（7、8）Ke=n/xe；Kc=m/xc；量化因子一般远大于1。Ku=yu/l，比例因子。Ke较大，系统的超调较大，过渡过程也较大。Ke较大，相当于缩小了误差的基本论域，增大了误差变化的控制作用，导致上升时间缩短，但由于出现超调，使得系统的过渡过程变长。9/21/202336^_^Kc增大，超调量减小，但系统的响应速度变慢。Ku过小，会使系统动态响应变长，Ku过大，会使系统出现震荡。6.采样时间的选择香农（Shannon）定理、误差变化最大值、一次采样过程中控制作用次数。9/21/202337^_^

为了对论域U={u1,u2,…,un}中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对U中的元素排序,得到m种意见：V={v1,v2,…,vm},其中vi是第i种意见序列,即U中的元素的某一个排序.若uj在第i种意见vi中排第k位,则令Bi(uj)=n–k,称为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是是比较合理的.模糊集中意见决策9/21/202338^_^例1设U={a,b,c,d,e,f},|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f;B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.9/21/202339^_^例2设有6名运动员U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}参加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪u1,u2,u4,u5,u6,u3；B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u5.9/21/202340^_^若uj在第i种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)=ak(n

–

k)，称为uj的加权Borda数。名次一二三四五六权重0.350.250.180.110.070.04B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：u1,u2,u3,u4,u6,u59/21/202341^_^

设论域X={x1,x2,…,xn}为n个被选方案,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化.然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求rij满足①rii=1(便于计算)；②0≤rij≤1；③当i≠j时,rij+rji=1.这样的rij组成的矩阵R=(rij)n×n称为模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.模糊二元对比决策9/21/202342^_^模糊二元对比决策的方法与步骤是：

⑴建立模糊优先关系.先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：R=(rij)n×n.⑵排序方法：①隶属函数法即直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是：取小法：A(xi)=∧{rij|1≤j≤n},i=1,2,…,n;平均法：A(xi)=(ri1+ri2+…+rin)/n,i=1,2,…,n.9/21/202343^_^②-截矩阵法即取定阈值

,确定优先对象.

取定阈值

∈[0,1]得

-截矩阵R

=(rij(

))n×n,当

由1逐渐下降时,若R

中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.③下确界法先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.9/21/202344^_^模糊综合评判决策在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判.模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法.经典综合评判决策评总分法加权评分法9/21/202345^_^模糊综合评判决策的数学模型

设U={u1,u2,…,un}为n种因素(或指标),V={v1,v2,…,vm}为m种评判(或等级).由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重A=(a1,a2,…,an)来描述,它是因素集U的一个模糊子集.对于每一个因素ui,单独作出的一个评判f(ui),可看作是U到V的一个模糊映射f

,由f可诱导出U到V的一个模糊关系Rf,由Rf可诱导出U到V的一个模糊线性变换TR(A)=A°R=B,它是评判集V的一个模糊子集,即为综合评判.(U,V,R

)构成模糊综合评判决策模型,U,V,R是此模型的三个要素.9/21/202346^_^模糊综合评判决策的方法与步骤是：⑴建立因素集U={u1,u2,…,un}与决断集V={v1,v2,…,vm}.⑵建立模糊综合评判矩阵.对于每一个因素ui,先建立单因素评判：(ri1,ri2,…,rim)即rij(0≤rij≤1)表示vj对因素ui所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵R=(rij)n×m.⑶综合评判.根据各因素权重A=(a1,a2,…,an)综合评判:B=A⊕R=(b1,b2,…,bm)是V上的一个模糊子集,根据运算⊕的不同定义,可得到不同的模型.9/21/202347^_^模型Ⅰ：M(∧,∨)——主因素决定型bj=∨{(ai∧rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

由于综合评判的结果bj的值仅由ai与rij(i=1,2,…,n)中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.模型Ⅱ：M(·,∨)——主因素突出型bj=∨{(ai·rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

M(·,∨)与模型M(∧,∨)较接近,区别在于用airij代替了M(∧,∨)中的ai∧rij.

在模型M(·,∨)中,对rij乘以小于1的权重ai表明ai是在考虑多因素时rij的修正值,与主要因素有关,忽略了次要因素.9/21/202348^_^模型Ⅲ：M(∧,＋)——主因素突出型bj=∑(ai∧

rij)(j=1,2,…,m).模型Ⅲ也突出了主要因素.在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,当模型Ⅰ失效时可采用Ⅱ,Ⅲ.模型Ⅳ：M(·,＋)——加权平均模型bj=∑(ai·rij)(j=1,2,…,m).模型M(·,＋)对所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.9/21/202349^_^例1.服装评判因素集U={u1(花色),u2(式样),u3(耐穿程度),u4(价格)}；评判集V={v1(很欢迎),v2(较欢迎),v3(不太欢迎),v4(不欢迎)}.对各因素所作的评判如下：u1

：(0.2,0.5,0.2,0.1)u2

：(0.7,0.2,0.1,0)u3

：(0,0.4,0.5,0.1)u4

：(0.2,0.3,0.5,0)9/21/202350^_^对于给定各因素权重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分别用各种模型所作的评判如下：M(∧,∨)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(·,∨)：B=(0.14,0.12,0.2,0.03)M(∧,＋)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)M(·,＋)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04)9/21/202351^_^对于给定各因素权重A=(0.4,0.35,0.15,0.1),分别用各种模型所作的评判如下：M(∧,∨)：B=(0.35,0.4,0.2,0.1)M(·,∨)：B=(0.245,0.2,0.08,0.04)M(∧,＋)：B=(0.65,0.85,0.55,0.2)M(·,＋)：B=(0.345,0.36,0.24,0.055)9/21/202352^_^例2.“晋升”的数学模型.以高校老师晋升教授为例：因素集U={政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平},评判集V={好,较好,一般,较差,差}.因素好较好一般较差差政治表现及工作态度42100教学水平61000科研水平00511外语水平221119/21/202353^_^给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用M(∧,∨)、M(·,＋)模型所作的评判如下：M(∧,∨)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)

归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)

M(·,＋)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)9/21/202354^_^例3利用模糊综合评判对20家制药厂经济效益的好坏进行排序(P209).

企业名称

u1

u2

u3

u4

1东北制药厂

1.611

10.59

0.69

1.672北京第二制药厂

1.429

9.44

0.61

1.50……20四川制药厂1.992

21.63

1.01

1.89设cij(i=1,2,3,4；j=1,2,…,20)表示第j个制药厂的第i个因素的值,令得到模糊综合评判矩阵R=(rij)4×20

.9/21/202355^_^§4.4权重的确定方法在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果.凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可能“失真”.加权统计方法因素uj权重aij19/21/202356^_^频数统计方法(1)对每一个因素uj,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=max{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n;mj=min{aij|1≤i≤k},j=1,2,…n.(2)选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj-mj)/p.(3)计算落在每组内权重的频数与频率(4)取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重.(5)将所得的结果归一化.9/21/202357^_^模糊关系方程法在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策B=(b1,b2,…,bm),单因素评判矩阵R=(rij)n×m

,试问各因素的权重分配A是什么？这就是要求解模糊关系方程X°R=B.定理模糊关系方程X°R=B有解的充要条件是

°R=B,其中约定∧

=1.且为X°R=B的最大解.证明：充分性是显然的.9/21/202358^_^必要性设X°R=B有解X=(x1,x2,…,xn),即(x1,x2,…,xn)°R=(b1,b2,…,bm).则

j,∨(xk∧

rkj)=bj

j,k,(xk∧

rkj)≤bj.

k,xk≤

(x1,x2,…,xn)≤

B≤

°R.又

j,k,有当rkj＞bj时,=∧{bj|rkj＞bj}≤bj

∧

rkj≤bj∧rkj=bj;当rkj≤bj时,由=1,

∧

rkj=rkj≤bj;即°R≤B.9/21/202359^_^例下列模糊关系方程是否有解？解：由公式(1)=(0.2,1,0.4),是其最大解.(2)=(1,0.7),不是其最大解.9/21/202360^_^模糊协调决策法在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策B=(b1,b2,…,bm),单因素评判矩阵R=(rij)n×m

,试问各因素的权重分配A是什么？这就是要求解模糊关系方程X°R=B.这里介绍一个近似处理方法.设有一组可供选择的权重分配方案J={A1,A2,…,As}.我们从J中选择一种最佳的权重分配Ak,使得由Ak所决定的综合评判决策Bk=Ak°R与B最贴近.9/21/202361^_^模糊综合评判决策的方法与步骤是：⑴建立因素集U={u1,u2,…,un}与决断集V={v1,v2,…,vm}.⑵建立模糊综合评判矩阵.对于每一个因素ui,先建立单因素评判：(ri1,ri2,…,rim)即rij(0≤rij≤1)表示vj对因素ui所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵R=(rij)n×m.⑶综合评判.根据各因素权重A=(a1,a2,…,an)综合评判:B=A⊕R=(b1,b2,…,bm)是V上的一个模糊子集,根据运算⊕的不同定义,可得到不同的模型.9/21/202362^_^模型Ⅰ：M(∧,∨)——主因素决定型bj=∨{(ai∧rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

由于综合评判的结果bj的值仅由ai与rij(i=1,2,…,n)中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.模型Ⅱ：M(·,∨)——主因素突出型bj=∨{(ai·rij),1≤i≤n}(j=1,2,…,m).

M(·,∨)与模型M(∧,∨)较接近,区别在于用airij代替了M(∧,∨)中的ai∧rij.

在模型M(·,∨)中,对rij乘以小于1的权重ai表明ai是在考虑多因素时rij的修正值,与主要因素有关,忽略了次要因素.9/21/202363^_^模型Ⅲ：M(∧,＋)——主因素突出型bj=∑(ai∧

rij)(j=1,2,…,m).模型Ⅲ也突出了主要因素.在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,当模型Ⅰ失效时可采用Ⅱ,Ⅲ.模型Ⅳ：M(·,＋)——加权平均模型bj=∑(ai·rij)(j=1,2,…,m).模型M(·,＋)对所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.9/21/202364^_^例1.服装评判因素集U={u1(花色),u2(式样),u3(耐穿程度),u4(价格)}；评判集V={v1(很欢迎),v2(较欢迎),v3(不太欢迎),v4(不欢迎)}.对各因素所作的评判如下：u1

：(0.2,0.5,0.2,0.1)u2

：(0.7,0.2,0.1,0)u3

：(0,0.4,0.5,0.1)u4

：(0.2,0.3,0.5,0)9/21/202365^_^对于给定各因素权重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分别用各种模型所作的评判如下：M(∧,∨)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(·,∨)：B=(0.14,0.12,0.2,0.03)M(∧,＋)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)M(·,＋)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04)9/21/202366^_^对于给定各因素权重A=(0.4,0.35,0.15,0.1),分别用各种模型所作的评判如下：M(∧,∨)：B=(0.35,0.4,0.2,0.1)M(·,∨)：B=(0.245,0.2,0.08,0.04)M(∧,＋)：B=(0.65,0.85,0.55,0.2)M(·,＋)：B=(0.345,0.36,0.24,0.055)9/21/202367^_^例2.“晋升”的数学模型.以高校老师晋升教授为例：因素集U={政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平},评判集V={好,较好,一般,较差,差}.因素好较好一般较差差政治表现及工作态度42100教学水平61000科研水平00511外语水平221119/21/202368^_^给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用M(∧,∨)、M(·,＋)模型所作的评判如下：M(∧,∨)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)

归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)

M(·,＋)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)9/21/202369^_^例3利用模糊综合评判对20家制药厂经济效益的好坏进行排序(P209).

企业名称

u1

u2

u3

u4

1东北制药厂

1.611

10.59

0.69

1.672北京第二制药厂

1.429

9.44

0.61

1.50……20四川制药厂1.992

21.63

1.01

1.89设cij(i=1,2,3,4；j=1,2,…,20)表示第j个制药厂的第i个因素的值,令得到模糊综合评判矩阵R=(rij)4×20

.9/21/202370^_^§4.4权重的确定方法在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果.凭经验给出的权重,在一定的