数学人教A版选修2-3学案第二章2.4正态分布

2.4正态分布学习目标重点、难点．2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.重点：正态曲线的特点及其所表示的意义；利用正态分布解决实际问题．难点：求随机变量在某一区间内的概率.1．正态曲线(1)函数______________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称________．(2)随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a＜X≤b)≈__________，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b]的概率的近似值．预习交流1(1)正态曲线φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？(2)设随机变量X的正态分布密度函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))e－eq\f(x＋32,4)，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是()．A．μ＝3，σ＝2B．μ＝－3，σ＝2 C．μ＝3，σ＝eq\r(2)D．μ＝－3，σ＝eq\r(2)2．正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝__________，则称X服从________．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作________，如果随机变量X服从正态分布，则记为________．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴____，与x轴______；(2)曲线是单峰的，它关于直线____对称；(3)曲线在____处达到峰值______；(4)曲线与x轴之间的面积为__；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“____”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越分散，如图②.预习交流2设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()．A．0B．σ C．－μ D．μ4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率P(μ－a＜X≤μ＋a)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝______，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝______，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝______.5．3σ原则正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为________．预习交流3(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6]内取值的概率为__________．答案：1．(1)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)正态曲线(2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)φμ，σ(x)dx预习交流1：(1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))，∴μ＝－3，σ＝eq\r(2).2.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)φμ，σ(x)dx正态分布N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)3．(1)上方不相交(2)x＝μ(3)x＝μeq\f(1,σ\r(2π))(4)1(6)瘦高矮胖预习交流2：提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ.4.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(μ＋a,μ－a)φμ，σ(x)dx6445．3σ原则预习交流3：(1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)6.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、正态曲线的图象应用如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．如图是正态分布N(μ，σeq\o\al(2,1))，N(μ，σeq\o\al(2,2))，N(μ，σeq\o\al(2,3))(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()．A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2 D．σ2＞σ1＞σ(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝eq\f(1,\r(2π)σ)为最大值，并注意该式在解题中的应用．二、利用正态曲线的对称性求概率已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝，则P(X≤0)＝()．A．B．C．D思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－)＝，则P(|ξ|＜)＝()．A．B．C．D充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)；P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．三、正态分布的应用在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于kg小于等于kg属于正常情况，则这1A．997B．954C．819D求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．答案：活动与探究1：解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2\r(π))，则σ＝eq\r(2).所以概率密度函数的解析式是f(x)＝eq\f(1,2\r(π))，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.迁移与应用：A活动与探究2：A解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16.迁移与应用：C解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，∴P(ξ＜)＝P(ξ＞)＝0.025.∴P(|ξ|＜)＝1－P(ξ≥)－P(ξ≤)＝0.950.活动与探究3：解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]4.(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100]000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2000×6≈1365(人)．迁移与应用：D解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(＜X≤)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)6，从而属于正常情况的人数是1000×6≈683.1．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体的均值为()．A．1B．－1C．0D2．设随机变量X～N(1,22)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))＝()．A．4B．2C.eq\f(1,2)D．13．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()．A．B．C．D4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．5．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9200，10800]内的概率是__________．答案：1．C解析：由正态曲线关于y轴对称，∴μ＝0，均值为0.2．D解析：因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))＝eq\f(1,4)D(X)＝1.3．C解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于x＝0对称．又P(ξ＞2)＝0.023，∴P(ξ＜－2