柱体锥体台体的表面积与体积

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（约三课时）三维目标：【知识与技能】1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。2．能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。3．培养学生空间想象能力和思维能力。4．会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。【过程与方法】1．让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。2．让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。【情感态度与价值观】1．通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。2．培养学生的空间想象能力和抽象括能力。重点与难点：【重点】柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【难点】台体体积公式的推导教学方法：观察、思考、交流、讨论、概括。。教具准备：POWERPOINT教学过程：第一课时一．引入新课【师】前面,我们分别从几何结构特征和视图两个方面认识了空间几何体。下面我们来学习空间几何体的表面积和体积。表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小。首先，我们来学习1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积。二．新课讲解【师】在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图。（1）何为展开图？（2）你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？【生1】多面体的平面展开图的概念：将一些简单多面体沿着它的某些棱剪开而形成的平面图形叫做该多面体的平面展开图．【生2】略【师】几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？【生3】略【师】（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图。（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。（4）归纳总结以下内容：1．直棱柱的展开图与侧面积①定义：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱．②③直棱柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的长等于直棱柱的底面周长，宽等于直棱柱的高，因此直棱柱的侧面积是．④底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱．2．正棱锥的展开图与侧面积①定义：底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．②如果正棱锥的底面周长为，斜高为，由图可知它的侧面积是．3．正棱台的展开图与侧面积①正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台。②与正棱锥的侧面积公式类似,若设正棱台的上、下底面的周长分别为，斜高为，则其侧面积是．项目名称直棱柱正棱柱正棱锥正棱台定义侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台侧面积的计算公式为底面的周长，为棱柱的高为底面周长，是斜高（侧面等腰三角形底边上的高）为上底面周长，为下底面周长，是斜高（侧面等腰梯形的高）性质每个侧面都是矩形，底面是多边形每个侧面都是矩形，底面是正多边行侧面是全等的等腰三角形，底面是正多边形，每条侧棱都相等侧面是全等的等腰梯形，底面是正多边形，每条侧棱都相等4．圆柱、圆锥、圆台的展开图与侧面积圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。（为上底半径，为下底半径，为母线长）三.练习领会1．师生共同完成教材第24、25页例1、【例1】已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积。【例2】一个圆台形花盆盆口直径为，盆底直径为，盆壁长为，底部渗水小圆孔直径为。为了美化花盆的外观，需要涂油漆。已知每平方用毫升油漆，涂个这样的花盆需要多少油漆（取，结果精确到毫升。）？2．学生完成教材第27页练习题第１题四．课内小结：本节课我们学习了柱、锥、台体的侧面展开图和它们的表面积。大家一定要知道上述公式的由来，并且能够熟练的应用。五．课后作业：课本第28页习题组1、2、5题第二课时一．引入新课【师】上节课我们学习了柱、锥、台体的侧面展开图和它们的表面积。它们的体积分别是什么呢？点题，板书课题。。二．新课讲解【例3】如图，长方体中，，且．求沿着长方体的表面自到的最短路线的长．解：将长方体相邻两个面展开．问题化归为比较三个展开图中，长，，，，由，得∴最短线路的长为．【变式1】有已知是圆柱的轴截面，，，是的中点．一小虫沿圆柱的侧面从爬一周到，求小虫爬过的最短距离．【变式2】有一根长为，底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁些在铁管上缠绕圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到）分析：可以把圆柱沿着条母线展开，将问题转化为平面几何的问题．解：把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形，如图所示．由题意知点与点就是铁丝的起止位置，故线段的长度即为铁丝的最短长度．答：铁丝的最短长度约为．说明：教学是可分步解决：先研究绕1圈时最短长度是多少，绕2圈时最短长度是多少，最后研究绕4圈时最短长度是多少．【例4】设计一个正四棱锥行冷水塔塔顶，高是0．85,底面的边长是1．5,制造这种塔顶需要多少平方米铁板?(保留两位有效数字)分析本题即计算正四棱锥的侧面积,根据公式,只需计算斜高．为此,在正四棱锥中作出相应的直角三角形,再解三角形即可．解如图,表示塔的顶点,表示底面中心,则是高．设是斜高．在中,根据勾股定理得,=．答：制造这种塔顶需要铁板约．【例5】已知圆锥有一个内接圆柱,此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积．解：（1）由题意作出圆锥和其内接圆柱的轴截面（如图）．则圆柱的全面积：圆锥的底面积=3：2，，即，解得．，而圆锥母线与底面所成的角为，故（2）在三角形中，，∴圆锥的侧面积=，圆柱的侧面积=圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为．说明：圆柱、圆锥都是旋转体，它们的关系可以通过轴截面来研究．【变式1】若一圆锥的轴截面面积等于它的侧面积的，求其母线与底面所成角的正弦值．【变式2】圆台侧面展开图是外半径为75，内半径为45的圆环的，求该圆台的高．【例6】已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其中有一个高为的内接圆柱．（1）求圆柱的侧面积；（2）为何值时，圆柱的侧面积最大？三.课内小结注意求解几何体中侧面上两点间的距离的最小值的方法。四．课后作业：课本第29页习题组1、2题五.教后记：第三课时一．引入新课【师】上节课我们学习了柱、锥、台体的侧面展开图和它们的表面积的应用。它们的积分别是什么呢？点题，板书课题。二．新课讲解5．祖暅原理【师】请同学们阅读课本第30-31页祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积中的问题一、二。6．柱、锥、台体的体积棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积和高的积，即．类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为，高为的棱柱的体积，所以．台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面面积分别为，高为，可以推得它的体积是．7．柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：．三.练习领会1．师生共同完成课本第26页例3【例7】有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重．已知底面六边形边长是12，高是10，内孔直径是．那么约有毛坯多少个？（铁的比重是）分析六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由此比重算出一个六角螺帽毛坯的重量即可．解：因为所以一个毛坯的体积为．约有毛坯（个）．答：这堆毛坯约有251个．【例8】在长方体用截面截下一个棱锥，求的体积与剩余部分的体积比．解：将长方体看成四棱