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文档简介

第四讲可降阶的高阶微分方程复习上讲内容1.齐次方程；2.一阶线性微分方程。本讲教学内容三类可降阶的高阶微分方程，及其解法【教学目的与要求】熟练掌握三类可降阶的高阶微分方程及其解法【教学重点与难点】三类可降阶的高阶微分方程的解法§9.3可降阶的高阶微分方程一、型的微分方程微分方程（1）的右端是仅含有自变量的函数．此类方程可通过逐次积分求得通解．积分一次，得，再积分一次，得，如此继续下去，积分次后就得方程（1）的通解．例1求微分方程的通解．解对所给方程接连积分三次，得，，．这就是所求的通解.二、型的微分方程方程（2）的特点是不含未知函数．作变量替换，则．于是，方程（2）可化为．这是一个关于变量，的一阶微分方程．设其通解为而，因此又有一阶微分方程．对它进行积分，就得到方程的通解．例2求微分方程的通解．解设，则．将其代入原方程中，得，分离变量，得，两端积分，得，或，即．再积分，便得原方程的通解．例3求方程满足初始条件的特解．解令，则.原方程可化为，分离变量，得，两边积分，得．由初始条件，代入上式，得．因而，即．两边积分，得．由初始条件，代入上式，得．从而所求的特解为．三、型的微分方程微分方程（3）的特点是不含自变量．为了求出它的解，令利用复合函数的求导法则把化为对的导数，即，则方程（3）可化为．这是一个关于变量的一阶微分方程．设它的通解即．分离变量并积分，就可得到方程（3）的通解为．例4求微分方程的通解．解设，则，代入原方程，得，分离变量，得，两边积分，得，即．由，代入得，分离变量，得，两边积分，得就是所求的解．例5求微分方程的通解．解设，则，代入原方程，得，在，时，约去并分离变量，得，两端积分得，即．也就是．再分离变量并两端积分，便得原方程的通解为，即．

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