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文档简介
第四讲可降阶的高阶微分方程复习上讲内容1.齐次方程;2.一阶线性微分方程。本讲教学内容三类可降阶的高阶微分方程,及其解法【教学目的与要求】熟练掌握三类可降阶的高阶微分方程及其解法【教学重点与难点】三类可降阶的高阶微分方程的解法§9.3可降阶的高阶微分方程一、型的微分方程微分方程(1)的右端是仅含有自变量的函数.此类方程可通过逐次积分求得通解.积分一次,得,再积分一次,得,如此继续下去,积分次后就得方程(1)的通解.例1求微分方程的通解.解对所给方程接连积分三次,得,,.这就是所求的通解.二、型的微分方程方程(2)的特点是不含未知函数.作变量替换,则.于是,方程(2)可化为.这是一个关于变量,的一阶微分方程.设其通解为而,因此又有一阶微分方程.对它进行积分,就得到方程的通解.例2求微分方程的通解.解设,则.将其代入原方程中,得,分离变量,得,两端积分,得,或,即.再积分,便得原方程的通解.例3求方程满足初始条件的特解.解令,则.原方程可化为,分离变量,得,两边积分,得.由初始条件,代入上式,得.因而,即.两边积分,得.由初始条件,代入上式,得.从而所求的特解为.三、型的微分方程微分方程(3)的特点是不含自变量.为了求出它的解,令利用复合函数的求导法则把化为对的导数,即,则方程(3)可化为.这是一个关于变量的一阶微分方程.设它的通解即.分离变量并积分,就可得到方程(3)的通解为.例4求微分方程的通解.解设,则,代入原方程,得,分离变量,得,两边积分,得,即.由,代入得,分离变量,得,两边积分,得就是所求的解.例5求微分方程的通解.解设,则,代入原方程,得,在,时,约去并分离变量,得,两端积分得,即.也就是.再分离变量并两端积分,便得原方程的通解为,即.
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