曲边梯形的面积

曲边梯形的面积【教材内容分析】微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用．在前面学习完导数之后，学生还将经历求解曲边梯形的面积、汽车行驶的路程等实际问题的过程，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。对比教学大纲，新课标增加了定积分概念和微积分基本定理，主要是促进学生全面认识数学的价值，体会微积分的科学价值和文化价值．微积分是全面认识数学价值的一个较好的载体．教科书在对两类典型问题——求曲边梯形的面积和求变速直线运动物体位移进行详细讨论的基础上，抽象、概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质．因此，本节课为定积分概念的背景课．这是教材的设计意图【学习者特征分析】在前面的课程中，学生已经学习了导数的基础知识，并且用导数解决了一些实际问题，比如：已知位移求速度，曲线的切线问题，函数的最大值或最小值问题及生活中的优化问题等，渗透了微分思想。特别是导数概念的建立过程：首先明确瞬时速度的含义，然后将瞬时速度一般化，给出导数定义。这个过程蕴含了无限逼近的思想和用已知探究未知的思考方法。这些内容都为本节课的学习奠定了基础。并且学生对更有实际意义的曲边梯形面积有着积极的学习态度和强烈的求知欲。

在学生已有的认知基础上，引导学生用学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形的面积是学生通过自己动手操作，小组讨论可以做到的。但是，如何由曲边梯形面积的近似值得到精确值，使学生理解“无限逼近”的思想，对于没有极限运算基础的学生来说是比较困难的。结合教材和学生实际，确定本节课的教学难点是：“以直代曲”、无限逼近”思想的形成过程及理解。对本节内容中比较抽象的几个问题，借助多媒体课件进行演示，使学生“看”到数学的本质。激发学生的学习兴趣，加深其对“以直代曲、“无限逼近”思想方法的理解，增强学生对极限思想的直观感知，从而突破教学难点。【教学目标】1、知识与技能目标：通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。理解求曲面梯形的一般步骤。2、过程与方法目标：通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观目标：体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。【教学重点】求一般曲面梯形面积的方法。【教学难点】对以直代曲、无限逼近思想的理解。【教学策略选择与设计】鉴于定积分思想的高度抽象性，并针对本节课的特点，我采用以教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学手段上采用实物投影仪和多媒体课件相结合的教学手段。对本节内容中比较抽象的几个问题，借助多媒体课件进行演示，使学生“看”到数学的本质。激发学生的学习兴趣，加深其对“以直代曲、“无限逼近”思想方法的理解，在突出教学重点的同时，突破难点。围绕本节课的教学重点，在整个教学过程注重以学生为主体，以问题为主线，以老师为主导，通过环环相扣的问题链，层层深入，不断启发学生的思维活动，使探究活动贯穿整节课始终。从整条曲边到局部小范围内的以直代曲，再到不同近似代替方案的对比讨论，都是在一个个问题的驱动和我的引导下，由学生探究来完成的。为学生创设了充分的探究空间，学生在交流成果的过程中体验学习的乐趣。教学中鼓励学生发表自己的观点，并抓住学生在语言、思想等方面的闪光点给予表扬，树立学生自信心。通过学生回答问题，用实物投影仪展示学生解题过程，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，根据反馈信息及时点评、适时点拨，使学生真正掌握求曲边梯形的思想方法、步骤。【教学环境及资源准备】多媒体电脑、课件等。【教学过程】教学环节教学内容学生活动教师活动创设情景问题：求下图中阴影部分的面积对直边问题面积思考回顾以前计算面积的方法提出问题，引导学生思考提出概念abxabxyOy=f(x)问题：怎么求该曲边梯形的面积？熟悉定义思考问题准确地叙述定义提出问题引导探究问题：圆的面积怎么计算？祖冲之用什么方法近似计算了圆的面积？回顾旧知产生分割近似的意识投影归纳展示问题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）由学生已有的知识，提出观点。投影。归纳学生的观点。自主探究探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？（分割）提出自己的看法，同伴之间进行交流。进行总结，分配任务。同时用几何画板演示。探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。（近似代替）、（求和）写出面积求和式。①巡视，给予指导，即时纠正学生中的运算错误。②及时实物投影。③比较三种求和式的优劣，规定近似代替的原则。探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？（取极限）写出分割无限多时，相应的数学含义。及时实物投影。探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？（夹逼定理的意义）发表自己的看法总结，规范问题：如果不是在区间的两个端点取，而是在每一个区间中间取任意一点作为高，会有怎样的结果？交流、提出看法