勾股定理常见错例剖

勾股定理常见错例剖勾股定理是初中数学的一个重要内容，应用很广泛.由于勾股定理及其逆定理的形式都比较简单，不少同学在应用时常出现一些错误,现将这些错例归类剖析，供同学们参考.一、刻板地套用勾股定理例1在RtABC中，ZA=90°,a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，a=4,b=3,求c的长度.错解：由勾股定理，得c2=a2+b2=42+32=25,所以c=5.剖析：错在对勾股定理的认识不正确，受勾股定理c2=a2+b2的影响，想当然地套用勾股定理，认为c是斜边而导致错误.实际上，本题中NA=90°,a是斜边，故应是a2=b2+c2.正解：因为NA=90°,由勾股定理，得a2=b2+c2.故有c2=a2-b2=42-32=7,所以c二.点评：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边是斜边，而c不一定是斜边.既要看是否满足勾股定理的形式,又要看这个定理中a、b、c的实质.二、忽略勾股定理存在的条件例2在边长都是整数的ABC中，AB>AC,如果AC二4,BC=3,求AB的长.错解：因为AB>AC,由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=42+32=25,所以AB=5.剖析:此题错在没有明确是否为直角三角形，受“勾3股4弦5”的思维定势的影响，误认为ABC是直角三角形，忽略勾股定理存在的条件而盲目使用勾股定理.正解：根据三角形的三边关系：三角形任何一边小于两边的和,得AC+BC>AB〉AC,即4点评：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，但只有在直角三角形中才成立.因此在非直角三角形或不确定是直角三角形的情况下，不能盲目使用勾股定理.三、思考问题不全面例3在RtABC中，a=8,b=6,求c的长度.错解：由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100,所以c=10.剖析：本题没有给出对应的图形，上述解法误认为NC是直角,将c当作斜边，思考问题不全面.由于本题没有明确哪个角是直角,所以需要分情况讨论：NA是直角或者NC是直角.正解：(1)当NC是直角时，由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100,所以c=10.(2)当NA是直角时，由勾股定理，得a2=b2+c2.故c2=a2-b2=82-62=28,所以c=2.故c的长度为10或者2.点评：当题目给出直角三角形两边长，并且没有确定它们都是直角边时，需要考虑到所有符合条件的图形，明确第三边既可以是直角边，也可以是斜边.周密思考，防止漏解.四、勾股定理与逆定理混淆不清例4在ABC中，a=12,b=5,c=13,试判断ABC的形状.错解：因为c2=132=169,a2+b2=122+52=169,所以a2+b2=c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形.剖析：本题错在混淆了勾股定理与其逆定理，虽然最终判断的结果正确的，但判断的依据错误.勾股定理的前提是在直角三角形中,结论是a2+b2=c2,所以勾股定理是直角三角形的一个性质，而勾股定理的逆定理才是直角三角形的一个判定方法.正解:因为c2=132=169,a2+b2=122+52=169,所以a2+b2=c2.根据勾股定理的逆定理知ABC是直角三角形.点评：勾股定理是直角三角形的一个性质，可以用它来判断直角三角形三边的等量关系，而其逆定理是根据三边的等量关系来判断三角形的形状.五、推理错误例5在ABC中，a、6。分另1」是/人、/8、/€；的对边，a=n2-l,b=2n,c=n2+l(n>l),求NC的度数.错解:因为(n2T)2+(2n)2=(n2+l)2,即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.所以a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知NC二90°.剖析：本题错在推理过程上，列出(n2-l)2+(2n)2=(n2+l)2这个等式就认为a2+b2=c2成立.正解:因为a2+b2=(n2T)2+(2n)2=n4-2n2+l+4n2=n4+2n2+l,c2=(n2+l)2=n4+2n2+l,所以a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理可知NC=90°.点评：在判断所给的线段能否构成直角三角形时，首先要确定最长边，然后再通过推理，只有计算出较短两边的平方和等于最长边的平方时，才能说明此三角形是直角三角形.通过对这些问题的剖析，希望同学们能仔细体会勾股定理及其逆定理的本质意义，并加以灵活运用.练习：.在ABC中，a、b、c分别是NA、NB、NC的对边，且(a+b)(a-b)=c2,则().A.N