自行车存放问题

自行车存放问题湖南省娄底市双峰县第一中学451作者：朱天成指导老师：贺永铁摘要本文以双峰县一中存车区为例，试图说明在具有确定面积和形状的区域内如何摆放最大数量的自行车问题。学生使用的交通工具普遍是自行车，因此学校必须有适当的自行车存放区域。但由于场地有限，会出现摆放拥挤的情况。关键词确定面积和形状的区域摆放最大数量的自行车方程思想现双峰县一中高中存车区（长6288cm；宽936cm）俯视平面图如图1所示（图附后），阴影部分为自行车停放区域（简称“存车带”——分别用I、II、III、W标明），均宽170cm,；空白部分为通道，其中标出“A左”“B右”等符号的带状通道（简称“车道”均宽85cm,图中存车带箭头所示方向为车辆停置时车头指向E、E、为出、入口。12带有箭头的虚线表示学生进校后进入存车区的路线。据调查，现一中高中学生骑车上学的人数约为1400人，进校时间集中在6:10—6:20约400人。此时存车区内拥挤，疏通缓慢。故需对车辆的摆放做适当的调整，以增大疏通速率。分析堵塞原因：（1）车道狭窄，推车通过车道较慢。（2）存车带分布不当，引起学生过于集中。一、分析问题据统计:1） 6:10〜6:20到校学生以37人/分钟的平均速度进入存车区.因在I、II存车带存车都将进入A道，所以单位时间通过A道的人数（设为2p）是B.C两道的2倍，即PA=2PB=2PCABC2） 车道的宽度d不小于75cm.当d=75cm时，人推车恰好通过，且此时速度最小,等于50cm/s.车道每增宽1cm，通行速度增加2cm/s.若干道在110cm的基础上继续增宽，通行速率将不再增加.据以上四点计算当车道宽度各为多少时,相同人数全部通过车道用时最短.设:当A道宽为(75+x)cm时，用时最省。因为：车道宽必须大于等于75cm，且A.B.C车道总宽为(85x3)cm，0<x<30此时，2p人通过A道的时间T(x)=2px6288 (0<x<30)A 50+2x其中2x为A道增加的宽度所对应的速率增加值。同理，p人通过B或C道所用的时间TB(x)=TC(x)=px6288BC 50+2x心2(0<x<30)因为4p人同时通过A、B、C道，所以4p人全部通过的时间是TA(x)TB(x)TC(x)中较大的一个。ABC即max{T(x)、T(x)、T(x)}=6188xpxT(x).A B C21其中，T(x)=max{50丄2x 30-x}.50+2x50+2x x2所以最短时间即为：当xe［0,30］时T(x)的最小值。在［0,30］上考察函数T(x)，T(x)=2是减函数，Tb= 1 是增函数，a 50+2x b 30-x50+2x・••当x满足T（x）=T（x）时,T（x）达到最小值T（x）.0ab0解方程2 = 1 得x0=27.5（cm）50+2x50+2x30二 02・••当A道宽为75+27.5=102.5（cm）,B、C道各宽75+1.25=76.25（cm）时,通过相同人数所用时间最短.二、分析问题（2）1） 若进入A左（或B左），则存车后需原路返回.据统计,在未出A左（或B左）之前约六人随后进入A左（或B左）相遇,每与一人相遇,需停留t0（t0为搁放车所需时间），且在第七人未进入之前可出A左（或B左）。2） 若进入A中（或B中），则由E1进，E2出，不需停留。现右存车带长固定为860cm（不考虑右存车带的变动），则左，中存车带共长4556cm。试计算，当左，中存车带长度之比为何时，通过相同的人数所用时间最少。据统计：1） 6:10—6:20通A左和A中的人数约为155人；通过B左和B中的人数约为78人。2） 在6:10之前约有400人已到校，占1400人的29%，所以可粗略的认为从各道口向内延伸的0.4倍车道长已有车辆存放（如图1交叉的阴影部分）。即6:10—6:20到校的学生至少需推车通过的0.4倍的车道长。3） 每人放车时间约15s。（注：C道临存车区外部，不存在（2）中问题，不考虑）

设：左道长xcm,则中道长（4556-x）cm.由（2）的结论得出：A道通行速率为50+2x27.5=105^100cm/s;B道通行速率为52.5cm/Sv50cmS不推车速率为100cmS.又进入某车道存车的人数与该道长度成正比，・••进A道存车所用时间TA=（进入时间+返回时间+停留时间+A左存车时间）X人数=（0.4x+0.4x+6X15+15）xxX155TOC\o"1-5"\h\z100 100 2 4556同理T=(空+业+6xE+15)x亠X78,B左100 100 2 4556T=(通行时间+存车时间)X人数=(4556-x+15)4556-xX155,A中 100 4556同理Tb中同理Tb中=[0.4x(4556-x)500.6x(4556-x)

1^0+15]X4556-xX78.4556・T左=Ta左+Tb左'T中=Ta左=Tb中与问题(1)同理，学生全部通过的时间为max{T(x),T(x)}左右设T(x)=max{T(x),T(x)}'当x满足T(x)左 右 0 左=T(x)时，T(x)达到最小值T(x).右0解方程( 业+业+6xE+15 )1001002x4556x155+(0.4x

w0.4x

w+6x匕+15)x2x4556x155+(0.4x

w0.4x

w+6x匕+15)x2x4556x78二(4556-4556+15)x4556-x4556x155+[0.4x(4556一x)+50 *0.6x(4556-x)100+15]X4556-x4556x78.整理得0.466x2-41548.904x+70763573.31=0解得x=1737(cm)・••左车道长(即左存车道长)为1737cm,中车道长为4556-1737=2819cm时，通过相同的人数用时最少。三、调整将A道加长至102.5cm,BC道相应变窄。将左部的存车带加长至1737cm,中部的存车带缩短至2819m。调整后的存车区俯视平面图如图2所示。注：1)如图1、图2,存车区外向内52cm的区域无车篷，故其最外层为车道。因此,按存车带箭头所示方向最佳。气、E2所正对的存车带1,其面积较小且不影响周围车域的车辆存放,故在上述计算中忽略不计。由E2进入中车道的人数很少，忽略不