高中数学人教A版选择性课件3-2-1双曲线及其标准方程

3.2.1双曲线及其标准方程第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.了解双曲线的定义.(数学抽象)2.掌握双曲线的几何图形与标准方程.(直观想象)3.会求双曲线的标准方程.(数学运算)思维脉络课前篇自主预习[激趣诱思]如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?[知识点拨]一、双曲线的定义1.定义:一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.集合语言表达式双曲线就是集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.名师点析

若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小.(1)若|MF1|>|MF2|,则|MF1|-|MF2|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|MF1|<|MF2|,则|MF2|-|MF1|>0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.微思考把双曲线定义中的“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或使定义中的常数为0,结果如何?提示

①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点);②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在.③若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.微练习1已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的(

)A.充分条件

B.必要条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B微练习2平面内到点F1(6,0)的距离减去到点F2(-6,0)的距离之差等于12的点的集合是(

)A.双曲线 B.双曲线的一支C.两条射线 D.一条射线解析

设动点为P,则|PF1|-|PF2|=12=|F1F2|,点P的轨迹为以F2为端点的一条射线.答案

D

二、双曲线的标准方程

微思考如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置?提示

焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.微练习(1)若双曲线方程为,则其焦点在

轴上,焦点坐标为

.

(2)已知a=5,c=10,焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为

.

课堂篇探究学习探究一双曲线定义的应用例1若F1,F2是双曲线

的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.思路分析(1)直接利用定义求解.(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.解

(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,反思感悟

求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;④利用公式S=×|PF1|·|PF2|sin

∠F1PF2求得面积.(2)利用公式S=×|F1F2|×|yP|求得面积.(3)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2=θ,则面积S=.这一结论适用于选择或填空题.变式训练1已知双曲线

的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.解

在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5.设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0).由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6,两边平方,得m2+n2-2mn=36.又∠F1PF2=90°,∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.∴mn=32,探究二求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程

思路分析(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解.(2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上,且c2=16+4=20,利用待定系数法求解,或设出统一方程求解.(3)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解.反思感悟

待定系数法求双曲线的标准方程的步骤(1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0);②与双曲线(3)计算:利用题中条件列出方程组,求出相关值.(4)结论:写出双曲线的标准方程.变式训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(2)焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点Q(2,2).解

(1)由已知得,c=5,2a=8,即a=4.∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9.∵焦点在x轴上,探究三双曲线标准方程的应用(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.思路分析根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.反思感悟

方程表示双曲线的条件及参数范围求法(3)已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)求解参数的取值范围.变式训练3(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,则该方程表示(

)A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线(2)若方程x2sinα-y2cosα=1(0≤α<π)表示双曲线,则α的取值范围是

.

素养形成与双曲线有关的轨迹问题的求解方法一、定义法利用双曲线的定义可以判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).典例1(2020湖北宜昌高二检测)已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为

.

思路分析利用与两圆内切、外切的充要条件,建立动点M的几何等量关系式,结合双曲线的定义求解.归纳总结利用双曲线的定义探求动点轨迹方程时要能从条件中寻找动点所满足的几何等量关系式是否符合双曲线的定义.在运用双曲线定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整个双曲线,还是双曲线的一支.若是一支,是哪一支,需用变量的范围确定.典例2若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A1(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a≥0),讨论点P的轨迹方程.思路分析本题的关键在于a.因为|AA1|=2,以0和2为分界点,应讨论以下四种情况:a=0,0<a<2,a=2,a>2.【规范答题】

归纳总结利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,既要注意定义中的条件|F1F2|>2a(当条件中不能确定|F1F2|与2a的大小关系时,需要分类讨论),又要关注等量关系式中的绝对值.二、相关点法建立动点坐标(x,y)与中间变量(x0,y0)之间的关系,消去x0,y0后即得动点的轨迹方程.典例3点P是双曲线

-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程.思路分析设点M(x,y),P(x0,y0),运用代入法求解.归纳总结本题运用相关点法求轨迹方程,注意在含有两个动点时坐标的设法,求轨迹方程的点的坐标设为(x,y),另一点的坐标设为(x0,y0),用x,y来表示x0,y0,代入已知方程求解.

当堂检测1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为(

)A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线解析

因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=6<|F1F2|,为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,