中外数学竞赛样章

本书是我国著名数学家李炯生等人于#年编写的一本数学竞赛辅导资料书中辑录了大量的国内外中学生数学竞赛试题根据其涉及的数学分支分为算术方程与不等式平面几何立体几何分析多项式组合数学等类别并把解题所需要的数学知识归纳总结为从#年中国数学会普及工作委员会成立到#年第!届国际数学奥林匹克在北京成功举办我国的数学竞赛活动在普及的基础之上逐渐提高起来当时出版了一大批由我国著名数学家亲自撰写的科普读物如上海教育出版社的中学生文库丛书湖南教育出版社的走向数学丛书中国科学技术大学出版社的数学奥林匹克辅导丛书和数学奥林匹克竞赛丛书等在当时的经济条件和国际环境下各种国外资料的收集和整理是一件非常不容易的工作可以说老一辈数学家的著作是他们的汗水和心血的结晶他们的学识和经验值得我们传承下去$如今我国的经济快速发展国际地位不断得到提升参加国际数学竞赛所取得的成绩也一直名列前茅随着我国数学竞赛活动的深入和广泛开展以普及数学知识激发数学兴趣促进数学教改提高数学素质为宗旨的数学竞赛活动被外界赋予了许多与数学竞赛活动无关的职能在数学竞赛乃至数学被妖魔化的今天再版重印这本书就显得十分重要李炯生老师现已年近八旬应李炯生老师和中国科学技术大学出版社的邀请我对原书的稿样进行了仔细的校对$与中国相比世界各地的中学生数学竞赛活动都受到广泛的重视数学竞赛的水平也都非常高学生的能力并不比中国学生差例如在(年第'届国际数学奥林匹克中韩国队力压中国队取得团体第一名有鉴于此我从最近几年的世界各地数学奥林匹克竞赛真题中!精选了一百余道具有各种难度的典型试题配上自己的解答补充进书的新版中供读者借鉴参考尽管题目的形式可能比较新颖难度也可能比较大但解题所需要的数学知识仍然离不开基本的数学概念数学方法和数学思维方式$本书主要面向从事数学竞赛活动辅导的中学教师和参加高水平数学竞赛的中学生可作为他们的培训资料或参考书也可供广大数学竞赛爱好者使用参考由于水平的限制虽 然希望不辜负李炯生老师的期望但书的新版中仍难免有错误对题目的解答也很可能不是最好的方法衷心希望读者批评指正并提出建议$'年 自从"年罗马尼亚首次举行中学毕业生数学竞赛以来已经整整一百年这期间许多国家如匈牙利苏联波兰保加利亚南斯拉夫捷克斯洛伐克美国中国民主德国加拿大印度典越南古巴荷兰意大利卢森堡亚等都先后举行了数学竞赛"年在罗马尼亚倡议下首届国际数学奥林匹克在布加勒斯特举行以后每年由各国轮流举办迄今已进行了!届其规模不断扩大由开始几个国家参加发展到现在每年有四五十个国家参加近年来还出现许多地区性数学竞赛如奥地利波兰数学竞赛由希腊罗马尼亚保加利亚参加的巴尔干地区数学竞赛由丹麦冰岛挪威芬兰瑞典共同举办的斯堪德那维亚地区数学竞赛以及由埃及利比亚突尼斯阿尔及利亚摩洛哥参加的马格里布地区数学竞赛数学竞赛受到各国如此的重视这是因为数学竞赛是普及数学教育发现人才和培养人才的一种特殊而有效的形式在以往数学竞赛的优胜者中已经涌现许多著名的世界一流数学家例如在特别重视数学竞赛的匈牙利+年的数学竞赛金牌得主8在级数的可加性理论方面做出了许多杰出工作'年的金牌得主提出了测度为测度论的发展做出了杰出贡献)年的金牌得主在泛函分析中提出了凸性定理(年的金牌得主H在逼近论方面的贡献引人注目他和著名数学家合著的分析中的定理和问题已成为经典性著作$在我国已故著名数学家华罗庚的倡导和支持下北京上海天津营口都在%*&年华罗庚亲自主持全国八省市数万名高中学生参加的数学竞赛从!年起全国各省市自治区高中数学竞赛每年在#月举行%年开始举办每年一届的全国初中数学竞赛*年在高年级小学生和初中一二年级学生中又举办了华罗庚金杯赛$%年我国首次选派两名选手参加首战失利成绩欠佳为改变这种局面年起我国每年都举办全国高中数学冬令营经过集中强化训练参加的六名选手的成+" ## 地位这一重大课题已经摆在我们面前我国在中能取得优异成绩$除参赛选手的素质和刻苦钻研外教练员在系统辅导和强化训练方面所做的工作也极其重要在数学竞赛辅导方面我国已经做了许多很好的工作积累了丰富经验但是在数学竞赛辅导工作的系统化科学化规范化上仍有许多课题值得进一步探讨例如数学竞赛究竟涉及哪些数学分支,如何掌握每个分支在内容上的广度和深度,等等都是应当认真研究的问题$积极参与活动而且成绩一贯优异的苏联在这方面做了大量细致的工作他们的经验很值得借鉴+年苏联科学出版社推出了谢尔盖耶娃主编的外国数学竞赛$&&!!*一书书中把数学竞赛涉及的数学分支归纳为代数几何数论初等微积分"初等概率论组合数学和图论并且把上述各分支经常在数学竞赛中应用的最为重要的事实归纳为#个定义和个定理然后应用它们来解#年代以来选自#多个国家和地区国际数学奥林匹克的试题以及国际数学奥林匹克的各届评审委员会中#多个成员国提供的备选题共约道题显示了这个定理的威力谢尔盖耶娃等人实际上是提出了一种设想或者说是给出了一个边界使得数学竞赛辅导工作能够摆脱那种在数学内容的广度上无限制扩展在深度上无限制延伸的局面这在数学竞赛辅导工作中还是首次诚然!个定理是否足够这个定理是否选得都合宜其中的定理是否都不可替代等等都是可以讨论的基于这个原因我们将该书编译介绍到国内以期引起重视促使数学竞赛辅导工作的系统化科学化规范化向更高层次发展$正如原著书名所表明的那样原著没有收入苏联的数学竞赛试题我国的试题收入的也很少为弥补这方面的欠缺我们增补了适量的苏联和我国的试题希望本书在内容上尽可能包含国内外数学竞赛中各种类型的题目在方法上能够穷尽国内外数学竞赛中各种典型的解题技巧以适应有志于数学竞赛的中学生自学的需要也便于中学数学教师和数学奥林匹克教练作为辅导教材之用读者倘能悉心钻研熟练掌握有关的数学知识体会解题方法之精妙不论对亲自参加数学竞赛还是对进行竞赛辅导都是有益的$数学竞赛活动将在我国继续深入地开展下去我们谨把此书奉献给全国广大中学数学教师和中学生愿它能伴随读者在数学竞赛中取得更好的成绩$# 前 第!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第"部分题目!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第!章算术!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!整除性素数与合数!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 数集合!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%数的各种性质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 方程与方程组!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 不等式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!&含整数部分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 三角形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#圆!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!多边形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '几何不等式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)几何极值问题!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第)章立体几何!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%四面体!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第%章分析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+数&极

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"函数的各种性质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#函数方程!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第*章多项式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!多项式的根!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!((多项式的整除性和相等!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'多项式的各种性质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第+章组合数学

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%*

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+初等概率论!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!整除性素数与合数!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(方程的整数解和有理数解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'阶乘与二项式系数!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)数集合!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%数的各种性质!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第( *方程与方程组!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+不等式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 平面几何!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"三角形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 圆!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 多边形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(点线段与直线!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!目录几何不等式几何极值问题第第) 立体几何 四面体*多面体球面和其他集合!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第% 分析 数列 极值 函数的各种性质# 函数方程第* 多项式! 多项式的根((多项式的整除性和相等 多项式的各种性质第+ 组合数学()集合与子集% 利用图的题目* 各种组合问题 初等概率论参考文献第!部分概念和定理国内外数学竞赛试题涉及许多数学分支如代数几何数论初等微积分初等概率论"组合数学和图论等这一部分辑录了求解各类数学竞赛试题所必需的取自上述各分支的最重要的概念和定理数学名词以及某些定理的名称沿用现行中学数学教科书即参考文献!或引用参考文献#这一部分包含了个定理大部分都已注明出处从中可查到定理的证明至于比较简单的定理则不再指明参考文献当然如果能自行给出定理的证明!则不论对有关数学知识的理解与掌握还是对提高求解数学竞赛题的能力都是有所裨益的关于集合的概念见参考文献 定义!的每个元素都属于集合#!称为集合的子集记定义"集合和的并集"#是由所有至少属于集合和中一个集合的元素组成的集合集合"和#的交集"$#是由所有既属于"又属于#的元素组成的集合!定义集合和的差集"%是集合的子集它由所有属于但不属于的元元素组由一些元素组成如果元素组中的元素相同而只是元素的排列次序不同不认为是不同的元素组比如$&$则称为无序组如果元素组中的元素排列次序不同得到的元素组认为是不同的则称为有序组!定义$集合"和的笛卡儿积"'#是所有有序元素对"#组成的定理狄利克雷原理 如果把&元集合表成它的'个子集的并集则有某个集至少含&个元素'定理数学归纳法原理 (%&命题成立如果对某个&&!'命题+成立则命题也成立则命题对每个&&!'都成立"# ,('!J LM+C">/!是两条对棱C的长&是两条对棱"+和#C的距离夹角则有第%题 定理棱锥的体积

!其中>%是棱锥底面的面积,!是它的高如果存在一个球它和棱锥的底面以及其他每个侧J&# >! !其中2%是该球的半径;!是棱锥的表面积定理参考文献第题(外切于半径为2!定理//和定理/"的公式对所有四面体均成立关于在平面上的射影也称投影的概念见参考文献#凡提到在平面上的应用定理有如下结论定理*)设平面!和$相交其二面角为在平面!上取面积为>的图形$!#!定理)!设!是空间中的非零向量H是任意一个点则对每个'&"!!=&'定理参考文献第"题("#+C中连接三对对棱的中点得到三条线段它们交于一点--是这三条线段的每一条线段的中点并且对任意第"部分 第!章 见第#部分定义定理 英国设+(是整数#+(是它们的一个排列证明##,$$,+,( 美国纽约设+&是任意整数试问&99'&9%9' 捷克英国在无限的三角形&#'%) 中国安徽省证明在任意五个整数中必有三个数它们的和能被!整除 捷克对任意素数的分子.被6整除

&&!' 6,), 个重要定理和竞赛题精 /!即方程无解总之原方程有三个解!$!&!$.&$$&!即(设$由数的定义有$$$明当$/$时不等式$!$1!不满足设$.则$$$$矛盾剩下只需研究$由#到由%到#及由#到$的情况&1 #中即在此区间中方程无解设$此时方程成为$!&!!由此$!但这个数大于1 &中也无解最后当# $时有方程成为 !它1

&这样!

! !$9端等 ''9''!!*1'.&&.!#&.1&.O&*第!部分 另一方面因此7对任意$&"都不成立.&&!.$!$$!即.$!&.$!$!&&+.&!当.&&时因为$1&!所以*+&&-&&.&&&& &#$&$ &&&!&1其次设对某个&&!则存在.&!使得

即 ##$$除但不被)整除不可能于是对任意&&!都有&&$&**#$,$, 中外数学竞赛顶点的概率则质点从出发最后停在的概率为用1表示质点从出发最后停在的概率则质点从#出发最后停在的概率为#由对称性得到质点从C