人教B版（2023）必修第一册《2.2.4 均值不等式及其应用》同步练习（word含解析）

第第页人教B版（2023）必修第一册《2.2.4均值不等式及其应用》同步练习（word含解析）人教B版（2023）必修第一册《2.2.4均值不等式及其应用》同步练习

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有个

．

A.个B.个C.个D.个

2.（5分）若实数，满足，则的最小值是

A.B.C.D.

3.（5分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入经营，据市场分析，每辆客车营运的总利润单位：万元与营运年数为二次函数关系如图所示，则每辆客车营运几年，营运的年平均利润最大

A.B.C.D.

4.（5分）若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为

A.B.C.D.

5.（5分）对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为，则的值为

A.B.C.D.

6.（5分）设，，且，则有

A.最小值B.最小值C.最小值D.最小值

7.（5分）已知，，，则的最小值是

A.B.C.D.

8.（5分）已知，则的最小值为

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）判断一下说法正确的是

A.“”的一个必要非充分条件是“”

B.如果，那么

C.函数的最小值为

D.函数的任意自变量、满足

10.（5分）已知，是正数，且，下列叙述正确的是

A.最大值为B.的最小值为

C.最大值为D.最小值为

11.（5分）已知，，且，则()

A.B.

C.D.

12.（5分）已知，，且，则

A.B.

C.D.

13.（5分）已知且则下列不等式成立的是

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知是的边上任一点，且满足，、，则的最小值为______．

15.（5分）

15-1.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆小时与车流速度假设车辆以相同速度行驶，单位：米秒、平均车长单位：米的值有关，其公式为．

Ⅰ如果不限定车型，，则最大车流量为______辆小时；

Ⅱ如果限定车型，，则最大车流量比Ⅰ中的最大车流量增加______辆小时．

16.（5分），动直线过定点，动直线过定点，若直线l与相交于点(异于点)，则周长的最大值为_________.

17.（5分）在中，内角所对的边分别是，已知，若的面积，则的最小值为_________.

18.（5分）已知，则的最小值为________.

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）在中，角，，的对边分别为，，，有以下个条件：

①；②；③

请在以上个条件中选择一个，求面积的最大值.

20.（12分）己知三个内角，，对应的边分别为，，，且．

Ⅰ求证：，，成等差数列；

Ⅱ若，求的取值范围．

21.（12分）已知函数

若的解集为，或，求不等式的解集；

若任意，使得恒成立，求的取值范围．

22.（12分）已知，，．

求的最小值；

若对，，恒成立，求实数的取值范围．

23.（12分）已知函数，，且的最大值为

求实数的值；

若，，，求证：

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：根据基本不等式成立的条件，对各命题考察如下：

，这个运算是错误的，

因为只有“正数”才能用基本不等式，即该式中“”这个条件缺失；

，这个运算是错误的，

因为取最小值时，，不等成立，即“”无法取得；

，这个运算是错误的，

因为只有“正数”才能用基本不等式，即该式中应限制“”；

，这个运算是正确的，

符合条件“一正，二定，三相等”．

所以，只有是正确的，

故选：．

直接根据基本不等式求最值时的前提条件“一正，二定，三相等”，对各命题作出判断．

这道题主要考查了运用基本不等式求最值，涉及应用的前提条件“一正，二定，三相等”，缺一不可，属于中档题．

2.【答案】A;

【解析】解：由于实数，满足，则，

当且仅当时，等号成立，

故选A．

根据，利用基本不等式求得的最小值．

这道题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件和等号成立条件，属于基础题．

3.【答案】C;

【解析】

由题意列得营运的年平均利润，再运用不等式可得答案.

解：由题意得，则营运的年平均利润为

，即

故选

4.【答案】A;

【解析】

该题考查了不等式恒成立和利用基本不等式求最小值，考查了转化思想，属基础题．

先利用基本不等求出的最小值，然后根据恒成立，可得，再求出的范围．

解：正实数，满足，

，

当且仅当，即，时取等号，

恒成立，

只需，

，，

的取值范围为．

故选：．

5.【答案】B;

【解析】

此题主要考查新定义和利用基本不等式的求解参数问题，属于中档题.

根据题意与为函数的一对“类指数”，根据已知关系式求得，再对利用基本不等式进行化简求解，即可求得值.解：根据题意，正实数与为函数的一对“类指数”，

，

当且仅当，即时取等号，

故答案为：

6.【答案】A;

【解析】

此题主要考查了基本不等式求最值，属于基础题.

利用已知的等式得出，代入所求的代数式进行变形，结合基本不等式即可.

解：，且，则，

，

又

，

当且仅当，即当且仅当时等号成立，

所以的最小值为

故选

7.【答案】D;

【解析】解：，，，

则

，

当且仅当时上式取得等号，

则的最小值是，

故选：．

由题意可得，运用基本不等式可得最小值．

该题考查基本不等式的运用，注意乘法和等号成立的条件，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

8.【答案】D;

【解析】

此题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

变形得，利用基本不等式即可得出．

解：，

，

当且仅当，即时取等号，

的最小值为

故选

9.【答案】BD;

【解析】

此题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，函数解析式，基本不等式等，比较基础．

，取特值可判断，解方程组可判断，换元，利用函数的单调性求出最小值即可判断，用分析法转化成基本不等式求解.

解：，取，，则，但，得，则成立，故“”的充分非必要条件是“”，错误；

B.，将此式中的换成得，

，得，正确；

C.令，则在时递增，

故，故错误；

D.，，由基本不等式可知，当时，成立，正确.

故选

10.【答案】AB;

【解析】

此题主要考查利用基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属于中档题.

根据已知条件，直接利用基本不等式可得的最大值从而判定；

利用，得：，可求得的最小值，从而判定；

，利用基本不等式，并注意等号是否能够取到，从而判定；

，展开之后，利用基本不等式求最值，即可判定解：，是正数，

，

又，

，

，

当且仅当时取等号，

最大值为，故正确；

由不等式，当且仅当时等号成立，

得：，

当且仅当时，取等号，

的最小值为，故正确；

，

，

取等号的条件是，这样，与已知矛盾，

故上述“”中“”无法取到，

，故错误；

，

当且仅当，即时取得等号，

最小值为，故错误.

故答案选：

11.【答案】ABD;

【解析】因为，，且，

所以，故A正确；

由已知得，，所以，所以，故B正确；

，当且仅当时，等号成立，故C错误；

，则，当且仅当时，等号成立，故D正确，

故选ABD．

12.【答案】ABD;

【解析】

此题主要考查了基本不等式以及对数与对数运算，考查了学生的分析以及计算能力，属中档题.

由题意根据各函数并运用基本不等式依次判断.

解：对于，因为，，且，所以，所以，故正确

对于，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，故正确：

对于，因为，当且仅当，即，时取等号，

所以，即，故错误：

对于，因为，且，所以，即，当且仅当，即，时取等号，故正确.

故选

13.【答案】ABC;

【解析】

此题主要考查利用基本不等式求最值属于中档题.

运用基本不等式可以判定，，的正误，利用换元法以及对勾函数的性质，可以判定的正确，由此即可得到答案.

解：因为，且，所以，

当且仅当时，取等号，故正确.

，当且仅当时成立，故正确；

，当且仅当时，取等号故正确；

令，

则，

当且仅当时取等号，则，故不正确；

故选

14.【答案】;

【解析】解：，共线

存在实数，满足

，，即

当且仅当，即时，取最小值为

故答案为：

利用向量加法三角形法则将表示出来，找出，的关系，进而求出的最小值

本题主要考察了向量加法与减法三角形法则，及不等式的求解问题，属于中档题．

15.【答案】1900；100;

【解析】解：Ⅰ，

，当时取最小值，

当且仅当时“”成立，

故最大车流量为：辆小时；

Ⅱ，

，当且仅当时等号成立，

，

辆小时

故最大车流量比Ⅰ中的最大车流量增加辆小时．

故答案为：，

Ⅰ把带入，分子分母同时除以，利用基本不等式求得的最大值．

Ⅱ把带入，分子分母同时除以，利用基本不等式求得的最大值最后于Ⅰ中最大值作差即可．

这道题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足．

16.【答案】;

【解析】由条件得直线过定点，直线过定点，且.

又直线，

所以，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，即周长的最大值为.

故答案为：.

17.【答案】;

【解析】

此题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦定理，余弦定理，利用基本不等式求最值，需要对公式的灵活运用，属于一般题.

先利用正弦定理将化为，由两角和的三角函数公式与诱导公式化简可得的值，由此可得的值，代入三角形面积公式可得与得大小关系，最后利用余弦定理和基本不等式可求的最小值．

【解析】

解：，

，

方程两边消去得，

又，由此可得，且，

，

将代入，得，

，

当且仅当时等式成立，

将两边平方得，化简得，

的最小值为

故答案为

18.【答案】;

【解析】此题主要考查基本不等式求函数的最值，属基础题，熟记基本不等式求最值的条件是解题关键．解：，当且仅当，即时取得“”，

故答案为

19.【答案】解：若选择①

由正弦定理将化为：，

又，所以，

所以，

即，

，，

，

所以当时取到等号

所以面积的最大值为

若选择②

由正弦定理将化为：

又，所以，

所以

即，又，

，

又，，

又由余弦定理可得：

当且仅当时取等号，

，

所以面积的最大值为

若选择③

因为，所以，

当且仅当时取等号

又由余弦定理得：

当且仅当时取等号，

，

当且仅当时取等号

所以面积的最大值为;

【解析】此题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，基本不等式求最值，是中档题.

若选择①，可求得，由三角函数有界性可求面积的最大值；

若选择②，由余弦定理和基本不等式可得，再由面积公式可求面积的最大值；

若选择③，由余弦定理和基本不等式可得，再由面积公式可得答案.

20.【答案】解：Ⅰ证明：，

，

，

，

，

，

，，

，可得，，成等差数列

Ⅱ，

，

．;

【解析】这道题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，等差数列的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题，

Ⅰ利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合，可得，结合范围，可求，，由，可得，，成等差数列

Ⅱ由已知利用余弦定理，基本不等式即可求得．

21.【答案】解：，

由不等式的解集为，或，

，是方程的根，

可得，，

解得，，

不等式，

可得不等式的解集为；

，

任意，使得成立，

当时，恒成立；

当时，使得恒成立，

令，，则，

令，则，，

，

当且仅当即即时等号成立．

可得当时，，

则，

即的取值范围为．;

【解析】该题考查二次不等式的解法，注意运用二次方程的韦达定理，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法和参数分离法、换元法，结合基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．

由题意可得的解集为，或，可得，是方程的根，运用韦达定理可得，，再由二次不等式的解法可得解集；

讨论，不等式显然成立；当时，运用参数分离可得恒成立，令，，则，运用换元法和基本不等式可得最小值，即可得到所求范围．

22.【答案】解：（1）∵a∈（0，+∞）