人教A版（2023）选择性必修第三册《6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理》提升训练（含解析）

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一、单选题（本大题共13小题，共65分）

1.（5分）设集合x+b}，且A∩B={(2，5)}，则（）

A.a=3，b=2B.a=2，b=3

C.a=-3，b=-2D.a=-2，b=-3

2.（5分）复数的共轭复数

A.B.C.D.

3.（5分）下列函数中，满足“对任意，，当时，都有的是

A.B.

C.D.

4.（5分）已知数列满足：，且，则等于

A.B.C.D.

5.（5分）使不等式成立的一个必要不充分条件是

A.B.C.D.

6.（5分）已知空间两不同直线，，两不同平面、，下列命题正确的是

A.若且，则B.若且，则

C.若且，则D.若且，则

7.（5分）若的内角，，的对边分别为，，，的面积，，角平分线交边于点，则的长为

A.B.C.D.

8.（5分）某几何体的三视图如图所示网格中每个小正方形的边长均为，则该几何体的体积为

A.B.C.D.

9.（5分）已知函数，则

A.是周期函数B.在区间单调递减

C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称

10.（5分）在直角中，，，为边上的点，若，则的最大值是

A.B.C.D.

11.（5分）圆关于直线对称，则的最小值是

A.B.C.D.

12.（5分）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示假设圆弧所在圆的方程为：，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为

A.B.

C.D.

13.（5分）若关于的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）设，，若，则实数的值等于______．

15.（5分）设实数和满足约束条件，则的最小值为______.

16.（5分）已知函数，若函数的图象与直线有三个不同的公共点，则实数的取值集合为______．

17.（5分）

17-1.从，，，中任取个数字，从，，中任取个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位偶数.

18.（5分）已知双曲线：的焦点为，，离心率为若上一点满足，则的方程为______．

三、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）如图，已知函数的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于另一点，是的重心．

Ⅰ求；

Ⅱ求的外接圆的半径．

20.（12分）三棱柱中，平面，是边长为的等边三角形，为边中点，且．

求证：平面平面；

求三棱锥的体积．

21.（12分）在公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列．

求数列的通项公式；

设数列的前项和为，记求数列的前项和．

22.（12分）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且

求椭圆的标准方程；

过点的直线交椭圆于，两点，若存在点使为等边三角形，求直线的方程．

23.（12分）已知函数的图象如图所示.

求的值；

若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的解析式；

若方程且有三个不同的根，求实数的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】略

2.【答案】C;

【解析】解：，，

的共轭复数，

故选：

利用复数的周期性、运算法则、共轭复数的定义即可得出．

此题主要考查了复数的周期性、运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3.【答案】A;

【解析】

该题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数的单调性的应用．

根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和对数函数的单调性进行判断．

解：对任意、，当时，都有，

函数在上是减函数；

A、由反比例函数的性质知，在上是减函数，故A正确；

B、由于，由二次函数的性质知，在上是减函数，

在上是增函数，故B不对；

C、由于，则由指数函数的单调性知，在上是增函数，故C不对；

D、根据对数的真数大于零，得函数的定义域为，由于，则由对数函数的单调性知，在上是增函数，故D不对；

故选：．

4.【答案】D;

【解析】

此题主要考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

数列满足：，可得，利用等比数列的通项公式即可得出．

解：数列满足：，

，即数列是等比数列，公比为．

则，解得．

故选D．

5.【答案】B;

【解析】

这道题主要考查充分，必要条件的概念和判断，属于基础题．

先得到不等式成立的充要条件，然后与各选项进行对比，结合必要不充分条件即可求解．

解：不等式，即，即，

故“”是“”的一个充分不必要条件，

“”是“”的一个必要不充分条件，

“”是“”的一个充要条件，

“”是“”的既不充分也不必要条件，

故选B．

6.【答案】C;

【解析】解：对于，若且，则与可能平行，可能相交也可能异面，故A错误；

对于，若，显然结论错误；

对于，若，则内存在直线使得，又，故，又，故，故C正确；

对于，当时，显然结论错误．

故选C．

根据空间线面位置关系的定义及判定定理或结合图形，给出反例进行判断．

此题主要考查了空间位置关系的判断，属于中档题．

7.【答案】B;

【解析】解：因为的面积，

因为，则，所以，

在中，因为，所以，

则，

因为，所以，

所以，即，

所以，

则，

所以，，

故选：

根据三角形的面积可得，在和中，利用正弦定理结合，可得与的关系，从而可得答案．

此题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，所以中档题．

8.【答案】C;

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为棱长为的正方体，切去一个三棱锥体；

如图所示：

故

故选：

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积．

此题主要考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

9.【答案】B;

【解析】解：当时，，当时，，则函数不可能是周期函数，故错误，

当时，，在区间单调递减，故正确，

若的图象关于直线对称，则，

当时，，即，不成立，则的图象关于直线对称不正确，故错误，

若的图象关于对称，则，

当时，，即，不成立，则的图象关于对称不正确，故错误，

故选：

根据绝对值的意义，结合函数的周期性，对称性分别进行判断即可．

此题主要考查三角函数的图像和性质，利用绝对值的意义，利用三角函数的图像和性质进行判断是解决本题的关键，是中档题．

10.【答案】C;

【解析】解：直角中，，，

以为坐标原点所在直线为轴，

所在直线为轴建立直角坐标系，如图：

，，，，

由，

，，

，，

若，

．

，

解得：，

，

．

则的最大值是．

故选：．

把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件运用向量的数量积的坐标表示和二次不等式的解法，即可求出的最大值．

此题主要考查向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算，考查计算能力以及转化思想，属于中档题

11.【答案】C;

【解析】

此题主要考查了利用基本不等式求最值、圆关于直线对称的相关知识，由圆关于直线对称，可知直线经过圆心，得到关于，的等式，再利用基本不等式求得最值，试题难度较易.

解：由圆知，其标准方程为，

圆关于直线对称，

该直线经过圆心，即，

，

，

当且仅当，即时取等号，

故选

12.【答案】C;

【解析】解：某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，

，直线所在的方程为：，

代入，解得或舍，

点的坐标为

设抛物线方程为：，则，，

又，解得，

该抛物线的轨迹方程为

故选：

由题意可得所在的方程为：，进而可求点的坐标，设抛物线方程为：，利用导数可求，进而可求该抛物线的轨迹方程．

此题主要考查求抛物线的轨迹方程，考查运算求解能力，属中档题．

13.【答案】D;

【解析】解：由题意设，，

原不等式有唯一整数解，

在直线下方，有一个交点，

，

在递减，在递增，

，

恒过定点，

结合函数图象得，，

又，，

，，即，

故选：．

由题意设，，将条件转化为：在直线下方，有一个交点，求出后，由导数与函数单调性的关系判断出的单调性，画出两个函数的图象，结合函数图象和斜率公式求出、，可得的取值范围．

该题考查函数图象与不等式的问题，导数与函数单调性的关系，以及斜率公式，考查转化思想、数形结合思想，构造法，属于中档题．

14.【答案】-;

【解析】解：，，

，

，，

解得，

故答案为：．

由题意可得的坐标，由可得，解关于的方程可得．

此题主要考查平面向量的数量积和垂直关系，属基础题．

15.【答案】14;

【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的及其内部，其中，，

设，将直线：进行平移，

当经过点时，目标函数达到最大值

故答案为：

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当且时，取得最小值．

本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

16.【答案】{-20，-16};

【解析】解：因为与有个交点，故只需函数的图象与直线有个不同的公共点即可，

令，

，

当，时单调递增，当时单调递减，

依题意只需与轴有个交点即可，，

只需，，或．

故答案为

因为与有个交点，故只需函数的图象与直线有个不同的公共点即可，只需与轴有个交点即可，

题主要考查函数的图象的交点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，属于基础题．

17.【答案】198;

【解析】解：位置分析法，千位和个位有限制条件，可以先考虑千位是奇数还是偶数，再考虑个位，最后排中间当千位是偶数时，从，，中选一个，个位数从剩下的个偶数中选一个，中间两位数从，，中选两个进行排列，此时共有当千位是奇数时，从，，中选一个，个位从，，，中选一个，然后排十位和百位，从剩下的两个奇数中选个，从利下的个偶数中选个，再将选出的两个数排到十位和百位上，此时共有种，所有一共有种

18.【答案】;

【解析】解：由双曲线的定义可知，由，得，

则，所以双曲线的方程为．

故答案为：．

根据双曲线的定义和离心率公式求出和，则双曲线方程可得．

此题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出，是解决本题的关键．

19.【答案】解：（Ⅰ）∵O是△ABD的重心，C（-，0），

∴A（1，0），

故函数f（x）的最小正周期为3，

即=3，解得ω=，……（3分）

f（-）=sin[×（-）+φ]=sin（-+φ）=0，

∴φ=；……（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+），

∴B（0，）且C（-，0），

∴∠BCO=60°；……（8分）

∵C（-，0）是BD的中点，

∴D（-1，-），……（10分）

∴AD==；……（11分）

∴2R===，

∴外接圆半径R=．…………（14分）;

【解析】

Ⅰ根据题意求出函数的最小正周期，写出解析式，求出的值；

Ⅱ根据的解析式求出、和的坐标，利用正弦定理求出外接圆半径．

此题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，是中档题．

20.【答案】证明：平面，又

平面平面；

解：平面，，

平面．

为三棱锥的高．

．

三棱锥的体积为．

;

【解析】

该题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．

由已知结合面面垂直的判断得答案；

由平面，，得平面，从而求得为三棱锥的高，把三棱锥的体积转化为三棱锥的体积得答案．

21.【答案】解：（1）设{}的公差为d（d≠0），因为=3，，，成等比数列，

所以2=．即（+d）2=（-d）（+5d），即（3+d）2=（3-d）（3+5d），

解得d=1，所以=3+n-2=n+1；

（2）由（1）知Sn=n（n+3），S3n=3n（2+3n+1）=n（n+1），

所以===（-），

所以前n项和Tn=（1-+-+…+-）=（1-）=．;

【解析】

设的公差为，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得公差，即可得到所求通项公式；

由等差数列的求和公式和裂项相消求和，化简整理可得所求和．

此题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．

22.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：a=2b，由椭圆的通径公式可知：|AB|==．则a=2，b=，

∴椭圆的标准方程：；

（Ⅱ）设直线l：x=ty+1，E（，），F（，），

易知：t=0时，不满足，故t≠0，

则，整理得：（+4）+2ty-7=0，

显然Δ=4+28（+4）＞0，

∴+=-，=-，

于是+=t（+）+2=，

故EF的中点D（，-），

由△EFG为等边三角形，则丨GE丨=丨GF丨，

连接GD，则=-1，

即=-1，整理得=t+，

则G（-1，t+）