人教B版（2023）必修第一册《1.1.1 集合及其表示方法》同步练习（word含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）给定集合，对于，如果，，那么是的一个“好元素”，由中的个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有

A.个B.个C.个D.个

2.（5分）点的集合是指

A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集

C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集

3.（5分）下面写法正确的是

A.B.

C.D.，

4.（5分）下列各组对象中，不能构成集合的是

A.人教版高中数学必修二中的练习题B.南昌市所有的公民

C.接近的实数D.大于的全体有理数

5.（5分）若，则实数的值为

A.B.C.D.或

6.（5分）下列元素与集合的关系中，正确的是

A.B.C.D.

7.（5分）已知集合含有三个元素，，，且当时，有，则为

A.B.或C.D.

8.（5分）给出下面六种表示：其中能正确表示方程组的解集的为

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）考察下列四类对象，能组成一个集合的是

A.聪明的学生B.直角坐标系中横、纵坐标不相等的点

C.不大于的正整数D.的近似值

10.（5分）下列说法中错误的是

A.方程的解集是

B.方程的解集为

C.集合与集合表示同一个集合

D.方程组的解集是或

11.（5分）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集”，给出下列四个集合：

其中是“垂直对点集”的是

A.；

B.；

C.；

D.

12.（5分）集合中有且只有一个元素，则的取值可以是

A.B.C.D.

13.（5分）下面四个说法中错误的是

A.以内的质数组成的集合是

B.由，，组成的集合可表示为或

C.方程的所有解组成的集合是

D.与表示同一个集合

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）用列举法表示集合为：________.

15.（5分）集合，或用区间表示为______．

16.（5分）设，为两个非空实数集合，中含有，，三个元素，中含有，，三个元素，定义集合中的元素是，其中，，则中元素的个数是______．

17.（5分）______对的选，错的选

18.（5分）下列集合中：①；②；③；④；⑤；⑥，是空集的为______只填序号

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）设集合的元素为实数，且满足①，②若，则

若，试求集合；

若，试求集合；

集合能否为单元素集合？若能，求出该集合；若不能，请说明理由．

20.（12分）已知集合，若中元素至多只有一个，求的取值范围．

21.（12分）用另一种方法表示下列集合：

，，；

；

平面直角坐标系中第二象限内的点．

22.（12分）设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若，则请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个；是否存在恰有个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由；由、的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合的一般性结论要求至少写出两个结论

23.（12分）设，为两个数集，中含有，，三个元素，中含有，，三个元素，定义集合中的元素是，其中，，求中元素的个数．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】若不含好元素，则集合中的个元素必须为连续的三个数，

故不含好元素的集合共有，，，，，，

共有个，

故选：．

根据好元素的定义可知，要不是好元素，则的最小值为，又中含有个元素，则必有，，，所以中的个元素必连在一起．

该题考查了与集合有关的新定义问题，考查了学生对新定义的理解能力，属于基础题．

2.【答案】D;

【解析】解：指和同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．

故选：．

指和同号或至少一个为零，结合象限的概念可选．

该题考查对集合的概念和表示的理解，属基础知识的考查．

3.【答案】C;

【解析】解：由元素与集合的关系知，

，，，，

；

故选：．

可判断，，，，．

该题考查了元素与集合的关系的判断及有序数对与数的区别，属于基础题．

4.【答案】C;

【解析】集合必须有确定性，接近概念不清晰，故不能构成集合故选

5.【答案】B;

【解析】解：，

则：或，

当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当时：，解得：舍去；或；

故选：．

利用集合与元素的关系，可得：或，再利用集合中元素的互异性进行判断即可．

该题考查的知识点是，集合元素的性质，难度不大，属于基础题．

6.【答案】B;

【解析】解：选项：因为集合中没有负数，故错误，

选项：因为集合中的元素是所有正整数，故正确，

选项：因为集合表示所有有理数，故错误，

选项：为实数集，是实数，故错误，

故选：

根据集合，，，的元素的性质对应各个选项即可判断求解．

此题主要考查了集合元素的性质，涉及到数集的定义，考查了学生的分析求解能力，属于基础题．

7.【答案】B;

【解析】

此题主要考查了集合中元素的三要素--确定性，互异性和无序性，解题中要注意对所解答案的检验，属于基础题．根据题意，分析可得，满足当时，必有的有、，从而得到的值．

解：若，则；

或，则；

若，则

故选

8.【答案】C;

【解析】

此题主要考查了集合的表示法，属于基础题.

利用方程组的解是一个点的集合，即可解答.

解：方程组的解是一个有序实数对，表示一个在坐标系上的点，

因此方程组的解集应是一个点的集合.

用列举法表示为，

用描述法表示为且或，

则表示正确.

故选

9.【答案】BC;

【解析】【解析】错，“聪明的学生”，其中“聪明”没有明确的定义，故不能构成集合对，“直角坐标系中横、纵坐

标不相等的点”，符合集合的定义，能构成集合对，“不大于的正整数”，符合集合的定义，故能构成一个集

合错，的近似值”，“近似值”的精确度没有明确定义，故不能构成集合.

10.【答案】ABCD;

【解析】

此题主要考查了集合的含义与表示，属于基础题.

根据集合的概念及表示方法逐个分析判定解答.

解：对于，方程的解集为

对于，方程的解集为

对于，是数集，是点集

对于，方程组的解集为且

所以都是错误的，故选

11.【答案】ABC;

【解析】

此题主要考查了集合的新定义，由垂直对点集的概念，对各项分析即可得答案

解：由题意可得：集合是“垂直对点集”，即满足：

曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．

对于，，其图象向左向右和轴无限接近，向上和轴无限接近，如图，

在图象上任取一点，连，过原点作的垂线必与的图象相交，

即一定存在点，使得成立，

故是“垂直对点集”，故正确．

对于，，在图象上任取一点，连，过原点作直线的垂线，因为的图象沿轴向左向右无限延展，且与轴相切，

因此直线总会与的图象相交．

所以是“垂直对点集”，故正确；

对于，，其图象过点，且向右向上无限延展，向左向下无限延展，

据指数函数的图象和性质可知，

在图象上任取一点，连，过原点作的垂线必与的图象相交，

即一定存在点，使得成立，

故是“垂直对点集”，故正确．

对于，，，

取，则不存在点，满足，

因此集合不是“垂直对点集”，故不正确；

故选：

12.【答案】ABC;

【解析】解：①时，只有一个实数解，满足题意；

②时，则，解得，

的取值可以是，，

故选：

可讨论是否为：时，满足题意；时，可得出，然后解出的值即可．

此题主要考查了分类讨论的思想方法，一元二次方程解的情况和判别式的关系，考查了计算能力，属于基础题．

13.【答案】CD;

【解析】解：以内的质数组成的集合是，故A正确；

由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确；

方程的所有解组成的集合是，故C错误；

由集合的表示方法知不是集合，故D错误，

故选：．

结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断．

这道题主要考查了集合的表示及元素与集合的基本关系的判断，属于基础题．

14.【答案】;

【解析】此题主要考查集合列举法，属于基础题.

由题意得，此时，

解：，，

此时，即

15.【答案】;

【解析】解：，或

故答案为：

求出集合的等价条件，即可．

这道题主要考查集合和区间的关系，比较基础．

16.【答案】8;

【解析】解：当时，由可得的值为，，；

当时，由可得的值为，，；

当时，由可得的值为，，．

由集合元素的互异性可知，

中的元素为，，，，，，，，共个．

故答案为．

由，，时，分别由可得的值，由此利用集合元素的互异性，求出中的元素的个数．

该题考查集合中元素个数的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，属于基础题．

17.【答案】A;

【解析】解：是集合的一个元素，

，

故答案为

利用元素与集合的关系求解．

此题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．

18.【答案】②④⑤;

【解析】解：①是单元集，集合中包含一个元素；

②，是空集；

③是单元集，集合中包含一个元素；

④是空集；

⑤，是空集；

⑥是单元集，集合中包含一个元素

故答案为：②④⑤．

由已知条件利用空集的定义直接判断．

此题主要考查空集的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空集定义的合理运用．

19.【答案】解：由题意知，，

；

由题意知，，

而，

；

假设为单元素集合，则必有，

为的根．

无实解，

这样的不存在，

即不可能是单元素集合．;

【解析】

此题主要考查了集合的基本概念，本题的三个问题都需要我们直接利用已知所给的所满足的条件求出结果即可.

20.【答案】解：①m=0时，-2x+3=0，x=，∴A中元素只有一个，满足条件；

②若m≠0，A中元素至多有一个；

∴一元二次方程m-2x+3=0至多有一个解；

∴△=4-12m≤0；

∴；

∴综上得m的取值范围为：{m|m，或m=0}．;

【解析】

根据题意便知方程至多只有一个解，显然需讨论：时，便可解出，符合方程有一个解；而时，方程便为一元二次方程，从而判别式，这样解出的范围，并合并便可得出的取值范围．

考查描述法表示集合，集合的元素的概念，以及一元二次方程至多一个解时判别式的取值情况，不要漏了的情况．

21.【答案】解：（1）{（x，y）|2x+3y=12，x，y∈N}={（3，2），（6，0）}；

（2）{0，1，4，9，16，25，36，49}={x|x=，n∈N，0≤n≤7}；

（3）{平面直角坐标系中第二象限内的点}={（x，y）|x＜0，y＞0}．;

【解析】

直接利用集合的表示方法，写出结果即可．

该题考查集合的表示方法，基本知识的应用．

22.【答案】见解析;

【解析】由题意可知，若集合中含有一个元素，则应满足即，故；若集合中含有两个元素，设，则，且，故可以是下列集合中的一个：，，，，若集合中含有个元素，由集合满足的性质