广东省佛山市南海区、三水区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

广东省佛山市南海区、三水区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五总分评分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1．一元二次方程x2A．3 B．1 C．0 D．−22．北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）

A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同3．若反比例函数y=kx的图象经过点A．(−2，−3) B．(3，2) C．4．一元二次方程x2A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根5．在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD=2，BD=3，则A．25 B．12 C．356．小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，在同一时刻，若测得木杆长2m，它的影长为1m，旗杆的影长为6m，则旗杆的高度为（）A．9m B．10m C．11m D．12m7．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：OD=1：4，A．8 B．24 C．32 D．408．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一些立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+xC．82+(x−3)9．如图，电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关S1A．0 B．13 C．12 10．如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB=4，CE=10，则AG=（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．若3m=7n，则nm=12．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为13．方程3x2−5x+2=0的一个根是a，则14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O(0，0)，A(4，15．在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，0)，C(0，1)，在x轴上有一点三、解答题（一）：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.16．解方程：x217．如图，∠B=∠D，∠1=∠2.求证：18．2023年10月8日，第19届亚运会在杭州举办.小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务.现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到A（宸宸）的概率是；（2）小蔡从中随机抽取两盒，请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是B（琮琮）和C（莲莲）的概率.19．如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且（1）请判断四边形AECF的形状，并证明；（2）若AB=32，BE=2，则四边形AECF20．如下图，△ABC中，∠C=90∘，AC=16cm，BC=8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着（1）当运动时间为t(s)时，CP=cm，CQ=cm；（用含t的代数式表示）（2）若△PCQ的面积是△ABC面积的14，求t四、解答题（二）：（本大题共3小题，21，22题每小题8分，23题10分，共26分）21．佛山某企业从2019年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表：年度2019202020212022投入技改资金x/2.5344.5产品成本y/7.264.54（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；（2）按照这种变化规律，若2023年投入技改资金5万元.①预计生产成本每件比2022年降低多少万元？②若打算在2023年把每件产品的成本降低到3.2万元，则需投入技改资金多少万元？22．如图①，矩形ABCD的边AB=4，AD=8，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转角α(0∘<α<90∘)得到矩形图①图②（1）数学思考：填空：图①中∠AHF=；（用含α的代数式表示）（2）深入探究：如图②，当点H在对角线AC的垂直平分线上时，连接CH，求证：EH=DH.23．综合与实践主题：X型晒衣架稳固性检测步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链EF成一条线段，测得图甲图乙证明与计算：（1）连接AC，证明：AC∥EF；（2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．综合探究如图，已知一次函数y1=12x+2与反比例函数y2=备用图（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“组合四边形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形APBQ是“组合四边形”时，求Q点的横坐标xQ25．综合运用在矩形OABC中，以点O为坐标原点，分别以OC，OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，点E是射线OC上一动点，连接AE，过点O作OF⊥AE于点D，交直线BC于点图①图②图③（1）如图①，当矩形OABC是正方形时，若点E在线段OC上，线段AE与OF的数量关系是（填“相等”或“不相等”）；（2）如图②，当点E在线段OC上，且OE=2EC，以点F为直角顶点在矩形OABC的外部作直角三角形CFH，且FH=OE，连接EH，交BC于点G，求S△FGH（3）如图③，若点A(0，3)，点C(1，0)，点E在线段OC的延长线上，点F在线段CB的延长线上，FH⊥FC，FB：BC=1：3，连接OH，取OH的中点M，连接

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

一次项系数为-2

故答案为：D

【分析】根据二次方程相关量的定义即可求出答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：根据三视图的概念可得：主视图与左视图相同.

故答案为：A.

【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，左视图是从左面观察所得到的平面图形，俯视图是从上面观察所得到的平面图形，据此判断.3．【答案】D【解析】【解答】解：将点（-3，2）代入y=kx可得

k=-3×2=-6

∴反比例函数y=-6x

A：当x=-2时，y=3，错误，不符合题意；

B：当x=3时，y=-2，错误，不符合题意；

C：当x=12时，y=-12，错误，不符合题意；

D：当x=14．【答案】B【解析】【解答】解：∆=b2-4ac=25>0，

所以方程有两个不相等的实数根，

故选B.

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与判别式的关系，求出b2-4ac的值是解题的关键；分析题意，可知要判断所给方程的根的情况，当∆>05．【答案】A【解析】【解答】解：如图，由题意可得：

AEAC=ADAB=6．【答案】D【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x

由题意可得：21=x6

解得：x=127．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：OD=1：4

∴△ABC∽△DEF，AB：DE=AO：OD=1：4

∴△ABC的周长：△DEF的周长=1：4

∴△DEF的周长为4×8=328．【答案】C【解析】【解答】解：设绳索长度为x尺，由题意可得：

82+(x−3)2=x9．【答案】B【解析】【解答】解：把开关S1，S2，S3分别记为A，B，C

画出树状图

共有6中等可能得结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2中

∴10．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠CAB=∠CBA=90°，

∵CE=10，F为CE的中点，

∴FB=BG=5，

由勾股定理得AG=52-4211．【答案】3【解析】【解答】解：∵3m=7n

∴nm=37

12．【答案】4【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，

∴BD=2OB=2OA=4

故答案为：413．【答案】2019【解析】【解答】解：∵方程3x2−5x+2=0的一个根是a

∴3a2-5a+2=0，即3a2-5a=-214．【答案】(6【解析】【解答】解：过点B作BD⊥OA于点D

∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0）

∴OA=AB=2，AB∥OC

∴∠BAD=∠AOC=60°

∵BD⊥OA

∴∠ABD=30°

∴AD=12AB=2，BD=3AD=23

∴DO=6

15．【答案】(3【解析】【解答】解：设P(m，0)

∵点P与A，C两点形成的三角形与△ABC相似，∠BAC=∠PAC

∴PACA=CABA

∵A(1，0)，B(2，0)，C(0，1)16．【答案】解：(x−1∴x−1=±3，∴x【解析】【分析】根据配方法进行因式分解，再直接开方即可求出答案.17．【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，∴∠BAC=∠DAE，又∵∠B=∠D，∴△ABC∼△ADE.【解析】【分析】根据角之间的关系可得∠BAC=∠DAE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.18．【答案】（1）1（2）解：画树状图如下：共有6种结果：（A，B）（A，C）（B，A）（B，C）（C，A）（C，B），且每种结果出现的可能性相同，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是B（琮琮）和C（莲莲）的结果有2种：(∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率为2【解析】【解答】解：（1）由题意可得：

小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到A（宸宸）的概率是13

故答案为：13

【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可求出答案.

（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是B（琮琮）和19．【答案】（1）解：四边形AECF是菱形，证明如下：连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵BE=DF，

∴OB−BE=OD−DF，即OE=OF∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形；（2）410【解析】【解答】解：（2）∵AB=32，BE=2

∴AO=BO=3

∴OE=OB-BE=1

∴AE=AO2+OE2=10

∴菱形ABCD的周长为410

故答案为：410

20．【答案】（1）2t；(16−4t)（2）解：根据题意得：12整理得：t2−4t+4=0，解得：答：t的值为2.【解析】【解答】解：（1）由题意可得：

CP=2t，AQ=4t

∴CQ=AC-AQ=16-4t

故答案为：2t，16-4t

【分析】（1）根据路程=速度×时间可得CP，AQ，再根据边之间的关系可得CQ，即可求出答案.

（2）根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.21．【答案】（1）解：由表中数据知，x、y关系，得：xy=2.∴x、y不是一次函数关系，（言之有理，就给分）∴表中数据是反比例函数关系y=18（2）解：①当x=5得：y=185=3答：预计成本比2022年降低0.4万元.②当y=3.2，得答：需投入技改资金约5.625万元.【解析】【分析】（1）根据x，y之间的关系即可求出答案.

（2）①将x=5代入函数解析式即可求出答案.

②将y=3.2代入函数解析式即可求出答案.22．【答案】（1）18（2）证明：∵点H在对角线AC的垂直平分线上，EF边经过点H，∴AH=CH，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，由旋转得：AE=AB，∠E=∠B=9在Rt△AEH与Rt△CDH中，AH=CHAE=CD∴Rt△AEH≅Rt△CDH(HL)

∴EH=DH.【解析】【解答】解：（1）∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转角α(0∘<α<90∘)得到矩形AEFG

∴∠GAH=α

∵∠G=90°，∠F=90°

∴四边形AHFG中

∠AHF=180∘−α

故答案为：180∘−α

【分析】（1）根据旋转性质可得23．【答案】（1）证明：连接AC，∵立杆AB，CD相交于点O，

又∵OA∴△AOC∼△EOF，∴∠A=∠OEF，∴AC∥EF

同理可得AC∥BD（2）解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF∴ON∥AM，由（1）已证AC∥BD∴∠EON=∠EAM，

∴△EON~△BAM∵OE=OF=34cm，

∴△OEF∵ON⊥EF，∴ON是边EF上的中线，

∴EN=16cm.在Rt△OEN中，根据勾股定理，得ON=O∴OEAB=ONAM，即34答：晒衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖在地面上.【解析】【分析】（1）连接AC，根据相似三角形判定定理可得△AOC~△EOF，则∠A=∠OEF，根据直线平行判定定理即可求出答案.

（2）过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF，则ON∥AM，由（1）已证AC∥BD，则∠EON=∠EAM，由相似三角形判定定理可得△EON~△BAM，再根据等腰三角形判定定理可得△OEF是等腰三角形.，则EN=16，再根据勾股定理可得ON=30，再根据相似三角形相似比可得OE24．【答案】（1）解：∵一次函数y1=1∴m=12∵反比例函数y2=kx的图象过点A(2∴反比例函数的表达式为y2由y=12x+2y=∴B点的坐标为(−6，（2）解：令x=0，则y=12x+2=2设直线CE的解析式为y=ax+2(a≠0)，由ax+2=6x整理得，∵直线CE与反比例函数图象只有一个交点，∴Δ=22−4a⋅(−6)=0∴y=−16x+2，令y=0，则x=12，

∴CE=1（3）解：如图，当∠APB=90∘时，点B作BN⊥y轴于N，AM⊥y轴于M，AB与PQ的交点为D，PD=QD，设∵∠APM+∠BPN=90∘∵∠AMP=∠PNB=9∴△APM≅△PBN(AAS)∴PN=AM∴3−n=6

∴n=−3

∴P(0设Q(x，6∵点D在一次函数y1∴3整理得x2解得x=61∴Q点的横坐标xQ的值为61【解析】【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得A(2，3)，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的表达式为y2=6x，联立方程组，解方程组即可得点B坐标.

（2）根据y轴上点的坐标特征令x=0，代入一次函数解析式可得C(0，2)，设直线CE的解析式为y=ax+2(a≠0)，由ax+2=6x整理得，ax2+2x−6=0，结合两函数图象只有一个交点，则对应二次方程只有一个根，则判别式∆=b2-4ac=0，解方程可得y=−16x+2，根据x轴上点的坐标特征令y=0，则E点的坐标为(12，0)，再根据勾股定理即可求出答案.

（3）∠APB=90∘时，点B作BN⊥y轴于N，AM⊥y轴于M25．【答案】（1）相等（2）解：∵△CFH是直角三角形∴∠HFC=∠OCB=9∴FH∥OE又∵FH=OE∴四边形FOEH是平行四边形∴EG∥OF，∴∠