北师大版九年级数学下册 （三角函数的应用）直角三角形的边角关系教学课件

1.5三角函数的应用第一章直角三角形的边角关系

情境引入

我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.

那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？导入新课引例如图，海中有一个小岛A，该岛四周10nmile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20nmile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？BAC与方位角有关的实际问题一.讲授新课D【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10nmile.北东解：由点A作AD⊥BC于点D,设AD=x,则在Rt△ABD中，在Rt△ACD中，解得所以，这船继续向东航行是安全的.BACD25°55°北东由BC=BD-CD,得讲授新课如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？65°34°PBCA试一试讲授新课解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91≈72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.19海里．65°34°PBCA讲授新课利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．方法归纳讲授新课例1如图，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°,求山高．(结果保留根号)分析：求AC，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△ABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD＝1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.仰角和俯角问题二.讲授新课解：在Rt△ABC中，

在Rt△ACD中，∴BD＝BC－DC讲授新课例2如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．讲授新课例3热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．ABCDαβ仰角水平线俯角讲授新课解：如图，α

=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277.1m.ABCDαβ讲授新课建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.1－40=15.1答：旗杆的高度为15.1m.练一练讲授新课利用坡角解决实际问题三.例4一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米,）.

45°30°4米12米ABCD讲授新课解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4（米），CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的宽约为22.93米．45°30°4米12米ABCEFD讲授新课1.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于

（根号保留）．2.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为

（根号保留）．图3图4当堂练习3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________.当堂练习解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB=75°－30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB=AD=km．即该船航行的距离为km．当堂练习4.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AD＋BD＝AB，当堂练习∴在Rt△BCD中，∴AC＋BC＝

在Rt△ACD中，750－600≈150(km)．答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km.【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．(km).当堂练习5.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）．解：在Rt△ABO中，

∵tan∠BOA==tan60°=

∴AB=BO•tan60°=4×

=4（米）答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4米.当堂练习ABO6.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度为1∶3，斜坡CD的坡度为1∶2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;（2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）.EFADBC1:2.5236α解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F,由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.当堂练习EFADBC1:2.5236α在Rt△ABE中在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得当堂练习(2)斜坡CD的坡度为tanα=1：2.5=0.4，由计算器可算得

答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°.当堂练习课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．北师大版九年级下册圆的对称性

问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？圆心和半径问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？新知导入知识回顾

熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？新知导入新知讲解探究一：圆的轴对称性（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）同伴交流：你是用什么方法解决上述问题？新知讲解动手操作

请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条.新知讲解圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?·圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.探究二：圆的中心对称性圆绕圆心旋转任意角度，都能够与原来的图形重合.一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？圆具有旋转不变性新知讲解·圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.新知讲解∠AOB∠COD∠AOC∠BOD我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.探究三：圆心角、弧、弦之间的关系新知讲解判别下列各图中的角是不是圆心角①②③④只有④是，其余都不是圆心角新知讲解·OAB·OABA′B′A′B′

如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？新知讲解

根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与A′重合，B与B′重合．·OABA′B′∴弧AB与弧A′B′重合，AB与A′B′重合．新知讲解OαABA1B1α在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.∵∠AOB=∠A1OB1∴AB=A1B1，AB=A1B1.⌒⌒圆心角定理

在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？想一想新知讲解在同圆或等圆中，如果两个弧相等，那么它们所对的弦相等吗？所对的两个圆心角相等吗？你是怎么想的？新知讲解如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等在同圆或等圆中题设结论新知讲解OαABA1B1α同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。等对等定理新知讲解想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不可以，如图.ABODC上

下精品教学资源新知讲解

如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD=CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？·EBCOAD解:BE=CE.理由是：∵∠AOD=∠BOE，∴AD=BE.又∵AD=CE，∴BE=CE.∴BE=CE.⌒

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⌒课堂练习证明：∴AB=AC，又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，

AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO∵1.如图，在⊙O中，,∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.△ABC是等腰三角形.

温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.上

下精品教学资源拓展提高如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A，B和C，D，求证：AB=CD.M证