北师大版八年级数学上册 （一次函数的应用）一次函数 教学课件

第四章

一次函数4.4一次函数的应用

学习目标1.经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识；2.进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力；3.利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观；4.初步体会函数与方程的关系.什么是一次函数？若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.知识回顾上式中k，b对函数图象有什么影响？探究1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t（s）的关系如图所示.O1234123456t/sv（m/s）(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3s时物体的速度是多少？分析：因为直线过原点，符合正比例函数的图象特征，因此可以设v=kt

，代入图象上一个点的坐标求出k即可.合作探究探究1：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t（s）的关系如图所示.O1234123456t/sv（m/s）(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3s时物体的速度是多少？合作探究解：(1)设v=kt，因为点(2，5)在图象上，所以5=2k，即k=2.5.所以v=2.5t.(2)当t=3时，v=2.5×3=7.5(m/s).确定正比例函数表达式需要1个条件例1在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.分析：因为这里y是x的一次函数，所以可以设关系式为y=kx+b，确定出k和b的值即可.例题讲解例1在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.例题讲解解：设y=kx+b（k≠0），根据题意，得14.5=b，①16=3k+b.②将①代入②，得k=0.5.所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5.当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5（cm）.即所挂物体的质量为4kg时，弹簧长度为16.5cm.确定一次函数的表达式需要2个条件(1)设出函数表达式；(2)将已知的x，y的对应值代入所设表达式中，得到关于k,b的一元一次方程；(3)解方程求未知数；(4)写出函数的表达式.确定一次函数表达式一待定系数法确定一次函数表达式探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V（万m3）与干旱持续时间t（天）的关系如图所示，根据图象回答问题：Ot/天V/万m350400403020108001200合作探究(1)水库干旱前的蓄水量是多少？水库干旱前的蓄水量就是t=0时对应的V值.约为1200万m3.探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V（万m3）与干旱持续时间t（天）的关系如图所示，根据图象回答问题：Ot/天V/万m350400403020108001200合作探究(2)干旱持续10天，蓄水量是多少？干旱持续23天呢？干旱持续10天和持续23天的蓄水量分别对应t=10和t=23时的V值.分别约为1000万m3和750万m3.探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V（万m3）与干旱持续时间t（天）的关系如图所示，根据图象回答问题：Ot/天V/万m350400403020108001200合作探究(3)蓄水量小于400万m3时，将发出严重干旱警报.干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？蓄水量V小于400万m3时，将发出警报.此时所对应的t约为40天.探究2：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V（万m3）与干旱持续时间t（天）的关系如图所示，根据图象回答问题：Ot/天V/万m350400403020108001200合作探究(4)按照这个规律，预计干旱持续多少天水库将干涸？水库干涸也就是V为0，函数图象与横轴交点的横坐标即为所求.当V为0时，所对应的t的值约为60.例2某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（L）与摩托车行驶路程x（km）之间的关系如图所示.根据图象回答问题：O10030050012345678910x/kmy/L例题讲解(1)油箱最多可储油多少升？(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？解：观察图象，得(1)当x=0时，y=10.因此，油箱最多可储油10L.(2)当y=0时，x=500.因此，一箱汽油可供摩托车行驶500km.例2某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（L）与摩托车行驶路程x（km）之间的关系如图所示.根据图象回答问题：O10030050012345678910x/kmy/L例题讲解(3)摩托车每行驶100km消耗多少升汽油？(3)x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100km消耗2L汽油.(4)油箱中的剩余油量小于1L时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？(4)当y=1时，x=450.因此，行驶450km后，摩托车将自动报警.450如图所示的是某一次函数的图象，根据图象填空：(1)当y=0时，x=______；(2)这个函数的表达式是_________.y=0.5x+1O12xy-2-1-112-2设函数表达式为y=kx+b,因为直线与y轴交于点(0，1)，所以0+b=1，即b=1.因为直线与x轴交于点(-2，0)，所以-2k+1=0，即k=0.5.所以函数表达式为y=0.5x+1.交流讨论数：当函数值y=0时，x的值等于方程0.5x+1=0的解.形：一次函数y=0.5x+1与x轴的交点的横坐标就是方程0.5x+1=0的解.一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？O12xy-2-1-112一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.一次函数与一元一次方程的关系探究3：如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：Ox/ty/元510004321200030004000500060006l2l1合作探究(1)当销售量为2t时，销售收入=______元，销售成本=______元.30002000(2)当销售量为6t时，销售收入=_____元，

销售成本=______元.60005000(3)当销售量等于______时，销售收入

等于销售成本.4t两直线交点的意义(1)几何意义：两直线交点是它们的公共点；(2)代数意义：两直线交点的坐标同时满足两个表达式，即y1=y2.探究3：如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：合作探究(4)当销售量________时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量_________时，该公司亏损（收入小于成本）.大于4t小于4tOx/ty/元510004321200030004000500060006l2l1利用图象比较函数值(1)先找交点坐标，交点处y1=y2；(2)再看交点左右两侧，图象位于上方的直线函数值较大.探究3：如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：合作探究(5)l1对应的函数表达式是___________，l2对应的函数表达式是________________.y=1000xOx/ty/元510004321200030004000500060006l2l1设l1的表达式是y=k1x，由图知，图象过点（4，4000），所以4000=4k1，所以k1=1000.所以l1的函数表达式是y=1000x.探究3：如图所示，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：合作探究(5)l1对应的函数表达式是___________，l2对应的函数表达式是________________.y=1000xOx/ty/元510004321200030004000500060006l2l1设l2的表达式是y=k2x+b，由图知，图象过点(0，2000),(4，4000)得，b=2000①,4000=4k2+b②将①代入②，得k=500，所以l2的函数表达式是y=500x+2000.y=500x+2000k1的实际意义是每销售1t产品的销售收入，b1的实际意义是未销售时，销售收入为0；k2的实际意义是每销售1t产品的销售成本，b2的实际意义是未销售时，为销售所花的成本为2000元.想一想l1对应的一次函数y=k1x+b1中，k1，b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y=k2x+b2中，k2，b2的实际意义各是什么？Ot/mins/nmile814102234566l2l178例题讲解(1)哪条线表示B到海岸距离与追赶时间之间的关系？解:(1)当t=0时,B距海岸0nmile,即s=0，故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.例3我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶.图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(nmile)与追赶时间t(min)之间的关系.根据图象回答下列问题：Ot/mins/nmile814102234566l2l178例题讲解(2)A、B

哪个速度快？(2)t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，l1的纵坐标增加了5，即10min内，A行驶了2nmile，B

行驶了5nmile，所以B

的速度快.例3我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶.图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(nmile)与追赶时间t(min)之间的关系.根据图象回答下列问题：例题讲解(3)15min内B

能否追上A？(3)延长l1，l2，可以看出，当t＝15时，l1上对应点在l2上对应点的下方.这表明，15min时B尚未追上A.Ot/mins/nmile814102234566l2l178121416例3我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶.图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(nmile)与追赶时间t(min)之间的关系.根据图象回答下列问题：例题讲解(4)如果一直追下去，那么B能否追上

A？(4)如图，l1、l2相交于点P.因此，如果一直追下去，那么B

一定能追上A.Ot/mins/nmile814102234566l2l178121416P例3我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶.图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(nmile)与追赶时间t(min)之间的关系.根据图象回答下列问题：例题讲解(5)当A逃到离海岸12nmile的公海时，B将无法对其进行检查.照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？(5)从图中可以看出，l1

与

l2

交点P的纵坐标小于12，这说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上

A.Ot/mins/nmile814102234566l2l1781214161012P例3我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶.图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(nmile)与追赶时间t(min)之间的关系.根据图象回答下列问题：例题讲解(6)l1与l2对应的两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？(6)k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2

nmile/min，快艇B的速度是0.5nmile/min.Ot/mins/nmile814102234566l2l178121416例3我边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶.图中l1，l2分别表示两船相对于海岸的距离s(nmile)与追赶时间t(min)之间的关系.根据图象回答下列问题：1.已知正比例函数的图象经过点（-1，3），那么这个函数的表达式为________.

y=-3x2.直线经过A（0，2）和B（3，0）两点，那么这个一次函数表达式是________.

随堂练习3.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（）A.两车同时到达乙地B.轿车在行驶过程中进行了提速C.货车出发3小时后，轿车追上货车D.两车在前80千米的速度相等BO2.55x/小时y/千米803001.24.5ADCB课堂小结一、待定系数法确定一次函数表达式1设；2代；3求；4写.二、利用图象信息解决实际问题从x轴、y轴的实际意义去理解函数图象上点的坐标的实际意义.三、一次函数与一元一次方程的关系一元一次方程kx+b=0的解直线y=kx+b与x轴交点横坐标.谢谢一次函数的应用第1课时北师大版八年级上册

教学目标1.了解两个条件可以确定一个一次函数，一个条件可以确定一个正比例函数，并能由此求出表达式.2.会用待定系数法解决简单的实际问题.3.能根据函数的图象确定一次函数的表达式.情景导入

前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？

思考：

反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？两点法——两点确定一条直线新知讲解某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s)与其下滑时间t（s）的关系如图所示.(1)写出v与t之间的关系式；(2)下滑3秒时物体的速度是多少？解：（1）v=2.5t;（2）v=2.5×3=7.5(m/s).新知讲解确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数表达式需要几个条件？（或几个点的坐标）2个2个1典例精析例1

在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出y

与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.典例精析解：设y=kx+b(k≠0)

由题意，得14.5=b,16=3k+b,解得：k=0.5.所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5当x=4时，y＝０.５×４＋14.5=16.5（厘米）.即物体的质量为４千克时，弹簧长度为１６.５厘米.

解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．归纳总结用待定系数法求一次函数表达式的步骤（1）设：根据题意设函数的表达式为：y=kx+b（2）列：将已知条件给出的两组对应x，y的值或两个点的坐标，代入表达式，建立关于k,b的两个方程（3）求