北师大版九年级数学上册 （应用一元二次方程）一元二次方程课件教学(第1课时)

第二章一元二次方程2.6应用一元二次方程第1课时

实践探究探究1问题1：怎样设未知数？

这个问题中存在什么样的等量关系？

如何用勾股定理列方程？(1)设梯子顶端下滑xm时，梯子底端滑动的距离和它相等．先求梯子底端原来离墙的距离：________________________．等量关系是：梯子顶端现在离地的距离与梯子底端现在离墙的距离组成了直角三角形的两条________，斜边是____________，根据勾股定理可得：________________________________，解得_______________．

直角边梯子的长度(8－x)2＋(6＋x)2＝102x1＝0，x2＝2探究2x1＝0是否符合题意？∵x＝0时，梯子没有下滑，∴____________________________．问题2：你能根据(1)的分析解答出(2)吗？x＝0不合题意，舍去，x＝2(2)解：梯子底端原来离墙的距离为设梯子顶端下滑

xm时，梯子底端滑动的距离和它相等．由题意，得

(12－x)2＋(5＋x)2＝132，解得

x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝7.答：梯子顶端下滑7m时，梯子底端滑动的距离和它相等．

列方程解应用题的步骤是：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答．归纳应用举例例1

如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n

mile处有一目标B,在B的正东方向200n

mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.ABDCEF北东20020045°

∵AD=CD

BF=CF解：连接DF,∴DF是△ABC的中位线∴DF//AB且DF=

AB∵AB⊥BC

AB=BC=200∴DF⊥BC

DF=100（海里）BF=100（海里）ABDCEF北东200?20045°若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰的行程应为AB+BE=2x海里.EF=AB+BF-(AB+BE)

=(300-2x)海里

答:相遇时补给船航行了约118.4海里.整理得解这个方程得

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002＋(300－2x)23x2－1200x＋100000＝0∴x1＝200－

≈118.4

x2＝200＋

（不合题意，舍去）

ABDCEF北东200?20045°例2

如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.(1)若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；(2)若墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？(3)能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由．ABCD方法指导：(1)若设BC＝xm，则AB的长为m，若设AB＝xm，则BC＝(35－2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出(1)的解；(2)墙长为18m，意味着BC边的长应小于或等于18m，从而对(1)的结论进行甄别即可；(3)可借助(1)的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得结论．ABCD

解：(1)设BC＝xm，则AB＝CD＝m.依题意可列方程为x·＝150，整理，得x2－35x＋300＝0.解这个方程，得x1＝20，x2＝15.当BC＝20m时，AB＝CD＝7.5m，当BC＝15m时，AB＝CD＝10m.即这个长方形鸡场的长与宽分别为20m，7.5m或15m，10m；ABCD

(2)当墙长为18m时，显然BC＝20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m，10m；ABCD(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场．理由如下：设BC＝xm，则AB＝m．依题意可列方程为x·＝160，整理，得x2－35x＋320＝0.此时Δ＝352－4×1×320＝1225－1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场．ABCD

例3

在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)(如图1)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？图(1)解：设道路宽为x米，如图(2)利用平移知识可列方程为(32－2x)(20－x)＝570，化简得x2－36x＋35＝0，解这个方程得x1＝1，x2＝35＞32(不合题意，舍去)，∴道路宽应为1米．图(2)练一练前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.随堂练习1．直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为

(

)A．

B．5

C．

D．72．从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形面积是48cm2，则原来正方形铁皮的面积是_________．

B64cm23．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：设相遇时用的时间为x，依题意可列方程为(3x)2＝(7x－10)2－102，整理，得2x2－7x＝0.解这个方程，得

x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝3.5，∴3x＝3×3.5＝10.5，7x＝7×3.5＝24.5.答：相遇时，甲走了24.5步，乙走了10.5步．4．用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？解：设长为xcm，则宽为解这个方程，得x1＝7，x2＝13.当x＝7cm时，当x＝13cm时，∴这个矩形的长为13cm.5．一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角形的面积是多少？解：设较短直角边长为

xcm，由题意，得：x2＋(x＋1)2＝72，化简得：x2＋x－24＝0.解这个方程得：∴较长直角边长为∴直角三角形面积＝列方程步骤：应用类型审设列解检答利用一元二次方程解决行程问题行程问题平均变化率问题面积问题动点问题课堂小结与作业第二章一元二次方程2.6应用一元二次方程第2课时

情景导入问题1：王美丽卖玫瑰花，如果每束玫瑰花盈利10元，平均每天可售出40束．经调查发现，若每束降价1元，则平均每天可多售出8束．王美丽的丈夫李贪心认为卖得越多，挣的钱就越多，因此决定让王美丽大幅度降价，王美丽不愿意，王美丽认为应该提升价格，因为提升的越多，盈利就越多．同学们认为他们谁的说法靠谱呢？实践探究新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？问题1：降价前，销售1天获得的利润是多少？你是如何计算的？问题2：降价后，哪些量发生了变化？如何计算调价后每天的销售利润呢？问题3：本题中我们该设“谁”为未知数好呢？每天的销售量/台每台的销售利润/元总销售利润/元降价前82900－25003200降价后8＋4×2900－x－25005000列出方程：如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为______________元．

(8+4×)(2900－x－2500)=5000

(2900－x)问题4：如果我们既不设每台的定价是多少，也不设每台降价多少元，想一想，我们还可以怎么“设”呢？如果设每台冰箱降了x个50元，那么每台冰箱的定价应为______________元．每天的销售量/台每台的销售利润/元总销售利润/元降价前82900－25003200降价后8＋4x2900－50x－25005000列出方程：(8+4x)(2900－50x－2500)=5000(2900－50x)问题5：比一比看哪种方程解得又快又对．(8+4×)(2900－x－2500)=5000

(8+4x)(2900－50x－2500)=5000方程一：方程二：归纳总结利润问题常见关系式：基本关系：(1)利润＝售价－________； (3)总利润＝____________×销量.进价单个利润

某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元.为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张.摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？典例讲解例1方法指导：找出等量关系式，每张贺年卡赢利的钱×张数＝赢利总钱数．解：设每张贺年卡应降价x元，则现在的利润是(0.3－x)元，多售出200x÷0.05＝4000x(张).根据题意，得(0.3－x)(500＋4000x)＝180，整理，得400x2－70x＋3＝0.解得x1＝

，x2＝0.1.∵为了尽快减少库存，∴x＝0.1.答：每张贺年卡应降价0.1元．

某小区2020年屋顶绿化面积为2000m2，计划2022年屋顶绿化面积要达到2880m2.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？例2方法指导：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解：设这个增长率是x.根据题意，得2000×(1＋x)2＝2880.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).答：这个增长率是20%.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？方法指导：设商品单价为(50+x)元,则每个商品的利润为[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)·[(50+x)－40]=8000.例3解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则

(500－10x)·[(50+x)－40]=8000，整理得x2－40x+300=0，解得x1=10，x2=30都符合题意.当x=10时，50+x=60，500－10x=400；当x=30时，50+x=80，500－10x=200.答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个.归纳总结列一元二次方程解应用题，步骤与以前的列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际意义的检验．1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植2株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植

x株，则可列出的方程是

(

)A．(2＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋2)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(2－0.5x)＝15

D．(x＋1)(4－0.5x)＝15随堂练习A2．某商品的进价为5元，当售价为x元时，此时能销售该商品(x＋5)个，并获利144元，则该商品的售价为______元．3．某小区2014年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2016年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是______．1320%4．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中