第03讲空间直线平面的平行

第3节空间直线、平面的平行考试要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．1、下列结论正确的是①若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面②若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α③若a⊥α，a⊥β，则α∥β.④α∥β，β∥γ，则α∥γ⑤若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.⑥如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．【答案】③④2、（多选）已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是()A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂βB．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥lC．若m⊥α，l⊥m，则l∥αD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l【答案】AD【解析】对于A，若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，A正确；对于B，若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，B错误；对于C，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，C错误；对于D，由线面平行的性质知正确．3.（多选题）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是（）A．OM∥PDB．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBA【答案】ABC【解析】对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，故正确；对于B，由于OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故正确；对于C，由于OM∥PD，OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则OM∥平面PAD，故正确；对于D，由于M∈平面PAB，故错误．故选：ABC．4.（多选题）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD1平行的是()A．直线EFB．直线GHC．平面EHFD．平面A1BC1【答案】ABD【解析】首先直线EF、GH、A1B都不在平面ACD1内，由中点及正方体的性质知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，∴直线EF，GH，A1B都与平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，∴EH与平面ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD1相交，∴C错，故选A、B、D．1.在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.【解析】法一：(线线平行，则线面平行)如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)AB.又F是CD的中点，所以DF＝eq\f(1,2)CD.由四边形ABCD是矩形得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.法二：(面面平行，则线面平行)如图，取AB的中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因为GF⊂平面GMF，所以GF∥平面ADE.【变式1】如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H．【解析】证明：（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．（2）取B1D1的中点O，连接EO、D1O，则OE∥DC，OE＝DC．又D1G∥DC，D1G＝DC，∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．【变式2】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点故∵面∴面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点理由如下：由点分别为中点可得：∵面∴面由（1）可知，面且故面面【变式3】如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．(1)证明：平面PBE；(2)证明：．【解析】（1）取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点，所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.【变式4】如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．【解析】(1)当eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴当eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.1.(多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是()A．没有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGH所在四边形的面积为定值C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值【答案】ACD【解析】由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C，因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且FG⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的；因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即D是正确的．2.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【答案】C【解析】∵PD与平面CEF交于点H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，如图所示．∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，∴平面AEF∥平面CHM.∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中点，则H为PD的中点，∴CH＝eq\r(CM2＋MH2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).3.如图所示，正四棱锥的各棱长均为13，为上的点，且.(1)在线段上是否存在一点，使直线平面？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；(2)假设存在满足条件（1）的点，求线段的长.【答案】(1)存在，(2)7(1)存在，；理由如下：连接并延长，交于，连接.因为正方形中，，所以;又因为，所以；平面，平面，所以平面.(2)由（1）得，所以；中，，所以；因为，所以所以.1.设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b.其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【详解】由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行，相交或异面，故③是假命题；对于④，根据a⊂α，b⊂β，α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选：A.2.如图，G，H，M，N分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中GH∥MN的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，若GH∥MN，可得G，H，M，N四点共面，则直线MG，HN共面，这与MG，NH异面矛盾，所以A中的两直线不平行；由异面直线的定义可得B，C中的两直线GH，MN为异面直线；由N，H为中点，可得NH∥MG，且NH＝MG，则四边形MGHN为平行四边形，D中的两直线为平行直线．故选：D．3.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若A1C∥平面BC1D，则D为（）A．棱AB的中点 B．棱AA1的中点 C．棱BC的中点 D．棱A1B1的中点【答案】D【解析】解：如图，当D为棱A1B1的中点时，取AB的中点E，连接CE，A1E，由A1D＝BE，A1D∥BE，可得四边形BEA1D为平行四边形，即有A1E∥BD，由A1E平面BDC1，BD⊂平面BDC1，所以A1E∥平面BDC1，同理可得CE∥平面BDC1，由CE∩A1E＝E，可得平面A1CE∥平面BC1D，由于A1C⊂平面A1CE，则A1C∥平面BC1D．故选：D．4.（多选）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由线面平行的判定定理即可得出答案.由，所以需添加，.故选：AC.5.设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】C【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．6.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，则AC的长为________cm.【答案】eq\f(7,2)【解析】过点D作直线AB的平行线分别交平面β与平面γ于点M，N，连接AD，BM，CN，ME，NF，如图所示，所以AD∥BM∥CN，ME∥NF，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(DM,MN)＝eq\f(DE,EF)，因为AB＝2cm，DE＝4cm，EF＝3cm，所以eq\f(2,BC)＝eq\f(4,3)，解得BC＝eq\f(3,2)cm，所以AC＝AB＋BC＝2＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,2)(cm)．7.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、P分别是棱AB，A1B1的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面．【详解】证明：（1）设与的交点为，连结，∵四边形平行四边形，∴为中点，又是的中点，∴是三角形的中位线，则，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵为