氢原子塞曼效应能级的简化公式

氢原子塞曼效应能级的简化公式

1氢原子塞曼效应的性质氢原子在均匀磁体中的轴向功能应该分为赛马效应。当自动磁矩和磁体之间的相互作用和哈密顿体积的b2元素被省略时，氢原子的轴向功能简单地分解为均匀磁体的一部分，n形能量被分解成几个部分。在强磁场中，由于哈密顿体积的b2元素，氢原子的容量论被破坏，原子能简单地分解并完全消除。近年来，一些文献报道了强磁场氢原子在强磁场中的功能和波函数的工作。在这些工作中，原则上应用了变分法和数值计算的方法。计算氢原子的多级和波函数的过程非常复杂。利用微干扰法求解强磁场中氢原子的多级和波函数，并面临解长期方程的二维高行方程问题的困难。该工作使用了简单的微干扰理论和球合函数的性质，将氢原子的自动效应矩阵的二维高行方向分解为n级普通平行方向方程的n级低行方向方程，并对其进行了简化，给出了氢原子在低能条件下的素质分析解。氢原子的瑶波功能与左、乘两位方程的简化公式相比具有不同的兴趣。三个氢原子的塞曼效应类似于左、乘。2微扰矩阵元hn设外磁场均匀并沿Z轴方向,磁场强度为B,忽略自旋磁矩与磁场之间的相互作用时,氢原子的哈密顿量为选取球坐标系,式(1)为令:式(2)变为:由于氢原子的定态波函数ψnlm(r,θ,φ)也是的本征函数.所以的本征函数为ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)(5)能量本征值为E0nm=E0n+E0m=-μe42ℏ2n2+eB2μcmℏm=0,±1,±2,⋯,±(n-1)(6)式(6)表明氢原子在均匀磁场中,当B2项忽略不计时n态能级分裂为(2n-1)个能级,能级的简并度为(n-1)2.当外磁场为强磁场而且B2(B<106T)项不能忽略时,氢原子库仑场的对称性被破坏.能级简并被全部解除.此时可将作为微扰项,应用简并态微扰法可以计算一级能级修正值E′lm.强磁场中氢原子塞曼效应的一级近似能级可以表示为:Enlm=E0n+E0m+E(1)lm(7)现取零级波函数为ψ0=n∑i=1C(0)iϕi(r,θ,φ)(8)ϕi(r,θ,φ)=ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)(9)根据简并态微扰理论,久期方程为n∑i=1(Η′ji-E(1)lmδji)C(0)i=0‚δji={0,j≠i1‚j=1(10)其中:由公式:cosθYlm=√(l+1)2-m2(2l+1)(2l+3)Yl+1,m+√l2-m2(2l-1)(2l+1)Yl-1,m(12)可以得到sin2θYl′m′=2l′2(2l′+3)-2(l′+1)+2m′2(2l′+1)(2l′+1)(2l′+3)(2l′-1)Yl′m′-√(l′2-m′2)(l′+m′-1)(l′-m′-1)(2l′-1)2(2l′-3)(2l′+1)Yl′-2,m′-√(l′+m′+1)(l′-m′+1)(l′+m′+2)(l′-m′+2)(2l′+1)(2l′+3)2(2l′+5)Yl′+2,m′(13)式(13)代入式(11)中得到只有当两个态的角量子数满足l=l′、l=l′±2和磁量子数m=m′时,微扰矩阵元H′ji才不为零,其余的微扰矩阵元H′ji都为0.又因为所以只须计算l=l′,l=l′+2或l=l′-2的非零微扰矩阵元H′ij.在这里取l=l′-2,即l′=l+2.根据球谐函数的性质,有ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)=(-1)mRnl(r)Y*l,-m(θ,φ)=(-1)mψ*nl,-m(15)在非零微扰矩阵元H′ij中,m与-m对应的微扰矩阵元H′ij(m)、H′ij(-m)间的关系为H′ij(m)=∫ψ*nlmbr2sin2θψnl′mdτ=∫ψnl,-mbr2sin2θψ*nl′,-mdτ=H′ji(-m)=H′ij(-m)(16)根据式(14)、式(15)和久期方程行列式中m≠m′的矩阵元H′ij都为零的条件,久期方程变成(2n-1)个对角的非零分块行列式和余下的零子行列式组成的n2阶行列式,式(10)为|AnAn-1A-(n-1)0⋯An-mA-(n-m)⋯0A2A-2A1A-1|=0(17)上式中,对角线上的A-1,A1,A-2,A2,…,A-(n-m)2,An-m,…,A-(n-1),An-1,An均为非零分块行列式,其余的矩阵元都为零.每个非零分块行列式都是从m≠m′开始划分,每个非零分块行列式中的各矩阵元都在m=m′内,且每对应一个m值,若有i个ϕi=ψnlm函数,该分块行列式为i阶行列式.分块行列式An-m是磁量子数为m时,角量子数l分别取m,n+1,n+2,…,(n-1)所组成的(n-m)阶行列的分块行列式.在分块行列式An-m中,零级波函数ψ0中的ϕi,m按下列方法构造{ϕ1,m=ψnmm=RnmYmmϕ2,m=ψn(m+1)m=Rn(m+1)Y(m+1)m⋮ϕn-m,m=ψn-(n-1)m=Rn(n-1)Y(n-1)m;m=0,1,2,…,(n-1)(18)应用氢原子径向波函数中r2平均值的关系式:¯r2=∫∞0r2R2nl(r)r2dr=a20n22[5n2+1-3l(l+1)],(a0=ℏ2me2)(19)和式(13)可以得到分块行列式An-m中的非零微扰矩阵元H′ii和H′i(i+2).H′ii和H′i(i+2)分别为式(17)可写成A-1A1A-2A2…A-(n-m)An-m…A-(n-1)An-1An=0(22)根据式(16)H′ij(m)=H′ij(-m)可知An-m=A-(n-m),则有E(1)lm=E(1)l(-m).式(22)可简化为A1A2…An-m…An-1An=0(23)式(23)是强磁场中氢原子塞曼效应久期方程的简化公式.由式(23)解出与磁量子数m=0,1,2,…,(n-1)对应的分块行列式A1、A2、…、An-1、An的根E(1)lm,再代入式(7)就可得到n态氢原子塞曼效应一级近似能级.下面用上述方法计算n=3的氢原子塞曼效应的一级近似能级.3氢原子n.3具有良好的衬底反应能力3.1算法中分块行列式3-2A3中各微扰矩阵元对应于m=0、l=0,1,2的零级波函数ψ0中的ϕi,m为ϕ1,0=R30Y00,ϕ2,0=R31Y10,ϕ3,0=R32Y20(24)其中:R30=-12√2α32e-ρ2(2-2ρ+ρ23)‚R31=-12α32e-ρ2ρ(23-ρ2)‚R32=-√560α32e-ρ2ρ2(25)在上面各式中,α=23a0‚ρ=αr,a0=ℏ2me2.由式(20)和式(21)计算分块行列式A3中非零矩阵元分别为:Η′11=∫vϕ*1,0ˆH´ϕ1,0dτ=138a20b‚Η′22=∫vϕ*2,0ˆH´ϕ2,0dτ=72a20bΗ′33=∫vϕ*3,0ˆH´ϕ3,0dτ=60a20b‚Η′13=Η′31=∫vϕ*1,0ˆH´ϕ3,0dτ=-30√2a20b}(26)代入A3=0中得:A3=|138a20b-E(1)l00-30√2a20b072a20b-E(1)l00-30√2a20b060a20b-E(1)l0|=0(27)解得:E(1)00=9(9+√41)e2B2a208μc2,E(1)10=72e2B2a208μc2,E(1)20=9(9-√41)e2B2a208μc2(28)3.2关于b-e矩阵元ϕ1,1=R31Y11,ϕ2,1=R32Y21(29)A2中的非零矩阵元为:代入A2=0中得:A2=|144a20b-E(1)l10072a20b-E(1)l1|=0(30)解得:E(1)11=144e2B2a208μc2,E(1)21=72e2B2a208μc2(31)3.3应的矩阵元ϕ1,1=R32Y22(23)20相应的矩阵元为:由A1=0(H′11-E(1)22=0),解得:E(1)22=108e2B2a208μc2(33)3.4eb2.3e58第二,32e15.3将上面解得的E(1)lm分别代入式(7)中得到强磁场中氢原子n=3的塞曼效应一级近似能级为:E322=-μe418ℏ2+eBℏμc+108e2B2a208μc2,E321=-μe418ℏ2+eBℏ2μc+72e2B2a208μc2,E320=-μe418ℏ2+9(9-√41)e2B2a208μc2,E32-1=-μe418ℏ2-eBℏ2μc+72e2B2a208μc2,E32-2=-μe418ℏ2-eBℏμc+108e2B2a208μc2,E311=-μe418ℏ2+eBℏ2μc+144e2B2a208μc2,E310=-μe418ℏ2+72e2B2a208μc2,E31-1=-μe418ℏ2-eBℏ2μc+144e2B2a208μc2,E300=-μe418ℏ2+9(9+√41)e2B2a208μc2(34)4功率分配算法应用氢原子塞曼效应久期方程的简化公式计算n=3的一级近似能级结果表明,氢原n=3久期方程原来是