湖南省郴州市鲤鱼江实验中学高三数学文上学期摸底试题含解析

湖南省郴州市鲤鱼江实验中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象如图所示，其中是的导函数，下面四个图象中Y=f（）的图像大致是参考答案：答案：C2.在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，，，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C3.过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C4.先将函数的图象向左平移个长度单位，再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的，得到函数的图象，则使为增函数的一个区间是

A．

B.

C.

D.

参考答案：A略5.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A设正方形边长为，则，故选A.

6.

函数在下列各区间中单调递增的区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B7.对于函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是(

)A． B． C．

D．参考答案：B略8.已知二次函数的图象如图1所示,则其导函数的图象大致形状是

（

）

参考答案：B设二次函数为，由图象可知，，对称轴，所以，，选B.9.函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在实数n使得f（m）=g（n），则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．∪ C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】求出g（x）的范围，利用存在实数n使得f（m）=g（n），列出不等式，然后求解即可．【解答】解：∵g（x）=，g（x）∈[﹣1，1]，存在n使得f（m）=g（n），可得﹣1≤f（|m|）≤1，即﹣1≤log2|m|≤1，，∴，故选：B．【点评】本题考查函数的值域以及对数函数的性质，分段函数的应用，考查计算能力．10.对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（

）

A．47,45,56

B．46,45,53

C．46,45,56

D．45,47,53参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列关于函数的描述中，正确的是_____.（填写正确命题的序号）①π是f(x)的一个周期；②f(x)是偶函数；③；④，与有且只有2个公共点.参考答案：①②③【分析】假设π为函数的周期，代入检验即可判断；同理，代入与比较，即可判断是否为偶函数；根据周期与偶函数性质，求得在上的值域即为在上的值域，利用辅助角公式即可求解；画出在的图象，即可判断与的交点个数。【详解】，故①正确；因为，所以为偶函数，故②正确；由①②得在上的值域与其在上的值域相同，当时，，角的终边过点，故，，，所以的值域为，故③正确；，的图象如图，所以，与有且只有3个公共点，故④错误.【点睛】本题考查了三角函数的周期性、奇偶性和单调性与值域的综合应用，函数图象的画法及应用，属于中档题。12.已知向量，，若，则实数k=

．参考答案：4，则题意，解得.

13.已知向量，，，若∥，则=

．参考答案：514.当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣6，﹣2]【考点】函数恒成立问题．

【专题】导数的综合应用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）=﹣++=﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故答案为：[﹣6，﹣2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．15.已知实数x，y满足不等式组，且z=2x-y的最大值为a，则=______．参考答案：6分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标函数的几何意义，利用平移法进行求解可得a的值，然后求解定积分即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x-y得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点B时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．由，得，即a=zmax=2×4-2=6，则==6lnx=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想以及函数的积分公式是解决此类问题的基本方法，属中档题．16.若函数恰有2个零点，则a的取值范围为

．参考答案：原问题等价于函数与函数恰有2个零点，当时，，则函数在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，且：；当时，分类讨论：若，则，若，则，据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像观察可得a的取值范围为.

17.如图，A是两条平行直线之间的一个定点，且A到的距离分别为，设的另两个顶点B,C分别在上运动，且，，则以下结论正确的序号是____________.①是直角三角形；

②的最大值为;③;④设的周长为，的周长为，则.参考答案：①②④由正弦定理得：，则，又，，所以①正确；设，则，，，，则，，所以②正确；，所以③错误；，令，（当时取等），所以④正确。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.分别是的角所对的边，且，．（1）若的面积等于，求;（2）若，求的值参考答案：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得19.（2017?衡阳一模）已知函数f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）当a＜﹣1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x解集，取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，画出函数图象，求出三角形顶点的坐标，表示出三角形面积，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）≥5化为：|x﹣1|+|x+2|≥5①，当x≤﹣2时，①式化为﹣2x﹣6≥0，解得：x≤﹣3；当﹣2＜x＜1时，①式化为3＞5，不成立；当x≥1时，①式化为2x+1≥5，解得x≥2综上，f（x）≥5的解集是{x|x≤﹣3或x≥2}；（Ⅱ）当x≤﹣2时，f（x）=﹣（a+1）x﹣2a+1；当﹣2＜x＜1时，f（x）=（a﹣1）x+2a+1；当x≥1时，f（x）=（a+1）x+2a﹣1，综上，f（x）=；画出函数f（x）的图象如图所示；则f（x）与x轴围成的△ABC三个顶点分别为：A（﹣2，3），B（﹣，0），C（，0）由题设可得：S=（﹣）?3=6，化简得2a2+3a﹣2=0，解得a=﹣2或a=（不合题意，舍去）；故a的值是﹣2．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，也考查分类讨论思想与数形结合的应用问题，是综合性题目．20.已知函数在一个周期内的图象如图所示，点为图象的最高点，为图象与轴的交点，且三角形的面积为．（I）求的值及函数的值域；（II）若，求的值．参考答案：(I)又，，则。

则值域是…..7分

(II)由得，

，得则==略21.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知，且．（1）求证：；（2）不等式对一切实数恒成立，求的取值范围．参考答案：见解析考点：不等式证明：（Ⅰ）所以当且及仅当时等号成立。（Ⅱ）由（Ⅰ）知对一切实数恒成立等价于 因为只需，即或22.设f（x）=xex（e为自然对数的底数），g（x）=（x+1）2．（I）记，讨论函F（x）单调性；（II）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函数G（x）有两个零点．（i）求参数a的取值范围；（ii）设x1，x2是G（x）的两个零点，证明x1+x2+2＜0．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）（i）求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的零点的个数，求出a的范围即可；（ii）根据a的范围，得到==﹣，令m＞0，得到F（=1+m）﹣F（﹣1﹣m）=（e2m+1），再令φ（m）=e2m+1，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）==，（x≠﹣1），F′（x）==，∴x∈（﹣∞，﹣1）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（﹣1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增；（Ⅱ）由已知，G（x）=af（x）+g（x）=axex+（x+1）2，G′（x）=a（x+1）ex+2（x+1）=（x+1）（aex+2），（i）①a=0时，G（x）=（x+1）2，有唯一零点﹣1，②a＞0时，aex+2＞0，∴x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）递减，x∈（﹣1，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）递增，∴G（x）极小值=G（﹣1）=﹣＜0，∵G（0）=1＞0，∴x∈（﹣1，+∞）时，G（x）有唯一零点，x＜﹣1时，ax＜0，则ex＜，∴axex＞，∴G（x）＞+（x+1）2=x2+（2+）x+1，∵△=﹣4×1×1=+＞0，∴?t1，t2，且t1＜t2，当x∈（﹣∞，t1），（t2，+∞）时，使得x2+（2+）x+1＞0，取x0∈（﹣∞，﹣1），则G（x0）＞0，则x∈（﹣∞，﹣1）时，G（x）有唯一零点，即a＞0时，函数G（x）有2个零点；③a＜0时，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣）），由G′（x）=0，得x=﹣1或x=ln（﹣），若﹣1=ln（﹣），即a=﹣2e时，G′（x）≤0，G（x）递减，至多1个零点；若﹣1＞ln（﹣），即a＜﹣2e时，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣）），注意到y=x+1，y=ex+都是增函数，∴x∈（﹣∞，ln（﹣））时，G′（x）＜0，G（x）是减函数，x∈（ln（﹣），﹣1）时，G′（x）＞0，G（x）递增，x∈（﹣1，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减，∵G（x）极小值=G（ln（﹣））=ln2（﹣）+1＞0，∴G（x）至多1个零点；若﹣1＜ln（﹣），即a＞﹣2e时，x∈（﹣∞，﹣1）时，G′（x）＜0，G（x）是减函数，x∈（﹣1，ln（﹣））时，G′（x）＞0，G（x）递增，x∈（ln（﹣），+∞）时，G′（x）＜0，G（x）递减，∵G（x）极小值=G（﹣1）=﹣＞0，∴G（x）至多1个零点；综上，若函数G（x）有2个零点，则参数a的范围是（0，+∞）；（ii）由（i）得：函数G（x）有2个零点，则参数a的范围是（0，+∞），x1，x2是G（x）的两个零点，则有：，即，即==﹣，∵F（x）=，则F（x1）=F（x2）＜0，且x1＜0，x1≠﹣1，x2＜0，x2≠﹣1，x1≠x2，由（Ⅰ）知，当x∈（﹣∞，﹣1）时，F（x）是减函数，x∈（﹣1，+∞）时，F（x）是增函数，令m＞0，F（=1+m）﹣F（﹣1﹣m）=（e2m+1），再令φ（m）=e2m+1=e