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文档简介
辽宁省朝阳市蒙古高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.a,b表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面.①若α∩β=a,b?α,a⊥b,则α⊥β;②若a?α,a垂直于β内任意一条直线,则α⊥β;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,则a⊥b;④若a不垂直平面α,则a不可能垂直于平面α内的无数条直线;⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β.上述五个命题中,正确命题的序号是()A.①②③ B.②④⑤ C.④⑤ D.②⑤参考答案:D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】①α⊥β不一定成立,可能相交不垂直;②利用面面垂直的判定定理可知α⊥β;③由已知a⊥b,不一定成立;④若a不垂直平面α,则a可能垂直于平面α内的无数条直线,即可判断出正误;⑤利用线面垂直与平行的性质及其判定定理可知:正确.【解答】解:①若α∩β=a,b?α,a⊥b,则α⊥β不一定成立,可能相交不垂直;②若a?α,a垂直于β内任意一条直线,则α⊥β,正确;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,则a⊥b,不一定成立,不正确;④若a不垂直平面α,则a可能垂直于平面α内的无数条直线,因此不正确;⑤若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β,利用线面垂直与平行的性质及其判定定理可知:正确.上述五个命题中,正确命题的序号是②⑤.故选:D.2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是(
)
参考答案:C略3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,三边a,b,c成等差数列,且,则(cosA﹣cosC)2的值为()A. B. C. D.0参考答案:A【考点】余弦定理.【分析】三边a,b,c成等差数列,可得2b=a+c,利用正弦定理可得:2sinB=sinA+sinC,即sinA+sinC=1,设cosA﹣cosC=m,平方相加即可得出.【解答】解:∵三边a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,利用正弦定理可得:2sinB=sinA+sinC,∴sinA+sinC=2sin=1,设cosA﹣cosC=m,则平方相加可得:2﹣2cos(A+C)=1+m2,∴m2=2cosB+1=.故选:A.【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4.已知以椭圆的右焦点为圆心,为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是A、
B、
C、
D、参考答案:答案:B5.已知集合A={x|y=lg(x+1)},B={x||x|<2},则A∩B=()A.(﹣2,0) B.(0,2) C.(﹣1,2) D.(﹣2,﹣1)参考答案:C【考点】1E:交集及其运算.【分析】求解对数型函数的定义域化简集合A,然后直接利用交集运算求解.【解答】解:由x+1>0,得x>﹣1∴A=(﹣1,+∞),B={x||x|<2}=(﹣2,2)∴A∩B=(﹣1,2).故选:C6.函数的图象是轴对称图形,其中它的一条对称轴可以是
()A.轴
B.直线
C.直线 D.直线参考答案:C.考点:三角函数的图象和性质.7.已知集合,,则下列结论中不正确的是
A.
B.
C.
D.
参考答案:C8.已知a>0,a≠1,a0.6<a0.4,设m=0.6loga0.6,n=0.4loga0.6,p=0.6loga0.4,则(
) A.p>n>m B.p>m>n C.n>m>p D.m>p>n参考答案:B考点:对数值大小的比较.专题:函数的性质及应用.分析:a>0,a≠1,a0.6<a0.4,可得0<a<1.再利用对数函数的单调性即可得出.解答: 解:∵a>0,a≠1,a0.6<a0.4,∴0<a<1.又m=0.6loga0.6,n=0.4loga0.6,p=0.6loga0.4,∴p>m>n,故选:B.点评:本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.9.若整数满足
则的最大值是
A.1
B.5
C.2
D.3参考答案:B10.若不等式的解集是,则函数的图象是(
)参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.____________.参考答案:
12.(5分)已知正实数a,b满足=3,则(a+1)(b+2)的最小值是.参考答案:【考点】:基本不等式.不等式的解法及应用.【分析】:正实数a,b满足=3,可得,b+2a=3ab.展开(a+1)(b+2)=ab+b+2a+2=4ab+2,即可得出.解:∵正实数a,b满足=3,∴,化为,当且仅当b=2a=时取等号.b+2a=3ab.∴(a+1)(b+2)=ab+b+2a+2=4ab+2.故答案为:.【点评】:本题考查了基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题.13.圆心在轴上,且与直线及都相切的圆的方程为
。参考答案:14.已知||=3,||=4,·=0,若向量满足(-)·(-)=0,则||的取值范围是
.参考答案:[0,5]【考点】平面向量数量积的运算.【分析】先根据向量的数量积和向量的模,求出|+|=5,再由,得到|2=5||cos(,),继而求出范围.【解答】解:∵,∴|+|==5,∵,∴||2=()?=|(|?||cos(,)=5||cos(,),∴||=0,或||=5cos(,)≤5,故的取值范围[0,5],故答案为:[0,5]15.设则__________参考答案:16.抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4,则直线AF的斜率为
.参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.【分析】求出抛物线的焦点坐标,设出A,利用抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4,求出A的横坐标,然后求解斜率.【解答】解:由题可知焦点F(1,0),准线为x=﹣1设点A(xA,yA),∵抛物线y2=4x上一点A到它焦点F的距离为4,∴点A到其准线的距离为4,∴xA+1=4,∴xA=3,∴yA=±2∴点A(3,),∴直线AF的斜率为,故答案为:.【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,直线与抛物线的位置关系,考查计算能力.17.已知,则__________.参考答案:试题分析:.考点:余弦二倍角公式.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为e=,且C1的右焦点与抛物线C2:y2=4x的焦点相同.(1)求椭圆C1的方程;(2)求经过点P(﹣2,0)分别作斜率为k1、k2(k1≠k2)的两条直线,两直线分别与椭圆C1交于M、N两点,当直线MN与y轴垂直时,求k1?k2的值.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由椭圆的离心率和且C1的右焦点与抛物线C2:y2=4x的焦点相同,列出方程组求出a,b,由此能求出椭圆C1的方程.(2)设直线PM:y=k1(x+2),与椭圆联立,求出M,同理求出N,由直线MN与y轴垂直,得,由此能求出k1k2的值.【解答】解:(1)∵椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为e=,且C1的右焦点与抛物线C2:y2=4x的焦点相同,∴,解得a=2,c=,b2=4﹣3=1,∴椭圆C1的方程为.(2)由题意,当k1=0时,M点的纵坐标为0,直线MN与y轴垂直,则点N的纵坐标也为0,∴k1=k2=0,与k1≠k2矛盾,∴k1≠0,设直线PM:y=k1(x+2),由,得,解得或y=0(舍),∴M(,),同理N(,),∵直线MN与y轴垂直,∴=,化简,得,∴(k2﹣k1)(4k1k2﹣1)=0,又由k1≠k2,得4k1k2﹣1=0,∴k1k2=.已知函数f(x)=x2+alnx的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率为10.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)判断方程f(x)=2x根的个数,证明你的结论;(Ⅲ)探究:是否存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧?若存在,求出点A的坐标;若不存在,说明理由.【答案】【解析】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断.【分析】解法一:(Ⅰ)对函数f(x)求导,根据导数的几何意义可求f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率k,结合已知可求a(Ⅱ)令F(x)=f(x)﹣2x=x2﹣2x+8lnx,利用函数的导数,判断函数F(x)在(0,+∞)上的单调性,结合F(1)=﹣1<0,F(2)=8ln2>0,可证(Ⅲ)由导数的几何意义可求曲线y=f(x)在点A处的切线方程(x>0),构造函数h(x)=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣(x>0),对h(x)求导,通过讨论t的取值范围来判断h′(x)的符号,进而可判断h(x)在(0,+∞)上的单调性,即可判断解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一;(Ⅲ)由导数的几何意义可求曲线y=f(x)在点A处的切线方程(x>0),构造函数h(x)=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣(x>0),对h(x)求导,若存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于t不是极值点,二次函数的性质可求【解答】解法一:(Ⅰ)因为f(x)=x2+alnx,所以,函数f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=2+a.由2+a=10得:a=8.
…(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x2+8lnx,令F(x)=f(x)﹣2x=x2﹣2x+8lnx.因为F(1)=﹣1<0,F(2)=8ln2>0,所以F(x)=0在(0,+∞)至少有一个根.又因为,所以F(x)在(0,+∞)上递增,所以函数F(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点,即方程f(x)=2x有且只有一个实根.
…(Ⅲ)证明如下:由f(x)=x2+8lnx,,可求得曲线y=f(x)在点A处的切线方程为,即(x>0).
…记h(x)=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣(x>0),则.
…(1)当,即t=2时,对一切x∈(0.+∞)成立,所以h(x)在(0,+∞)上递增.又h(t)=0,所以当x∈(0,2)时h(x)<0,当x∈(2,+∞)时h(x)>0,即存在点A(2,4+8ln2),使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.
…(2)当,即t>2时,时,h'(x)>0;时,h'(x)<0;x∈(t,+∞)时,h'(x)>0.故h(x)在上单调递减,在(t,+∞)上单调递增.又h(t)=0,所以当时,h(x)>0;当x∈(t,+∞)时,h(x)>0,即曲线在点A(t,f(t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.
…(3)当,即0<t<2时,x∈(0,t)时,h'(x)>0;时,h'(x)<0;时,h'(x)>0.故h(x)在(0,t)上单调递增,在上单调递减.又h(t)=0,所以当x∈(0,t)时,h(x)<0;当时,h(x)<0,即曲线在点A(t,f(t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.综上,存在唯一点A(2,4+8ln2)使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.
…解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一;(Ⅲ)证明如下:由f(x)=x2+8lnx,,可求得曲线y=f(x)在点A处的切线方程为,即(x>0).
…记h(x)=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣(x>0),则.
…若存在这样的点A(t,f(t)),使得曲线y=f(x)在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧,则问题等价于t不是极值点,由二次函数的性质知,当且仅当,即t=2时,t不是极值点,即h'(x)≥0.所以h(x)在(0,+∞)上递增.又h(t)=0,所以当x∈(0,2)时,h(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h(x)>0,即存在唯一点A(2,4+8ln2),使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧.
…19.已知椭圆的离心率为,右焦点为(,0),斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(I)求椭圆G的方程;
(II)求的面积.
参考答案:本题考查了求椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,考查了同学们的代数计算能力,难度中等。(1)直接运用公式代入求解;(2)联立直线与椭圆,然后计算出三角角形的某个底边长以及其上的高。(1)由已知得,解得。又,所以椭圆G的方程为。(2)设直线的方程为,由得。
①设A,B的从标分别为,AB中点为,则,。因为AB是等腰的底边,所以。所以的斜率,解得。此时方程①为
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