北京尚丽外国语学校2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

北京尚丽外国语学校2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（

） A．

B．

C．

D．参考答案：B2.，则（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

参考答案：A略3.已知集合，，则A∩B=(

)A. B.或≤C.或 D.或参考答案：B【分析】先将集合中表示元素的范围求出，然后再求两个集合的交集.【详解】，∴或≤故选：B.【点睛】本题考查集合间的基本运算，难度容易，求解的时候注意等号是否能取到的问题.4.函数在点（x0，y0）处的切线方程，则等于A、－4

B、－2

C、2

D、4参考答案：D5.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，则的值等于（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：D6.下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是(

)A．y=2|x| B．y=x3 C．y=﹣x2+1 D．y=cosx参考答案：C【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．【解答】解：A中，y=2|x|是偶函数，但在（0，+∞）上单调递增，排除A；B中，y=x3是奇函数，排除B；C中，y=﹣x2+1是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减；D中，y=cosx是偶函数，但在（0，+∞）上不单调，排除D；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，熟记常见基本函数的有关性质是解题关键．7.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数====+i在复平面内对应的点（，）位于第二象限．故选：B．8.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.已知A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．﹣ B．

C．0 D．参考答案：B【考点】循环结构．【分析】算法的功能是求S=sin+sin+…+sin的值，根据判断框的条件确定跳出循环的最小的正整数n值，再利用正弦函数的周期性求输出S的值．【解答】解：本题为直到型循环结构的程序框图，由框图的流程知：算法的功能是求S=sin+sin+…+sin的值，∵满足条件n＞2014的最小的正整数n为2015，∴输出S=sin+sin+…+sin，由sin+sin+sin+sin+sin+sin=sin+sin+sin﹣sin﹣sin﹣sin=0，∴输出S=sin+sin+sinπ+sin=sin=．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为

.参考答案：答案:

12.是虚数单位，计算=________.参考答案：-113.已知函数f(x)=x3-3x2+6x-7的图象是中心对称图形，其对称中心为______________。参考答案：答案：（1,-3）解析：设f(x)对称中心为P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)是图象上关于P对称两点，由对称性知，f(x)在x1,x2处斜率相等，令为k。则，即3x2-6x+6-k=0，故对称中心为(1,-3)

14.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，2Sn=（n+1）an，若关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】a1=1，2Sn=（n+1）an，n≥2时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1），化为：=，可得：an=n．不等式an2﹣tan≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出．【解答】解：∵a1=1，2Sn=（n+1）an，∴n≥2时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）an﹣nan﹣1，化为：=，∴==…===1，∴an=n．不等式an2﹣tan≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2．∴1≤t＜，故答案为：．【点评】本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.若函数满足且时，；函数

，则函数与的图象在区间内的交点个数共有

个.参考答案：8.解：函数以2为周期，是偶函数，画出图像可知有8个交点.

16.设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．参考答案：[0，2]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，转化为直线的斜率问题，通过函数的值域求解目标函数的范围即可．【解答】解：约束条件的可行域如图：由可得A（﹣，），可得B（，），则==，由题意可得∈[﹣1，1]，令t=∈[﹣1，1]，则=t+∈[2，+∞）∪（﹣∞，﹣2]，∴∈[0，2]．故答案为：[0，2]．17.如图4，已知是⊙的切线，是切点，直线交⊙于、两点，是的中点，连结并延长交⊙于点．若，，则=

．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC=．（1）设平面SCD与平面SAB的交线为l，求证：l∥AB；（2）求证：SA⊥BC；（3）求直线SD与面SAB所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；棱锥的结构特征．【分析】（1）由AB∥CD得AB∥平面PCD，由线面平行的性质得出AB∥l；（2）取BC中点O，连接OS，OA，利用余弦定理计算OA得出OA⊥BC，又OS⊥BC得出BC⊥平面SOA，故而BC⊥SA；（3）以O为原点建立坐标系，求出和平面SAB的法向量，则直线SD与面SAB所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（1）∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∵AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，又AB?平面SAB，平面SCD∩平面SAB=l，∴l∥AB．（2）取BC中点O，连接OS，OA．∵OB=BC=，AB=2，∠ABC=45°，∴OA==．∴OA2+OB2=AB2，∴OA⊥BC．∵SB=SC，O是BC的中点，∴OS⊥BC，又SO?平面SOA，OA?平面SOA，SO∩OA=O，∴BC⊥平面SOA，∵SA?平面SOA，∴BC⊥SA．（3）∵SB=SC，O是BC中点，∴SO⊥BC．∵侧面SBC⊥面ABCD，侧面SBC∩面ABCD=BC，∴SO⊥平面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OS为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，则A（，0，0），B（0，，0），S（0，0，1），D（，﹣2，0），∴=（，﹣2，﹣1），=（，0，﹣1），=（，﹣，0）．设平面SAB法向量为=（x，y，z），则，∴．令x=1，则y=1，z=，∴=（1，1，）．∴cos＜，＞===．∴直线SD与面SAB所成角的正弦值为．19.已知函数，，其中为自然对数的底数.（1）若，求曲线在点处的切线斜率；（2）证明：当时，函数有极小值，且极小值大于.参考答案：（1）解：依题意，，，故，即曲线在点处的切线斜率为；（2）证明：因为,所以在区间上是单调递增函数.因为，，所以，使得.

所以，；，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在区间上有极小值.因为，所以.设，，则，所以，即在上单调递减，所以，即，故当时，函数有极小值，且极小值大于m.20.(本小题满分12分)已知函数，（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设的内角的对边分别且,，若求的值．参考答案：解析：（1）……．3分

则的最大值为0，最小正周期是…6分（2）则

由正弦定理得①……9分

由余弦定理得

即②

由①②解得

…………12分21.已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．（1）设，，求函数在上的最大值；（2）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ），，函数的图像关于直线对称，则．直线与轴的交点为，，且，即，且，解得，．则．

故，其图像如图所示．当时，，根据图像得：（ⅰ）当时，最大值为；（ⅱ）当时，最大值为；（ⅲ）当时，最大值为．

……………8分（Ⅱ）方法一：，则，

，

当时，，不等式恒成立等价于且恒成立，由恒成立，得恒成立，当时，，，，

又当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是．……14分方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），的图像过点时，或，要使不等式对恒成立，必须，

又当函数有意义时，，当时，由恒成立，得，因此，实数的取值范围是．

…………………14分

略22.（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF.（1）求证：BD⊥平面AED；（4分）（2）求二面角F-BD-C的余弦值.（8分）参考答案：解析：

（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，∴又CB=CD,∴∴,即:BD⊥AD

………2分

又BD⊥AE，，平面AED，且，故BD