河北省邢台市第九中学高三数学文下学期摸底试题含解析

河北省邢台市第九中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若，则实数等于（

）A．

B．

C．2

D．9参考答案：C试题分析：，选C.考点：分段函数求值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.2.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．3.已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（，2） D．（1，2）参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定M，F1，F2的坐标，进而由?＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．【解答】解：设直线方程为y=（x﹣c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=（﹣，），=（，），由题意可得?＜0，即＜0，化简可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e=＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故选：D．4.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=

（）A．58 B．88 C．143 D．176参考答案：B5.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C在定义域上是奇函数，但不单调。为非奇非偶函数。在定义域上是奇函数，但不单调。所以选C.6.全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x<－1或x>2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x≤1}D．{x|0≤x≤1}参考答案：D7.若点在抛物线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为A．

B．

C．

D．

参考答案：C将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故选C.

8.已知点P（x，y）是圆x2+y2=4上任意一点，则z=2x+y的最大值为（）A． B．C．6 D．参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆的圆心（0，0）到直线2x+y﹣z=0的距离d=≤2，即可求出z=2x+y的最大值．【解答】解：由题意，圆的圆心（0，0）到直线2x+y﹣z=0的距离d=≤2，∴﹣2≤z≤2，∴z=2x+y的最大值为2，故选B．9.下列有关命题的叙述错误的是（

） A．对于命题p：x∈R，，则为：x∈R， B．命题“若－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则－3x+2≠0” C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 D．“x>2”是“－3x+2>0”的充分不必要条件参考答案：C略10.从5个不同的小球中选4个放入3个箱子中，要求第一个箱子放入1个小球，第二个箱子放入2个小球，第三个箱子放入1个小球，则不同的放法共有（）A．120种 B．96种 C．60种 D．48种参考答案：C【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】使用分步乘法计数原理计算．【解答】解：第一步，从5个不同的小球中选4个，共有=5种不同的方法；第二步，从选出的4个小球中选出1个放入第一个箱子，共有=4种不同的方法；第三步，从剩余的3个小球中选出2个放入第二个箱子，共有=3种不同的方法；第四步，将最后1个小球放入第三个箱子，共有=1种不同的方法．故不同的放法共有5×4×3×1=60种．故选C．【点评】本题考查了组合数公式，分步乘法计数原理，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给定函数①，②，③，

④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是

；参考答案：②③12.给定集合S={x1，x2，…，xn}（n≥2，xk∈R且xk≠0，1≤k≤n），（且），定义点集T={（xi，xj）|xi∈S，xj∈S}．若对任意点A1∈T，存在点A2∈T，使得（O为坐标原点），则称集合S具有性质P．给出以下四个结论：①{﹣5，5}具有性质P；②{﹣2，1，2，4}具有性质P；③若集合S具有性质P，则S中一定存在两数xi，xj，使得xi+xj=0；④若集合S具有性质P，xi是S中任一数，则在S中一定存在xj，使得xi+xj=0．其中正确的结论有．（填上你认为所有正确的结论的序号）参考答案：①③【考点】元素与集合关系的判断．【分析】利用集合S具有性质P的概念，{﹣5，5}﹣5，5与{﹣2，1，2，4}分析判断即可；取A1（xi，xi），集合S具有性质P，故存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，利用向量的坐标运算整理即可证得xi+xj=0；数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；【解答】解：集合S具有性质P，若A1（﹣5，5），则A2（5，5），若A1（﹣5，﹣5）则A2（5，﹣5），均满足OA1⊥OA2，所以①具有性质P，故①正确；对于②，当A1（﹣2，3）若存在A2（x，y）满足OA1⊥OA2，即﹣2x+3y=0，即，集合S中不存在这样的数x，y，因此②不具有性质P，故②不正确；取A1（xi，xi），又集合S具有性质P，所以存在点A2（xi，xj）使得OA1⊥OA2，即xixi+xixj=0，又xi≠0，所以xi+xj=0，故③正确；由③知，集合S中一定存在两项xi，xj使得xi+xj=0；假设x2≠1，则存在k（2＜k＜n，k∈N*）有xk=1，所以0＜x2＜1．此时取A1（x2，xn），集合S具有性质P，所以存在点A2（xi，xs）使得OA1⊥OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以当x1=﹣1时x2=xnxs＞xs≥x2，矛盾，∴xi是S中任一数，则在S中一定存在xj，使得xi+xj=0．故④不正确；故答案为：①③13.在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点

，则点到点的距离大于1的概率为

.参考答案：14.设函数f(x)＝若f(x)为奇函数，则当0＜x≤2时，g(x)的最大值是__________．参考答案：略15.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线的一个焦点和一条渐近线，运用点到直线的距离公式，即可得到c=2b，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可计算得到．【解答】解：设双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线为y=x，则===b=×2c，即有c=2b，即有c=2，即有3c2=4a2，即有e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．16.图1是随机抽取的15户居民月均用水量（单位：t）的茎叶图，月均用水量依次记为A1、A2、…A15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，那么输出的结果n=．参考答案：8【考点】程序框图．【分析】算法的功能是计算15户居民在月均用水量中，大于2.1的户数，根据茎叶图可得月均用水量的户数，求出n的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算15户居民在月均用水量中，大于2.1的户数，由茎叶图得，在15户居民用水中中，大于2.1的户数有8户，∴输出n的值为8．故答案为：8．17.已知O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2），C（），动点P（x，y）满足且，则点P到点C的距离大于的概率为

．参考答案：【考点】几何概型；平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的坐标公式将不等式进行化简，作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵A（2，1），B（1，﹣2），C（，﹣），∴动点P（a，b）满足0≤≤2且0≤?≤2，∴，z=（a﹣）2+（b）2，∴作出不等式组对应的平面区域如图：∵点P到点C的距离大于，∴|CP|，则对应的部分为阴影部分，由解得，即E（，），|OE|==，∴正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为π，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，利用数量积将不等式进行转化，求出相应区域的面积是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在中，内角A、B、C的对边分别为，且.(1)求角的大小；

（2）若求的值.参考答案：得.所以所以..........................................................6分(2)由及得.由及余弦定理，得.所以……12分

19.（本小题满分12分）已知中，角A，B，C，所对的边分别是，且；

（1）求

（2）若，求面积的最大值。参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）又当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为.（12分）略20.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC的面积的最大值．（2）设∠ACD=θ，由已知及三角形面积公式可求sinθ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，利用余弦定理可求AD的值，进而利用正弦定理可求BC的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，，∴由余弦定理，得AC2=20=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=，∴，当且仅当AB=BC时，取等号，∴，∴△ABC的面积的最大值为；（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，∴，∴，∴，由余弦定理，得，∴AD=4．由正弦定理，得，∴，∴，此时，∴，∴BC的长为4．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；（2）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为2+2a=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（2）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞a，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，所以f′（x）=2在（0，+∞）上有解，即﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a=在（0，+∞）上有解，所以2+2a＞0，得a＞﹣1，故所求实数a的取值范围是（﹣1，+∞）；（2）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=﹣2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞a，因为x1lnx1+1﹣a=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，