2023-2024学年江苏省泰州市部分校高二（上）期初联考数学试卷（含解析）

第第页2023-2024学年江苏省泰州市部分校高二（上）期初联考数学试卷（含解析）2023-2024学年江苏省泰州市部分校高二（上）期初联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为()

A.B.C.D.

2.若平面内三点，，共线，则()

A.或B.或C.D.或

3.已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为．()

A.B.

C.D.

4.圆与圆的公切线共有

A.条B.条C.条D.条

5.过两点和的直线在轴上的截距为()

A.B.C.D.

6.直线被圆所截得的弦长为()

A.B.C.D.

7.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是()

A.B.

C.D.

8.若圆：上至少有个点到直线：的距离为，则的取值范围是()

A.B.

C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是()

A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

B.点关于直线的对称点为

C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是

D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

10.已知直线：，其中，下列说法正确的是()

A.当时，直线与直线垂直

B.若直线与直线平行，则

C.直线过定点

D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等

11.已知圆与圆的圆心不重合，直线下列说法正确的是()

A.若两圆相交，则是两圆的公共弦所在直线

B.直线过线段的中点

C.过直线上一点在两圆外作两圆的切线，切点分别为，则

D.直线与直线相互垂直

12.过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则()

A.点恒在以线段为直径的圆上B.四边形面积的最小值为

C.的最小值为D.的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.与圆：切于点的直线方程为___________．

14.圆上的点到直线的最大距离是___________．

15.过定点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线截距式方程为______．

16.已知动点到点的距离是到点的距离的倍，则点的轨迹为的方程为，直线交于，两点，，若的面积为，则实数的值为．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知两条直线：，：，当为何值时，与：

相交；

平行；

垂直．

18.本小题分

已知两直线与，直线经过点，直线过点，且．

若与的距离为，求两直线的方程；

若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．

19.本小题分

已知三个顶点坐标分别为：，直线经过点．

求外接圆的方程；

若直线与相切，求直线的方程；

若直线与相交于两点，且，求直线的方程．

20.本小题分

已知点，圆：，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．

求的轨迹方程；

当时，求的方程及的面积．

21.本小题分

如图，函数的定义域为设点是函数图象上任一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为，．

证明：为定值；

为坐标原点，求四边形面积的最小值．

22.本小题分

已知圆与轴交于两点，是圆上的动点，直线与分别与轴交于两点．

若时，求以为直径圆的面积；

当点在圆上运动时，问：以为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】【分析】

本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，属于基础题．

先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．

【解答】

解：若直线经过，两点，

则直线的斜率等于，

设直线的倾斜角等于，则有，

再由可得．

2.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了三点共线与斜率的计算公式，属于基础题．

由平面内三点共线，可得利用斜率计算公式即可得出．

【解答】

解：平面内三点，，共线，

，化为：，

解得或，

故选A．

3.【答案】

【解析】【分析】

本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题，

分锐角和钝角分别求得的取值范围，

【解答】

解：当时，，

当时，，

的取值范围是，

故选B．

4.【答案】

【解析】【分析】

本题考查圆与圆的位置关系的判定以及两圆公切线的条数的问题，属于基础题．

首先判断出两圆相外离，故公切线条．

【解答】

解：因为圆化为，

它的圆心坐标，半径为，

圆化为，

它的圆心坐标，半径为，

因为，

所以两个圆相外离，所以两个圆的公切线有条．

故选D

5.【答案】

【解析】【分析】

本题考查直线的截距，涉及直线的两点式方程，属基础题．

由题意可得直线的两点式方程，令解得值即为直线在轴上的截距．

【解答】

解：直线过点和，

直线的两点式方程为，

化为一般式可得，

令可解得，

故直线在轴上的截距为．

6.【答案】

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，点到直线的距离，属于基础题．

由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长．

【解答】

解：由已知，圆，圆心坐标为，半径为，

所以点到直线的距离为，

所以，直线被圆截得的弦长为．

故选：．

7.【答案】

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．

若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径．

【解答】

解：由题意，得圆心为，半径为．

圆心到直线的距离为，

由直线与圆有公共点可得，

，即，解得．

实数取值范围是．

故选C．

8.【答案】

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．

由题意求出圆的标准方程，写出圆心坐标和半径，再由题意至可得圆心到直线的距离不超过，求出的范围．

【解答】

解：圆的标准方程为：，

所以圆心，半径为，

要满足题意，由圆的几何性质得圆心到直线：的距离不超过，

则，解得，

所以的取值范围是

故选C．

9.【答案】

【解析】【分析】

本题考查直线的倾斜角与斜率，判断直线方程的求法、对称知识以及直线的截距的应用，属于中档题．

由题意对四个选项逐一判断即可．

【解答】

解：当直线的倾斜角为时，直线不存在斜率，

所以所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，故A正确；

点与的中点坐标满足直线方程，

并且两点的斜率为：，

所以点关于直线的对称点为，

故B正确；

直线在两坐标轴上的截距分别为：，，

与坐标轴围成的三角形的面积是：，

故C正确；

经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，

所以不正确；

故选ABC．

10.【答案】

【解析】【分析】

本题主要考查了直线的一般式方程，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定的应用，解题的关键是熟练掌握直线的一般式方程，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定，

根据已知及直线的一般式方程，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定，可知哪几个正确．

【解答】

解：当时，直线：与直线垂直，故A正确，

B.当时，直线：，直线与直线也平行，故B错误，

C.将代入直线：得，所以直线过定点，故C正确，

D.当时，直线：，直线在两坐标轴上的截距不相等，故D错误．

故选AC．

11.【答案】

【解析】【分析】

本题考查圆与圆的位置关系及判定，两圆相交弦有关的综合问题，以及圆的切线问题，属于较难题．

根据题意，利用圆的有关性质对选项逐一判断即可．

【解答】

解：对于，设两圆的公共点为，，

则满足

两式相减得，

同理，

，两点满足方程，故两圆的公共弦所在直线为直线，故A正确；

对于，取弦的中点，设，圆的半径为，圆的半径为，若，则，直线不过线段的中点，故B错误；

对于，如图，

，

，

，故C正确；

对于，由选项B，取弦的中点，则，则，同理，，

直线与直线相互垂直，故D正确．

故选ACD．

12.【答案】

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，以及相交弦的有关应用．

对于：由动点及圆的性质即可判断；

对于：连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求解即可；

对于：由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可得解；

对于：先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本不等式即可求解．

【解答】

解：对于：在四边形中，不一定是直角，故A错误；

对于：连接，由题易知，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，正确；

对于：设，则以线段为直径的圆的方程是，

与圆的方程相减，得，

即直线的方程为，

又点在直线上，所以，则，

代入直线的方程，得，即，

令，则，得，，

所以直线过定点，所以，

数形结合可知的最小值为，正确；

对于在中，分别令，得到点，，

所以，

因为点在直线上，所以且，，

则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，正确．

故选：．

13.【答案】

【解析】【分析】

本题考查圆的切线方程，直线的点斜式方程，属于基础题．

根据题意，先求出直线的斜率，可得出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解，再化为一般式即可．

【解答】

解：圆心，

，

过切点的切线斜率为，

过切点的切线方程为，即．

14.【答案】

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题

先求解出圆心坐标，计算圆心到直线的距离进而求解出圆上的点到直线距离的最大值．

【解答】

解：由题意可得，圆的标准方程为，圆心的坐标为，半径，

圆心到直线的距离，从而所求最大距离为：．

故答案为：．

15.【答案】

【解析】【分析】

本题考查直线斜率与倾斜角的关系、直线的点斜式方程、截距式方程，属于基础题．

利用斜率与倾斜角的关系、直线的点斜式方程得出直线的方程，再转化为截距式方程即可．

【解答】

解：直线的斜率为，

令直线的倾斜角为，所以可得，

即可得，

所以可得所求直线的斜率为，

所求直线方程为，

即，

其截距式方程为．

故答案为：．

16.【答案】或

【解析】【分析】

本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，属于中档题．

依题意，设坐标为，根据题设条件可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求点到直线的距离，的值，结合条件计算可知，即得关于的一元二次方程，解之可得实数的值．

【解答】解：由题意，设坐标为，

则，

化简整理，得，

所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

点到直线的距离为

，

所以的面积，得，

设中点为，易知，

则的面积为，

设点到的距离为，则

，

即得，

所以点到的距离为的一半，

所以为等腰直角三角形，即，也即，

所以，

化简整理，得，

解得：或．

故答案为；或．

17.【答案】解：当和相交时，，

由，，，或，

当且时，和相交；

时，不平行，，解得，

即时，与平行；

时，，，当时，．

【解析】本题考查两直线相交、垂直、平行的条件，属于基础题．

利用两条直线相交时，由方程组得到的一次方程有唯一解，一次项的系数不等于．

利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出的值．

当两条直线垂直时，利用直线的一般方程，对应项系数积的和为，解方程求出的值．

18.【答案】解：若，的斜率都存在，设其斜率为，

由斜截式得的方程，即，

由点斜式得的方程，即，

在直线上取点，则点到直线的距离为，

化简得，解得，

：，：．

若、的斜率都不存在，

则的方程为，的方程为，它们之间的距离为，满足条件，

综上所述，两条直线的方程为：，：或：，：．

当直线，均与两点的连线垂直时，与的距离最大，

两点连线的直线的斜率为，

直线与的斜率均为，

此时，最大距离为，

：，：．

【解析】本题考查直线方程的表达形式，两条平行直线间的距离公式，点到直线的距离公式，考查分类讨论思想，属于中档题．

分两类讨论：若，的斜率都存在，设其斜率为，写出两条直线的方程，由点到直线的距离公式求出斜率即可

若、的斜率都不存在，则：，：，然后验证距离是否等于即可

当直线，均与两点的连线垂直时，与的距离最大，由两点间距离公式求出最大距离，由两条直线的垂直关系求出斜率，再写直线的方程即可．

19.【答案】解：，，，

，，

，则是等腰直角三角形，

因而圆心为，半径为，的方程为．

当直线与轴垂直时，显然不合题意，因而直线的斜率存在，设：，

由题意知，解得或，

故直线的方程为或．

当直线与轴垂直时，方程为，它截得弦长恰为；

当直线的斜率存在时，设：，

圆心到直线的距离，

由勾股定理得，解得，

故直线的方程为或

【解析】确定是等腰直角三角形，因而圆心为，半径为，即可求外接圆的方程；

当直线与轴垂直时，显然不合题意，因而直线的斜率存在，设：，由题意知，求出，即可求直线的方程；

分类讨论，利用勾股定理，可得直线的方程．

本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线、圆的方程，考查点到直线的距离公式，属于中档题．

20.【答案】解：Ⅰ圆的方程可化为，

所以圆心为，半径为，

设，则，，

由题设知，

故，

即．

由于点在圆的内部，

所以的轨迹方程是．

Ⅱ由Ⅰ可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．

由于，故在线段的垂直平分线上，

又在圆上，从而．

因为的斜率为，

所以的斜率为，

故的方程为．