北京西城中高三上学期月月考数学（理）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精高三数学理科12月考试卷一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出，的四个选项中，选出符合题目是要求的一项）1．集合，，那么“”是“”的（）．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵集合，，∴，∴“”是“”的充分而不必要条件．故选．2．已知是定义在上的奇函数，则的值为（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是定义在上的奇函数,∴,即,且,∴．故选．3．已知,为两条直线，，为两个平面，给定下列四个命题：①，；②,；③，;④，．其中不正确的是(）．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【解析】①,，则或，故①错误；②，，则或，故②错误；③，，则或,故③错误;④，，则或，故④错误．综上，不正确的有个．故选．4．已知点在抛物线上，且点到的准线的距离与点到轴的距离相等，则的值为(）．A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意可知，∵,∴，解得．故选．5．已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值,则下列结论正确的是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】∵函数的最小正周期为，∴，∵当时，函数取得最小值，，∴，令，则，在上单调递减，，，，又∵，∴，∴．故选．6．平面向量与的夹角为，，,则（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】∵与的夹角为,，,∴，∴．故选．7．已知函数的零点为，的零点为,，可以是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，，,，∴．项．的零点为，不满足；项．函数的零点为,不满足；C项．函数的零点为,不满足;D项．函数的零点为，满足．故选．8．已知正方形的棱长为，，分别是边，的中点，点是上的动点，过点,，的平面与棱交于点，设,平行四边形的面积为，设,则关于的函数的解析式为（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得平面，即，∴，在平面中，，∴，．故选．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸相应位置的横线上．）9．一个几何图的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】根据三视图，作出直观图,如图所示，∴该几何体的体积．10．已知直线不通过第一象限,则实数的取值范围__________．【答案】【解析】直线恒成立,斜率为，∵直线不通过第一象限,∴，解得，故实数的取值范围是．11．椭圆一个长轴的一个顶点为，以为直角顶点做一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则此直角三角形的面积等于__________．【答案】【解析】设内切于椭圆的等腰直角三角形为，则，,直线，可求得，,．12．复数，,则实部的最大值__________，虚部的最大值__________．【答案】，【解析】∵，,∴，∴的实部为，∴实部的最大值为,的虚部为，∴虚部的最大值为．13．、两地街道如图所示，某人要从地前往地,则路最短的走法有__________种．【答案】【解析】根据题意，需要向上走次，向右走次,共次，从次中选次向右,剩下次向上即可，则有种不同的走法．14．若对任意，有唯一确定的与之对应,则称为关于，的二元函数，现定义满足下列性质的为关于实数,的广义“距离"．（）非负性：，当且仅当时取等号；(）对称性:；（）三角形不等式：对任意的实数均成立．给出三个二元函数:①；②；③,则所有能够成为关于,的广义“距离”的序号为__________．【答案】①【解析】①,满足（）非负性，，满足（)对称性，，满足（）三角形不等式，故①能够成为关于，的广义“距离"．②不妨设，则有，此时有，而,故不成立，所以不满足()三角形不等式，故②不能成为关于,的广义“距离”．③由于时，无意义,故③不满足．综上，故正确答案是：①．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．在中，内角、、的对边分别为、、．角,．（)求角的值．()若，求边、、的值．【答案】见解析【解析】解:()在中，由正弦定理，得，∵，∴,．（）,∴，由正弦定理得，由余弦定理得,解得，∴,，．16．学校高一年级开设、、、、五门选修课，每位同学须彼此独立地选三课程,其中甲同学必选课程,不选课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率．（Ⅱ）用表示甲、乙、丙选中课程的人数之和，求的分布列和数学期望．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）设事件为“甲同学选中课程"，事件为“乙同学选中课程",则,，∵事件与相互独立，∴甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率．(Ⅱ）设事件为“两同学选中课程"，则，的可能取值为,，,，，，,．∴的分布列为：．17．如图,在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面,，，，分别为,的中点，点在线段上．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ)若为的中点，求证:平面．(Ⅲ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等，求的值．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形中,∵，，，∴，∵,分别为，的中点，∴，∴，∵侧面底面，且，∴底面,∴，又∵，平面，平面，∴平面．（Ⅱ）证明:∵为的中点，为的中点，∴，又∵平面,平面，∴平面，同理，得平面，又∵，平面,平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面．（Ⅲ）解：∵底面，，∴，,两两垂直，故以，,分别为轴,轴和轴建立如图空间直角坐标系，则，，，,，,所以,,,设，则，∴，，易得平面的法向量，设平面的法向量为，则：，即，令，得,∴直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，∴，即，∴，解得或(舍去），故．18．已知常数，向量，经过点,以为方向向量的直线与经过点，以为方向向量的直线交于点，其中．（）求点的轨迹方程，并指出轨迹．（）若点，当时，为轨迹上任意一点，求的最小值．【答案】见解析【解析】解：（）∵，∴直线的方程为：①式,又，∴直线的方程为：②式，由①式,②式消去入得,即，故点的轨迹方程为．当时，轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当时，轨迹是以原点为中心，以为焦点的椭圆，当时，轨迹是以原点为中心,以为焦点的椭圆．（）当时,，∵为轨迹是任意一点，∴设，∴∵,∴当时,取得最小值．19．已知函数，．(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程．（Ⅱ)当时,若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,试求的取值范围．【答案】见解析【解析】解:（Ⅰ)当时，，，，∴，，∴曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ)根据题意，当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内,等价于时，恒成立，设，,∴，①当,即时,当时,,单调递减，故，根据题意有，解得，即，②当，即时，当，，单调递增，当，，单调递减，∵，∴不符合题意．③当,即时,注意到，显然不合题意．综上所述,．20．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心离为，