基于门限协整理论的股指期货跨市场套利研究

PAGEPAGE14基于门限协整理论的股指期货跨市场套利研究本文得到国家社会科学基金项目（编号:本文得到国家社会科学基金项目（编号:10BJY104）的资助。【摘要】本文在Balke,Fomby[2]和Hasen[4]提出的“在不同市场上的同质或相似商品的价格存在长期均衡关系，当价格偏离均衡时，由于套利交易的存在，偏离会迅速回到均衡；在一定的门限值以外，二者服从协整关系，而在门限值以内，二者没有协整关系”之门限协整概念的基础上，建立了双门限向量误差修正模型（BT-VECM）；提出了判断门限协整行为的Sup-Wald检验，使用Bootstrap方法模拟了Wald检验统计量的渐进分布，并用极大似然估计方法（MLE）和相应的格点搜索法同时估计出了门限参数、协整向量和双门限向量误差修正模型的各参数。本文用门限协整理论验证了英国富时指数期货（UK100）和德国法兰克福指数期货（GER30）的门限协整关系，估计了模型的各个参数，检验了参数的显著性，并给出了在这种门限协整关系下进行跨市场无风险套利的策略。关键词：门限协整，跨市场套利，股指期货，门限误差修正模型，Bootstrap1引言假设两个同质或相似的商品在两个不同的市场进行交易，根据一价定律，它们应该具有相同的价格，两个不同的市场之间存在长期的均衡关系（协整关系），当价格偏离均衡时，就会有套利机会存在。人们通过同时买空（卖空）被低估（高估）的商品和卖空（买空）被低估（高估）的商品，来获取无风险收益。但是由于两个市场地理上是分隔的，发现这种偶然的价格差异需要时间，加上交易成本，交易头寸限制，市场非有效性等因素的存在，这种套利并不总是有利可图的。人们期望寻找到一个门限，当价格偏离均衡值超过这个门限时，就认为套利是可行的。即这种长期协整关系并非是线性的，在某些区域，由于套利收益被交易成本等因素抵消，因此不存在套利交易，两个市场的价格倾向于服从随机游走；在这些区域之外，套利交易频繁发生，以至于两个市场的价格迅速收敛于均衡，这时两个市场的价格称之为非线性协整（门限协整，thresholdintegration）。Balke,Fomby[2]提出了门限协整的概念，并用一个门限自回归模型（TAR，thresholdautoregression）定义这种非线性协整行为。即假设在一个二元系统里两种商品的价格分别为和，它们都服从I(1)过程，存在长期均衡（协整）关系，其中残差项用来度量价格偏离均衡的程度，它满足一个非线性的自回归方程：（1）()（2）这里，为门限值，为白噪声过程。即当残差在门限区间（）内部时，服从一个随机游走过程；而当在门限区间（）之外，则倾向于回归到均衡值0附近。这种TAR模型的另外一种等价表述形式是门限向量误差修正模型（T-VECM）。（3）其中，为彼此独立的二元白噪声序列，，为误差修正项，等价于TAR模型中的残差项。TAR模型通过定义两个门限，把系统分成三个体制（regime）。在中间体制()下，价格偏差服从一个随机游走过程，二者没有协整关系，这时不存在套利机会；在其他两个体制下，价格偏差倾向于向均衡值0收敛，二者具有协整关系，这时市场存在套利交易。显然对TAR这种非线性情形，传统的协整检验方法并不适用。如果在一个二元系统里的确存在上述TAR模型所描述的非线性协整（门限协整）关系，那么如何检验这种门限协整的存在性，如何估计门限的参数是该问题的重点。Balke,Fomby[2]提出了采用两步法验证系统的门限协整行为。第一步，用传统的Engle-Grander两步法[8]（即用ADF和PP检验法检验长期均衡回归方程的残差是否为单位根过程）和用Johansen方法检验整个系统的协整行为）；第二步，检验系统内部的门限协整行为，估计门限参数。即将（1）（2）式的TAR模型写成如下形式：（4）为了检验系统内部的门限协整，并估计门限参数，PetruccelliDavies[11]提出了基于残差递归安排自回归（recursivearrangedautoregression）方法，并提出CUSUM检验方法。Tsay[12]同样用残差递归安排自回归的方法，给出了另外一种检验非线性协整的方法。Balke,Fomby[2]在Tsay的基础上提出了基于递归残差的Sup-Wald检验方法，并对上述的检验方法的效果进行了比较，结果得到Sup-Wald检验方法的效果最好。残差递归安排自回归方法的基本思想是把残差序列{，t=0,1,2…}按照从小到大（或从大到小）的顺序重新排列形成一个新的样本，这个样本打乱了原有样本的时间顺序，这时在进行自回归时的滞后变量并不是时间意义上的滞后变量，而是新样本下的滞后变量。在这个重新安排的样本下，首先选取一系列可能的门限值，对于每一对门限值，通过最小二乘（OLS）估计门限自回归方程（TAR），并计算样本的残差平方和。其次为了检验门限协整是否存在，作如下假设检验，即零假设：，即越过门限值时系统没有发生结构突变（structualchange），不存在门限协整。备择假设：，即存在两个结构突变点，存在门限协整。再者构造Wald统计量：，其中，服从分布。其中T为样本大小，为由OLS估计的在线性模型（）下的残差平方和。由于是关于的减函数，因此定义Sup-Wald统计量为所有的最大值：，其中为门限的值域。当门限越过某些点的时候，系统发生了结构性突变，那么这些点很可能就是所需要估计的门限值。最后得出门限的估计值是那些使残差平方和最小以及Wald统计量最大的值。即在同方差假设下，残差平方和最小和Wald统计量最大这两者是一致的。为了得知拒绝域的具体大小，需要知道Wald统计量的分布。但在这种情况下Wald统计量的分布依赖于门限参数的选择。在门限参数事先给定的情况下，Wald统计量在大样本下近似服从分布，而在零假设下门限参数并非事先给定的，而是被估计出来的，由于选择不同的初始样本可能会得到不同的估计结果，故使得检验变得更加复杂。因此传统的PetruccelliDavies[11]和Tsay[17]的检验方法是无效的。为解决这一问题，人们提出了一系列渐进理论来模拟在参数未知情况下检验统计量的分布。Davies[7]提出了似然比（LR）检验（likelihoodratio）。Andrew,Ploberger[1]分别构造了平均统计量以及对数统计量，Hassen[7]提出了渐进分布理论（asymptoticdistribution）来模拟检验统计量的渐进分布。Balke,Fomby[2]还提出用自助法（bootstrap）模拟Wald统计量的渐进分布：将随机取出的零假设模型下的残差放入新的样本，并不断重复该过程产生一个bootstrap样本，在这个样本中，计算零假设模型下的Sup-Wald统计量的分布；通过蒙特卡洛实验结果，Balke,Fomby[2]指出了Hasen的渐进分布理论和bootstrap数值检验方法都比传统的CUSUM和Tsay[17]检验方法更加有效。然而Forbes,Kalb,Kofman[6]提出的这种基于残差递归安排自回归的方法过于繁琐，对残差样本的顺序进行重排时选择升序和降序还会影响可能的门限值的范围以及概率。由于套利交易的存在，任何超过门限值的价格都会在短时间内回到均衡价格，所以超过门限外体制的样本很小，而妨碍门限的识别。因此人们试图使用贝叶斯方法(Bayasianapproach)估计门限套利模型。GewekeTerui[9]建立了一个二体制自回归(two-regimeautoregression)模型，计算出了门限变量的边缘后验分布的解析解。Koop[12]研究了类似二体制自回归模型的脉冲响应函数。ChenLee[5]利用马尔可夫链-蒙特卡洛（MCMC）方法计算出了边缘后验分布的数值解。ForbesKalbKofman[6]提出了门限误差修正贝叶斯模型（T-ECM），把交易成本等先验信息加入到分析中，利用贝叶斯后验分布函数同时估计出了门限参数，滞后参数和ECM模型的回归方程各参数，并将该模型应用于标准普尔指数期货和标准普尔指数的实证分析中，得到了一个1.03指数单位的无套利区间。虽然贝叶斯方法能够估计出门限参数，但并没有给出检验门限协整的方法。Hansen,Seo[4]提出了Balke,Fomby[2]的检验门限协整的方法只适用于协整向量已知的情况，而不适用于协整向量未知的情况。且在大部分情况下，协整向量是估计出来的而不是事先给定的。因此Hansen,Seo[4]分析了协整向量未知的情况，仅在二元价格系统下建立了包含一个协整向量和一个门限效应的门限向量误差修正模型(T-VECM)。他们通过格点搜索法并结合极大似然估计（MLE）法估计出协整向量与门限参数，再通过拉格朗日乘子（LM）法检验门限协整。然而Hansen,Seo[4]只给出了单门限系统的检验方法和估计方法，并没有将这种方法拓展到多门限的情形。Martens,Kofman,Vorst[15]用Tsay[17]的检验方法和门限自回归（TAR）模型分析了标准普尔指数期货和现货在1993年5月和11月的门限协整行为，发现套利交易的存在使得过大的价格偏差在短期内回调到无套利区间。Goodwin,Piggott[10]用门限自回归（TAR）模型分析不同市场上的大豆期货以及玉米期货，发现在不同市场上的同质商品存在门限协整行为，并通过基于Hasen[7]方法修正的Chow检验方法和Tsay[17]检验方法验证了门限协整并估计出了门限参数。Lo,Zivot[14]将多门限自回归模型拓展到协整向量已知的情形，并使用了Tsay[17]和Hasen[7]提出的检验方法。本文拟通过选取英国富时指数期货（UK100）和德国法兰克福指数期货（GER30）为研究对象分析全球股指期货市场之间的门限协整行为。目前虽已有较多分析股指期货市场和现货市场之间的套利，以及不同市场上同种商品之间的套利的实证分析研究，但是对于这种相似商品的跨市场套利的研究确不多见。由于英国和德国在经济、地理等各方面都很相似，两个国家的股票市场有很强的相似性，股指期货市场的交易时间，交易量等都非常相似，因此可以将这两种股指期货看做一种同质的商品，在长时期内满足一个固定的均衡关系（即协整关系）。如果这种协整关系确实存在，两种商品的价格偏差在长时期内有回到均衡值0附近的趋势，那么就存在套利机会。在价格偏差较大时卖出被高估的股指期货，买入被低估的股指期货，在价格偏差回复均衡时进行反向操作，就可以获得无风险收益。本文期望找到一种门限协整关系，找到两个门限值，当价格偏差高于或低于时，价格偏差会迅速回到均衡值附近，当价格偏差位于，价格没有上述行为，无套利区间就是，这个区间反映了跨市场套利成本。本文的结构安排是：在第二节中，将建立双门限向量误差修正模型（BT-VECM），提出Sup-Wald检验以判断期货价格之间的门限协整行为，使用Bootstrap方法得出Wald检验的渐进分布；利用极大似然估计（MLE）方法和相应的格点搜索（gridsearching）方法同时估计出门限参数和协整向量以及双门限向量误差修正模型的各参数；在第三节中，将应用门限协整方法验证英国富时指数期货（UK100）和德国法兰克福指数期货（GER30）的门限协整关系，估计模型的各个参数，检验参数的显著性，并分析门限协整对跨市场套利的意义。2门限协整相关理论研究2.1门限协整检验Martens,Kofman,Vorst[15]、Goodwin,Piggott[10]、Lo,Zivot[14]检验门限协整时都是用Tsay[17]的基于递归残差门限自回归模型（TAR）的方法进行检验。但这种基于残差递归安排自回归的方法还是有很多不足之处。而Hansen,Seo[4]提出的基于门限向量误差修正模型（T-VECM）的LM检验也只能运用于单门限的情况。本文将在Hansen,Seo[4]的门限向量误差修正模型的基础上，提出Sup-Wald检验方法。首先估计协整向量。对，进行OLS回归：，这里，残差；协整向量的估计值。根据Engle-Grandger[8]的理论，若服从I(0)过程，那么，也服从I(1)过程，则可以建立ECM模型。其次，建立双门限向量误差修正模型（BT-VECM）：（5）将该模型表示成矩阵形式：(6)其中，，，为协整向量，为误差修正项，是二元白噪声序列，为门限参数，系数矩阵是矩阵。两个门限把系统分成三个体制。再次，检验非线性协整即门限协整。作如下假设检验，即零假设：，即系统是线性协整的；备则假设：，即系统是三体制门限协整的。在零假设下，模型（6）退化为线性误差修正模型：(7)构造Wald统计量：，这里T为样本大小，为门限值是时的门限ECM模型残差方差的OLS估计值，其中，线性ECM模型残差方差的OLS估计值是，为此可得到sup-Wald统计量为，最后，使用Bootstrap方法模拟的渐进分布，以得到的拒绝域和临界值。零假设下的ECM模型为：(8)这里，为事先得到的误差修正项，的OLS估计值为，为OLS估计下{}的分布序列，从中随机取出一个值，代入递归方程（8）得：(9)方程（9）给出了序列{}的递归关系式，递归的初始值可以由原样本得到，由此可以计算出{}的分布序列，即为{}的Bootstrap分布，用{}计算出的Sup-Wald统计量为。重复该过程10000次，就可以得到的Bootstrap分布{}。在此可计算出在Bootstrap下的P值：P-Value=P{}，即在样本信息已知的条件下超过的条件概率，该概率近似等于10000个中超过的频率。2.2门限参数及协整向量的估计Tsay[17]和Fomby[2]估计门限参数的方法是对线性协整下的残差进行门限自回归（TAR），通过残差递归安排自回归结合F检验，Wald检验等方法检验门限协整并估计门限参数。这些方法都是在假定协整向量已知的情形下进行的，此时,为线性协整下的协整向量估计值。Hansen,Seo[4]提出这种基于残差回归的估计方法是有偏的，由于协整是需要估计的，故用零假设模型（线性协整模型）下的协整向量估计值代替非线性模型下的估计值是缺乏根据的。因此，本文在门限误差修正模型的基础上，通过极大似然估计同时估计出协整向量和门限参数。由于门限效应只在0<P()<1时才发生，因此可施加约束条件为：，而在实证分析中，一般令=0.05。模型（4）的似然函数为：(10）其中（11）这里，的极大似然估计值是使取得最大的值。为计算方便，先固定，再计算的极大似然估计。这时退化为OLS估计（12）（13）,（14）方程（12）和（13）可以看成对在体制和体制下样本的OLS估计。于是可以生成似然函数为：（15）故的极大似然估计值是在约束条件下使取得最小的值。为了得到，可先建立可能的取值区间和，然后在该区间上通过格点搜索得到的极大似然估计值。其具体步骤如下：步骤1先用OLS估计线性模型（假设存在线性协整关系），协整向量的估计值为，假设服从渐进正态分布，在95%的置信区间内取的上下临界值；误差修正项为，取出的两个适当的值作为的上下临界值。步骤2再对，内的每一对，计算，，的值。步骤3最后找出=，使得最小。3股指期货跨市场套利的实证分析3.1数据预处理选取英国富时100股票指数期货（UK100）和德国法兰克福DAX股票指数期货（GER30）在2011年4月20日2011年5月30日期间的5分钟交易高频价格数据共3572个，并对价格取对数，令，。表1平稳性检验lnUKlnGER结果ADF检验水平值0.30590.7560非平稳一阶差分0.00010.0001平稳PP检验水平值0.32870.7664非平稳一阶差分0.00010.0001平稳表1给出了和的平稳性检验的P值。由ADF和PP平稳性检验结果得知，lnGER和lnUK都服从一阶单整的I(1)过程。表2格兰杰因果检验滞后阶数零假设检验结果50.00250.0035100.01970.0555150.02360.1824200.04010.1361表2为格兰杰因果检验，零假设分别为：lnGER不是lnUK的格兰杰原因；lnUK不是lnGER的格兰杰原因。格兰杰因果检验时选取不同的滞后阶数，当滞后阶数为5时，lnGER和lnUK互为格兰杰原因，当滞后阶数为10、15、20时，lnGER为lnUK的格兰杰原因，反之则不成立，说明随着滞后阶数的增大，lnUK的滞后项对lnGER的影响越来越不显著。表3协整检验统计量P值检验结果OLS回归残差的ADF检验-2.5537650.0103协整Johansen检验极大特征值检验7.0265730.4860没有协整迹检验8.2029730.4440没有协整表3为传统的协整检验结果。先用EG两步法通过对lnGER和lnUK进行OLS回归，对残差进行单位根检验，得出残差序列是平稳的，说明lnGER和lnUK有协整关系。再对残差进行Johansen检验，得出极大特征值检验和迹检验都接受了没有协整的零假设。Balke,Fomby[2]就指出在存在非线性协整情况下，EG两步法检验比Johansen检验更加准确，这是因为Johansen检验是基于高斯线性向量自回归（VAR）的，故在非线性协整下，Johansen检验会出现偏差，它只能反映系统总体的平均协整水平，而不能检验出可能存在的非线性协整关系。3.2门限协整检验本文将使用Wald检验lnGER和lnUK存在门限协整关系。在协整检验之前，对lnGER和lnUK进行OLS回归，结果如下：（16）其中，括号里为标准差。回归残差序列为{},协整向量(1，-0.39431)。OLS回归的残差序列分布如图1所示。图1OLS回归的残差序列在（16）中通过对残差序列{}进行ADF单位根检验，得到{}是均值为0的平稳过程，由如图1所示的残差分布可以看出，大部分都落在区间(-0.10,0.10)上，根据Andrew[1]的建议，若门限值取得过大，将会使样本过小，导致检验结果发生偏差，故应去掉接近区间(-0.10,0.10)边界15%的样本点。由于UK100指数期货和GER30指数期货存在交易成本，以一个月的价格均值计算，ger30平均价格为7400点，每点价值1.2美元，uk100平均价格为5850点，每点价值1.6美元，两种合约的买卖价差均为3个点，将套利的交易成本换算为对数价格，大约为0.001，因此可将门限的可能取值区间定义为将（0.001,0.0085）分为75个区间，令。先估计零假设下的线性误差修正模型：（17）再对每一对门限值，估计门限误差修正模型：（18）（19）在线性模型下，根据AIC准则和BIC准则以及反复的试验，确定最佳滞后阶数为2阶。线残差方差的估计值。对每一对，估计门限模型下的残差方差，并计算。最后令。本文选取一些有代表性的门限参数，将结果列表如下：表4不同门限参数对应的Wald统计量门限参数0.0060.0050.0040.00350.0030.002/2.138862.138862.138862.138862.138862.13886/2.922732810752.511202.396422.536392.45801-958.003-853.861-529.506-383.907-559.842-463.791-383.907表4给出不同门限参数对应的Wald统计量的结果，由—分布可以看出，随着门限值不断增大，先缓慢减小，到达=0.0035附近时显著增大，然后又继续减小，当=0.0035时，门限模型的残差方差估计值取得最小值2.39642，取最大值-383.907，即==-383.907。本文通过bootstrap实验进行10000次复制模拟，得到10000个零假设下的bootstrap样本，对每个样本计算线性模型的残差方差估计值，得到的bootstrap分布{}。将{}按照从大到小的顺序排序，计算1%、5%、10%分位数下的值，这即为统计量分别在1%，5%，10%显著水平下的拒绝域临界值。表5Sup-Wald检验结果显著性水平拒绝域临界值统计量P-value检验结果1%-284.386-383.9070.042385%显著水平下拒绝原假设，存在门限协整5%-395.20910%-450.493表5给出Sup-Wald检验结果，由计算得到统计量的P值为0.04238，在5%显著水平下拒绝原假设。因此综合以上分析，本文认为存在门限协整。3.3门限参数及协整向量估计在用极大似然方法估计门限参数和协整向量之前，本文先给出和的可能取值区间。的取值区间为，在本文上一步的OLS估计中已经计算出零假设下的的估计值为0.3943和标准差为0.0047，为常数项，令=0，这并不影响我们的估计结果（可以并入ECM模型的常数项中）。假设，95%置信区间下的临界值分别为0.3851和0.4035。的取值区间为。再在区间和上通过格点搜索并结合极大似然估计，找出和的估计值分别为。最后为了检验估计参数的显著性，本文再次进行Wald检验。在新的协整向量下，误差修正项变为，门限参数为。将和代入双门限ECM模型中重新估计，经计算得到=-353.609。使用Bootstrap方法模拟的渐进分布，得到的P值为0.03274，因此拒绝原假设，门限参数的估计值是显著的。值得注意的是，此时并不一定是使得Wald统计量取最大的值，从前在进行门限协整检验时取Wald的最大值即Sup-Wald统计量是因为未知，而此时值已经估计出来了，故并不需要计算Sup-Wald统计量。因此从始至终，本文都是用Wald检验来检验门限协整和门限参数的显著性，但并不用它来估计门限参数。3.4门限VECM模型与套利策略通过计算可得到门限参数和协整向量的估计值，本人探讨的门限向量误差修正模型系数的估计结果如表6所示，为此本文可建立门限VECM模型，并讨论股指期货的跨市场套利策略。表6门限向量误差修正模型系数估计结果0.146407(0.0002)0.985239(0.0000)-0.164355(0.0000)1.271410(0.0000)0.099092(0.0109)0.156530(0.0989)-0.017715(0.4773)0.238816(0.0000)-0.124939(0.0051)-0.136770(0.0000)0.115796(0.0000)-0.185089(0.0000)-0.130170(0.0033)-0.075312(0.1138)-0.005129(0.7594)-0.014218(0.5696)a-0.030100(0.0017)0.017638(0.0195)-0.005846(0.0768)0.001712(0.3702)表6中括号内为相应的t统计量的P值。在体制下，误差修正项的系数是显著的；在体制下，误差修正项的系数不显著。这表明在门限内部的体制下，协整关系不明显，市场不存在套利机会。而在门限外部的体制下，价格短期内有回到均衡的明显趋势，这是由于价格偏差过大时，市场套利交易频繁，价格会在短时间内回复到均衡。在同一体制下，当作为被解释变量时，滞后二期的系数不显著，而作为被解释变量时，滞后二期的系数显著。本文倾向于认为在股指期货市场上，德国法兰克福指数期货（GER30）有引导英国富时指数期货(UK100)的趋势，对于新到来的市场信息，德国市场的投资者比英国市场的投资者更加迅速地把信息反映到市场价格中。因此可制定一种套利策略如下：根据GER30和UK100的长期均衡关系，用GER30的对数价格表示出UK100的对数价格的期望值，当UK100的对数价格偏离该期望值大过=0.0035时（假设该偏离为正），买空被低估的GER30，卖空被高估的UK100，当价格重新回归均衡时，就可以得到无风险收益。将=0.0035转换为UK100的实际价格，无套利区间大约为（-0.002%,0.002%），若以UK100价格等于5800为例，大约为12个指数单位，即无套利区间为（5788,5812），则当价格超过该区间时，就意味着套利机会存在。4结论本文在Balke,Fomby[2]和Hasen[4]提出的门限协整概念的基础上建立了双基于门限向量误差修正模型（BT-VECM）；提出了判断门限协整行为的Sup-Wald检验；使用Bootstrap方法模拟了Wald检验统计量的渐进分布；并用Hasen[4]提出的极大似然估计方法（MLE）和相应的格点搜索法同时估计出了门限参数、协整向量和双门限向量误差修正模型的各参数。本文用门限协整理论验证了英国富时指数期货（UK100）和德国法兰克福指数期货（GER30）的门限协整关系；估计了模型的各个参数，检验了参数的显著性；并给出了在这种门限协整关系下进行跨市场无风险套利的策略。本文的创新之处在于：本文基于门限向量误差修正模型（T-VECM）的Sup-Wald检验克服了传统的基于TAR模型检验的缺点；由于利用极大似然估计方法（MLE）可以同时估计出门限参数和协整向量，从而本文可避免传统方法中用零假设下的协整向量代替门限模型下的协整向量估计值的武断做法；本文跳出了传统的期现套利的思维，而提出了股指期货跨市场套利的思想，股指期货跨市场套利的优点在于，再不用像期现套利那样需要构造现货的资产组合，其套利交易简单可行。本文尚有待进一步论证之处是：虽然Balke,Fomby[2]验证了Sup-Wald检验在TAR模型中的检验效果较好，但是对于本文研究的情况，该Sup-Wald检验应用于T-VECM模型的效果的优劣还有待验证，也没有在理论上给出Wald统计量的分布，而且本文只是将Bootstrap方法当成一种模拟的办法使用，仅得到一种近似的推断；其次本文假设的残差是二元高斯过程，不存在条件异方差性，故对于回归残差存在ARCH效应的情形，模型可能需要进一步更改；再者本文假设的门限变量是关于均值0对称的，中间体制以外的两个体制下的分布是相同的，如果放弃该假设，那么对于门限参数和模型参数出现非对称的情况，该模型可能不再适用；最后本文给出的套利策略只是一种初步的设想，具体的实施涉及到交易成本，头寸大小等各方面的限制，套利的效果还有待进一步验证。参考文献[1]Andrew,D.W.K.andPloberger,W.1994.Optimaltestswhenanuisanceparameterispresentonlyunderthealternative.Econometrica,62:1383-1414[2]Balke,N.S.,andFomby,T.B.(1997),ThresholdCointegration,InternationalEconomicReview,38,627-645.[3]Brenner,R.J.,andKroner,K.F.(1995),Arbitrage,Cointegration,andTestingtheUnbiasednessHypothesisinFinancialMarkets,JournalofFinancialandQuantitativeAnalysis,30,23-42.[4]BruceE.Hansen,ByeongseonSeo,Testingfortwo-regimethresholdcointegrationinvectorerror-correctionmodels,JournalofEconometrics110(2002)293–318[5]Chen,C.W.S.,andLee,J.C.(1995).BayesianInferenceofThresholdAutoregressiveModels[J].JournalofTimeSeriesAnalysis,16,483-492.[6]CatherineS.Forbes,GuyonneR.J.Kalb,PaulKofman(1999),BayesianArbitrageThresholdAnalysis,JournalofBusiness&EconomicStatistics,Vol.17,No.3,pp.364-372[7]Davies,R.B.(1987),Hypothesistestingwhenanuisanceparameterispresentonlyunderthealternative,Biometrika74,33–43.[8]Engle,R.F.andC.Granger(1987),Cointegrationanderrorcorrectionrepresentation,estimation,andtesting,Econometrica,55,251-276.[9]Geweke,J.,andTerui,N.(1993).BayesianThresholdAutoregressiveModelsforNonlinearTimeSeries[J].Journal