2021-2022学年全国版天一大联考高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120。，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在

背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度

为()

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

尤2

2.已知x>0,a=x,b=X———，c=ln(l+x),贝1J()

2

A.c<b<ab<a<cC.c<a<bD.b<c<a

3.设m,n为直线，a、仅为平面，则加_La的一个充分条件可以是(

A.mLnB.a!I/3,mVP

C.aA./3,mlIpD."ua,ml.n

4.已知集合乂=也Iy=l,x>0},N={x|y=lg(2x一二},则MAN为()

A.(1,+<»)B.(1,2)C.[2,+a>)D.[1,+oo)

5.定义运算a㊉用a(a鼠<b)则函数=l㊉2、的图象是<).

6.抛物线f=3ay的准线方程是y=l,则实数。=()

3344

B.-c.D.

4433

7.若广-，则cos2二=(）

sin（二+y）=y

B.D.

2

8.设i为虚数单位，则复数z=「在复平面内对应的点位于(

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能,共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象,为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是()

不看女

D.

71-1

10.已知。=10g3X”=（：）3,C=10gi-,则仇c的大小关系为

24Q5

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>h

11.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处

开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便

领先他10()米，当阿基里斯跑完下一个1()()米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下•个1()米时，乌龟先他1米…•所以,

阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为()

A.您」米105-9

B.米

90090

12.已知数列｛《,｝的通项公式为4=2〃+2,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记/为数阵从左至右的〃列,

从上到下的〃行共n2个数的和，则数列;的前2020项和为（）

a\a2%…an

101120192020

202020202021

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到

抗癌的效果）对人体的作用，现从4只雌蛙和2只雄蛙中任选2只牛蛙进行抽样试验，则选出的2只牛蛙中至少有1只

雄蛙的概率是.

14.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进

入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概

率依次为0.5、0.6、0.4,经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后

恰有一件产品合格的概率为;经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为自，则随机变量J的期望为.

15.已知四棱锥尸一ABC。的底面ABC。是边长为2的正方形，且=90°.若四棱锥尸-ABC。的五个顶点在以4

为半径的同一球面上，当出最长时，则;四棱锥P-A5CZ）的体积为.

16.执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13,则输入的x的值是.

Readx

If启2Then

y-6x

Else

y-x+5

EndIf

Printy

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.f（x）=|x—同一归+2时的最大值为3,其中加＞0.

（1）求，〃的值;

(2)若a,bwR,ab>0>a2+b2>求证：一+—>1

ha

18.(12分)已知六面体ABCOE/如图所示，BE1平面ABC。，BE//AF,AD//BC,BC=l,CD=45,

FM1

AB=AE=AD=2,M是棱RD上的点，且满足——

MD2

(1)求证：直线8E〃平面M4C；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

19.(12分)已知函数/(%)=16-|2%-11

(1)解不等式/(x)«k+2|；

(2)若函数y=/(x)-a存在零点，求”的求值范围.

A—B)A+8

20.(12分)A4BC的内角A,8,C的对边分别为a,仇c,若2sii?----F2COS---------1-2cosAcosB=1

22

(1)求角C的大小

(2)若c、=4,|与+而卜屈，求的周长

21.(12分)如图，在底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱A8CO-44G。中，尸是侧棱Cq上的一点，CP=m.

(I)若加=理，求直线AP与平面8。2A所成角；

3

(2)在线段AG上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数机，都有AQLAP,并证明你的结论.

22.(10分)已知函数/(x)=3,直线y=1x为曲线y=〃x)的切线(e为自然对数的底数).

(1)求实数”的值；

(2)用min{〃4〃}表示人〃中的最小值，设函数g(x)=min>0),若函数

〃(x)=g(x)—u2为增函数，求实数c的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.

【详解】

因为弧长比较短的情况下分成6等分，

所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，

故导线长度约为彳X30=20〃=63(厘米).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.

2.D

【解析】

令/(x)=ln(l+x)—(x—5)，求/'(x),利用导数判断函数为单调递增，从而可得ln(l+x)>x-：,设

g(x)=ln(l+x)—X,利用导数证出g(x)为单调递减函数，从而证出Vx>0,ln(l+x)<x,即可得到答案.

【详解】

…%2

%>()0J9%>X-----

2

(尤2、2

令f(%)=ln(l+x)—x——,求导/r(x)=--------1+x=------

(2)1+x1+x

Vx>0,r(x)>0,故/(X)单调递增：/(x)>/(0)=0

x2

•••ln(l+x)>x——9

当x>(),设g(x)=ln(l+x)-x,

又：g(0)=0,

g(%)=In(1+X)-x<0,即Vx>0,ln(I+x)<x,

,,尤2

故x>ln(l+x)>x--

故选：D

【点睛】

本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.

3.B

【解析】

根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

对于A选项，当。_1_万，,加j_〃时，由于加不在平面夕内，故无法得出

对于B选项，由于a//4，mvp,所以加，。.故B选项正确.

对于C选项，当a，尸，〃z//£时，，"可能含于平面a,故无法得出

对于D选项，当"ua,?n_L〃时，无法得出m_La.

综上所述，〃?_11的一个充分条件是“。//夕，

故选：B

【点睛】

本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.

4.B

【解析】

Z={~|L=2-,Z>(?)={：|Z>/),

口=回口=lg(2E-X)}={口|2口一匚；>0}

={二|二;一2二<0}={二|0<二<2],

.,.二n二=(2,2).

故选B.

5.A

【解析】

由已知新运算。㊉匕的意义就是取得〃中的最小值，

因此函数〃力=1㊉2'=b']<0，

只有选项A中的图象符合要求，故选A.

6.C

【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程，再对照系数求解即可.

【详解】

4

因为准线方程为y=1,所以抛物线方程为Y=_4)，,所以3。=-4,即。.

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.

7.B

【解析】

由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.

【详解】

因为..千由诱导公式得r，所以一

sm—J=ycos_=--cos2_=/cou-

故选B

【点睛】

本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

8.A

【解析】

利用复数的除法运算化简二，求得z对应的坐标，由此判断对应点所在象限.

【详解】

l+••・对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限•

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.

9.D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知，

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

10.D

【解析】

分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定”,Ac的大小关系.

详解：由题意可知：log33<log3<log39,即l<a<2,o<J_j<=],即0<匕<1,

,1,，,7

log1飞=logsb>logs],即c>a,综上可得：c>a>b.本题选择£）选项.

点睛：对于指数塞的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因塞的底数或指数不相同，不

能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数嘉的大小比较时，若底数不同，则首先

考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幕的大小的比较，利用

图象法求解，既快捷，又准确.

11.D

【解析】

、〃一1

是一个等比数列模型，设q=100,=/为1

根据题意,0.1,由40.1=100x,解得〃=4,

10J

再求和.

【详解】

这是一个等比数列模型，设可=100,0=/纥

根据题意,=0.1,

、/7-1

1

所以纥=0.1=100x

解得“=4,

/

（1

1001-

4（1一d）11

所以S,叫10-1

1-Q1-—90

10

故选：D

【点睛】

本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力,属于中档题.

12.D

【解析】

由题意，设每一行的和为q,可得。=6+《+1+...+4+1="（〃+2，+1）,继而可求解

,n1

d=G+6+…+%=2〃-（〃+1）,表示厂而访，裂项相消即可求解♦

【详解】

由题意，设每一行的和为q

故3=4+am+...+可+i=+；+"‘n=+2i+1)

2

因此：hn=c,+c2+...+%=m(〃+3)+(〃+5)+.・.+(/?+2〃+l)]=2/?(n+l)

4=1

bn2〃(〃+l)2n〃+l

5111111、1「1、1010

故S)o2()=—Z1(1----1---------F…H----------------)=—(1--------)=------

2020222320202021220212021

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.之

5

【解析】

记4只雌蛙分别为a/,Gd,2只雄蛙分别为48,从中任选2只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为

(«,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,c),(b,d),(b,A),(b,8),(c,d),(c,A),(c,A),(d,8),(A,8),共15个,选出

的2只牛蛙中至少有1只雄蛙包含的基本事件为("，4),(。,3),(a4),3,3),(C,4),93),3,4),3,为，(4,8),共9个，故选

93

出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是尸=福=W.

14.0.380.9

【解析】

考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量自的可能取值为0,1,2,3,计算得到概率，再计算数学期望得到

答案.

【详解】

第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：

p=0.5x(l-0.6)x(l-0.4)+(l-0.5)x0.6x(l-0.4)+(l-0.5)x(l-0.6)x0.4=0.38.

甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：

/?1=0.5x0.6=0.3,p3—0.6x0.5—0.3,p3—0.4x0.75=0.3.

故随机变量4的可能取值为0,1,2,3,

故〃("0)=(1-0.3)3=蒜；〃("l)=C；03(l-0.3)2=蒜;

27

〃(4=2)=C；0.32.(l-0.3)=-；p(J=3)=0.3,=

’108090')1000

18927

故E(4)=理XO+—+-^x2+^—x3=0.9.

1000100010001000

故答案为：0.38；0.9.

【点睛】

本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

8J14

15.90°

3

【解析】

易得ABL平面R4O,尸点在与BA垂直的圆面。।内运动，显然，融是圆。|的直径时，弘最长；将四棱锥P-ABCD

补形为长方体AgCf-ABCO,易得尸3为球的直径即可得到尸。，从而求得四棱锥的体积.

【详解】

如图，由NPAB=90°及他，AD,得平面fiW,

即P点在与BA垂直的圆面。|内运动，

易知，当尸、。一A三点共线时，达到最长，

此时，物是圆。1的直径，贝！|NPZM=9O°;

又/W_LFr),所以平面A8C£>,

此时可将四棱锥P-ABCD补形为长方体AB£P-ABCD,

其体对角线为m=2R=8,底面边长为2的正方形，

易求出，高P£)=2j五，

故四棱锥体积V=,x4x2收=当叵.

33

故答案为：(1)90。；(2)MI.

3

【点睛】

本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.

16.8

【解析】

根据伪代码逆向运算求得结果.

【详解】

输入y=13,若y=6x,则％=一>2,不合题意

6

若y=x+5,贝Ux=13—5=8,满足题意

本题正确结果：8

【点睛】

本题考查算法中的〃■语言，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)m=\(2)见解析

【解析】

(1)分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；(2)将所证不等式转化为4-24^1,再构造

ah

函数利用导数判断单调性求出最小值可证.

【详解】

(1)Vm>0,

-3m,x>m

•••/(x)=\x~同一(+2向=<-2x-m,-2m<x<m.

3m,x<-2m

，当x<—2m时，f(x)取得最大值3m.

.*•m=1.

(2)由(I),得/+〃=],

/产/+/(/+/);2八2

—­2ab

baababab

a2+b2=l>2ab,当且仅当a=b时等号成立,

»'•0<ab<一.

2

则力«)在］o,；上单调递减・・・・力”)2〃［；)=1.

・••当0<次?<,时，—-2ab>1.

2ab

./J

••------1------N1・

ba

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题.本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中

解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答

问题的能力，以及转化思想的应用.

18.(1)证明见解析(2)Y巫

18

【解析】

(1)连接80,设B/)cAC=O,连接MO.通过证明MO//互，证得直线3E〃平面M4C.

(2)建立空间直角坐标系，利用平面M4C和平面的法向量，计算出二面角A-MC-。的正弦值.

【详解】

(1)连接3。，设班)cAC=O,连接MO,

因为A3〃8C,所以所以受=丝=2

OBBC1

*»EdMQ2DO

在AEBO中'因为而=T~OB

所以MO//BF,且MOu平面M4C,

故3尸〃平面MAC.

(2)因为/ir)〃3C,AB=2,BC=\,AD=2,CD=y/5,所以

因为BE“AF,跖1平面ABC。，所以A/L平面ABC。，

所以AF_LAB,AFYAD,

取A3所在直线为x轴，取AD所在直线为)'轴，取A/所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由已知可得3(2,0,0),C(2,l,0),0(0,2,0),£(2,0,3),F(0,0,2)

一FM1

所以。尸=(0,-2,2)，因为诉=彳,

MD2

所以丽=|砺=(o,_g,q),

所以点M的坐标为(0,|,g),

所以恁=(2,1,0),0,|,^,设浣=(x,y,z)为平面MAC的法向量,

mAM=0]2x+y=0

=><24令x=1,解得y--2,z=1,

m-AC-0—y+—z-0

133

所以而=(1,-2,1)，即正=(1,一2,1)为平面MAC的一个法向量.

丽'=卜2m,CD=(-2,1,0)

同理可求得平面MCD的一个法向量为n=(1,2,2)

一一1-4+21

所以cosg〃〉=W"乖

所以二面角A—。的正弦值为X迎

18

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

17,

19.(1)—■或犬35}；(2)a<16.

【解析】

(D通过讨论x的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集;

(2)将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果.

【详解】

(1)有题不等式可化为|x+2|+|2x—l|N16,

17

当xW-2时，原不等式可化为一%-2—2X+1N16,解得xW-一；

3

当—时，原不等式可化为x+2—2x+l216,解得xW—13,不满足，舍去;

2

当时，原不等式可化为X+2+2X—1N16,解得了25,

2

所以不等式的解集为-,或XN5卜

17-2x,x>-

2

(2)因为/(x)=<

।一1'

15+2x,x<一

2

所以若函数y=f(x)-a存在零点则可转化为函数y=/(%)与)'="的图像存在交点,

函数.f(x)在(-8,g］上单调增，在g,+00)上单调递减，且/(g)=16.

数形结合可知16.

【点睛】

该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的

问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.

20.(1)C=60°(2)11

【解析】

(1)利用二倍角公式将式子化简成1—cos(A—3)+1+cos(A+8)+2cosAcosB,再利用两角和与差的余弦公式即

可求解.

(2)利用余弦定理可得°2=+/一R,=16,再将|画+而卜屈平方，利用向量数量积可得〃+/=38,

从而可求周长.

【详解】

A—B-An

(1)由题2sii?-----4-2cos-----+2cosAcosZ?

22

=l-cos(A-3)+l+cos(A+3)+2cosACOSJB

=2+2cos(A+3)=2—2cosC=1

解得cosC=1,所以C=60°

2

(2)由余弦定理，/=/—Q。=16,

再由|巨+赤(=a2+b2+ah=38

解得：a2+b2=2J,ab=\\

所以(a+8)2=49,a+b=7

故AABC的周长为11

【点睛】

本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式，属于基础题.

TT

21.(1)y；(2)存在，。为线段4G中点

【解析】

解法一:(1)作出平面APC与平面BDD.B,的交线0M，可证AO_L平面BDD由，计算0M,A0,得出tanZAMO,

从而得出NAMO的大小；(2)证明用2平面ACG4，故而可得当。为线段4G的中点时AQLAP.

解法二，以。为原点，以为x,y,z建立空间直角坐标系:

用空间向量的数量积可求线面角；(2)设4G上存在一定点Q,设此点的横坐标为x,可得。(x,l-x,2),由向量垂

直，数量积等于零即可求解.

【详解】

(1)解法一：连接AC交80于。，

设AP与平面BDD国的公共点为M,连接,

则平面APCD平面BDD.B,=0M,

•••四边形ABC。是正方形，.•.AC_L3O,

BBt±平面ABCD,ACu平面ABCD,

：.ACLBB],又BB]CBD=B,

■.AC工平面BDRB],

•••ZAMO为直线AP与平面BDD}B}所成角，

CP//平面BDDiB,,CPu平面APC,平面APCD平面BDD}=OM,

：.CP//OM,又。为AC的中点，

.-.OM=-PC=—,AO=-AC=—，

2622

Ai—rr

：.tanZAMO^—^=y/3,:.ZAMO=-,

OM3

yr

直线AP与平面BDD]B]所成角为1.

（2）••・四边形A4GA正方形，

4G-LBQ,

A41J"平面A]8|C[。，BQ]u平面ABC。，

•••M又4GnM=4,

平面AGC4,又APu平面AGC4,

BR±AP,

当。为线段AG中点时，对于任意的实数加，都有AQ_LAP.

解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(l,O,O),B(U,O),P(O,l,m),

C(0,l,0),£>(0,0,0),B,(l,l,l),C|(0,0,2),

所以80=(-1,-1,0),BB}=(0,0,2),AP=(-l,l,m),AC=(-1,1,0)

又由而•丽=0,恁•西=0,则前为平面的一个法向量，

设直线AP与平面BDD,片所成角为出

(兀\\AP-AC\J3

则sing=cos|--0卜iU=j-[=q=T~2,^―>

【2)|AP|-|AC|V2J2+W22

故当〃?=逅时，直线4P与平面B。。中所成角为£.

33

(2)若在4G上存在一定点Q,设此点的横坐标为X,

则。(x,l-x,2),灰=(x,l-x,0),

依题意，对于任意的实数〃?要使AQLAP,

等价于丽，丽。丽•丽=0,

即-x+1-x=0,解得x=L

2

即当。为线段AG中点时，对于任意的实数机，都有AQLAP.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算，考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.

22.（1）。=玉）=1；(2)

【解析】

试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于，求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得。=%0=1

e

.（X----,0<x<x0

⑵设“X）与X」交点的横坐标为M，利用导数求得g（x）=min〃x）,x——}={A'，从而

—,^>X0

X------CX,0<X<X/

YnUI1

Mx)=g(x)—C?={2，然后利用〃'(x)20求得C的取值范围为—8,一不

x-)\ze

~~cx,x>x0

试题解析:

2xex-x2Texx(2-x)

对求导得・

(1)/(x)r(x)=a-

设直线y=L与曲线y=/（x）切于点P（%,