七年级数学上册专题02 有理数的运算-【一题三变系列】2022-2023学年七年级数学上册重要考点题型精讲精练(人教版)(解析版)

/专题02有理数的运算【思维导图】◎题型1：有理数的加法（1）定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．（2）法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3）一个数同0相加，仍得这个数．备注：利用法则进行加法运算的步骤：①判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．②确定和的符号(是“+”还是“－”)．③求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．（3）有理数加法的运算律1）加法交换律：a+b=b+a2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)例．（2022·江苏南京·二模）计算的结果是（

）A．1 B．－1 C．5 D．－5【答案】A【解析】【分析】根据有理数的加减运算法则以及绝对值定义求解即可．【详解】解：；故选A．【点睛】本题考查了有理数的加减以及绝对值，熟练掌握运算法则以及绝对值定义是解题关键．变式1．（2022·河北唐山·七年级期末）如图在数轴上有M、N两点，则两点表示的数字之和不可能（

）A．2 B．－4 C．－3.45 D．－7【答案】A【解析】【分析】由图可知M在原点的右边，则M大于0，N在原点的右边，则N小于0，且M的绝对值小于N的绝对值，由此可知两个点表示的数字和应为负数，选出不可能的选项即可．【详解】解：由图可知M在原点的右边，则M大于0，N在原点的右边，则N小于0，且M的绝对值小于N的绝对值，∴两个点表示的数字和应为负数，故选A．【点睛】本题考查有理数的加法运算，数轴上点的特征，以及绝对值的概念，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．变式2．（2022·重庆实验外国语学校七年级期末）为了欢庆2022年春节，汪老师购买了一条18米长的彩带来装饰房间，用剪刀剪了a次，把彩带剪成了一段5米长、一段7米长和若干段相同长度（长度为整数）的彩带，则a的所有可能取值的和为（

）A．11 B．12 C．14 D．16【答案】C【解析】【分析】根据题意得：剪两段剩余的彩带长度为米，再由剩余的若干段相同长度（长度为整数）的彩带，可得剩余的彩带可以剪5次、2次、1次，从而得到a的所有可能取值为7次、4次、3次，即可求解．【详解】解：根据题意得：剪两段剩余的彩带长度为米，∵剩余的若干段相同长度（长度为整数）的彩带，∴剩余的彩带可以剪5次、2次、1次，∴a的所有可能取值为7次、4次、3次，∴a的所有可能取值的和为．故选：C【点睛】本题主要考查了有理数加减的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．变式3．（2019·全国·七年级课时练习）下列各式中正确使用了加法运算律的是()A．(＋5)＋(－7)＋(－5)＝(＋5)＋(－5)＋(－7)B．＋＝＋C．(－1)＋(－2)＋(＋3)＝(－3)＋(＋l)＋(－2)D．(－1.5)＋(＋2.5)＝(－2.5)＋(＋1.5)【答案】A【解析】【分析】根据加法的交换律和结合律逐项判断即得答案．【详解】解：A、(＋5)＋(－7)＋(－5)＝(＋5)＋(－5)＋(－7)，正确运用了加法运算律，故本选项符合题意；B、＋＝＋，交换加数的位置时，改变了加数的符号，故本选项不符合题意；C、(－1)＋(－2)＋(＋3)＝(－3)＋(＋l)＋(－2)，交换加数的位置时，改变了加数的符号，故本选项不符合题意；D、(－1.5)＋(＋2.5)＝(－2.5)＋(＋1.5)，交换加数的位置时，改变了加数的符号，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了加法的运算律，加法的交换律是：，结合律是：，熟练掌握基础知识是关键．◎题型2：有理数的减法（1）定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．备注：1）任意两个数都可以进行减法运算．2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．（2）法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：例．（2022·浙江杭州·九年级期末）计算结果等于2022的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据有理数的加减运算及乘方，负整数指数幂分别计算各个选项，再判断即可．【详解】A.，符合题意；B.，不符合题意；C.，不符合题意；D.，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了有理数的加减运算及乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．变式1.（2020·河南·开封市第二十七中学七年级期中）点A距原点2个单位，将点A向左移4个单位长度到B，点B表示的数是（

）A．－2 B．－6 C．2或－6 D．－2或－6【答案】D【解析】【分析】分①点在原点的左侧，②点在原点的右侧两种情况，先根据数轴的性质列出式子，再计算有理数的减法即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①当点在原点的左侧时，则点表示的数是，因为将点向左移4个单位长度到，所以点表示的数是；②当点在原点的右侧时，则点表示的数是2，因为将点向左移4个单位长度到，所以点表示的数是；综上，点表示的数是或，故选：D．【点睛】本题考查了数轴、有理数减法的应用，正确分两种情况讨论是解题关键．变式2．（2022·河南平顶山·七年级期末）下列各式计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的性质、有理数减法法则、有理数除法法则、有理数乘方法则依次计算并判断．【详解】解：A、，故不符合题意；B、（-3）-2=-5，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了有理数的计算，正确掌握绝对值的性质、有理数减法法则、有理数除法法则、有理数乘方法则是解题的关键．变式3．（2021·广西北海·七年级期中）式子＋……＋2019－2020＋2021的结果不可能是（

）A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数【答案】C【解析】【分析】原式两个一组结合后，相加即可得到结果．【详解】解：原式＝因为不是偶数故选：【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．◎题型3：有理数的乘法（1）.有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；②任何数同0相乘，都得0．备注：①不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．②当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．（2）有理数的乘法运算律：①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．备注：①在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．②乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．③运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．例．（2022·山东泰安·中考真题）计算的结果是（

）A．-3 B．3 C．-12 D．12【答案】B【解析】【分析】直接计算即可得到答案．【详解】==3故选：B．【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的知识．变式1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列计算结果是负数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】先根据有理数运算法则计算出结果，比较大小，从中找出小于0的选项即可．【详解】解：A.=2＞0，故选项A不符合题意；

B.=-8＜0，故选项B符合题意；C.=0，故选项C不符合题意；

D.=2＞0，故选项D不符合题意．故选B．【点睛】本题考查绝对值，乘法，多个有理数的乘法，化简多重符号，比较大小，掌握绝对值，乘法，多个有理数的乘法，化简多重符号是解题关键．变式2．（2021·安徽宿州·七年级期末）某客运列车行驶于北京、宿州、上海这个城市之间，火车站应准备（

）种不同的车票．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】任意一个站都与其它另外2个站各准备一张往返票，这3个站点共准备2×3=6种不同的车票．【详解】解：（3-1）×3=2×3=6（种）答：应准备6种不同的车票．故选：C．【点睛】本题考查了有理数乘法的实际应用，如果站点比较少可以用枚举法解答，如果站点比较多可以用公式：票的种类=n（n-1）解答．变式3．（2021·全国·七年级专题练习）一部手机原价2400元，先提价，再降价出售．现价和原价相比，结论是（

）A．现价高 B．原价高 C．价格相同 D．无法比较【答案】B【解析】【分析】通过分步求现价，先求提价后的价格为2400，在这个基础上再降价到即现价，再与原价比交即可．【详解】2400=2400+300=2700（元）,2700=2700-337.5=2362.5（元）,2400>2362.5．故选择：B．【点睛】本题考查手机原价与现价问题，关键是掌握现价=原价×百分比，而百分比=先提与后降的积，为此本题可以不计算出价格，只计算百分比即可解决问题．◎题型4：有理数的除法有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.备注：①一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．②因为0没有倒数，所以0不能当除数．③法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．例．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，从而即可得出答案．【详解】解：A.，选项错误，不符合题意；B.，选项错误，不符合题意；C.，选项错误，不符合题意；D.，选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，考查学生的计算能力．变式1．（2021·上海·青教院附中期中）下列各数中，既能被2整除又能被5整除的是（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【解析】【分析】个位是0的数既能被2整除又能被5整除，依此即可求解．【详解】解：20既能被2整除又能被5整除．故选：C．【点睛】考查了整数和整除的意义，解题的关键是熟练掌握2和5的倍数特征．变式2．（2021·山东泰安·期中）计算的结果是（

）A．－18 B．2 C．18 D．－2【答案】C【解析】【分析】先把除法变成乘法，再计算出结果即可．【详解】解：（−6）÷（−）＝6×3＝18，故选：C．【点睛】此题考查了有理数除法的运算能力，关键是能按照法则先把除法变成乘法，再确定结果符号和绝对值即可．变式3．（2022·福建三明·七年级期末）“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法，“甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸”被称为“十天干”，“子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戊，亥”被称为“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，其相配顺序为：甲子，乙⋯癸酉，甲戊，乙亥，…，癸亥；甲子…，这样60年一个循环，周而复始，此为干支纪年法．十三届全国人大四次会议审查的《国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要（草案）》提出，展望2035年，中国将基本实现社会主义现代化．已知1901年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2035年是“干支纪年法”中的（）A．甲寅年 B．乙卯年 C．丙辰年 D．丁巳年【答案】B【解析】【分析】由题意可得，“天干”是以10为公差的等差数列，“地支”是以12为公差的等差数列，再从1901年往后推134年为2035年，根据134除以公差求余数的方法，推出2035年是“干支纪年法”中的乙卯年【详解】由题意可得，“天干”是以10为公差的等差数列，“地支”是以12为公差的等差数列，从1901年往后推134年为2035年，∵，所以“天干”中从辛往后数4个为乙∵，所以“地支”中从丑往后数2个为卯所以2035年是“干支纪年法”中的乙卯年故选：B【点睛】本题考查了简单的合情推理，有理数除法以及找规律，找清楚其中隐含的规律是解题关键◎题型5：倒数乘积是1的两个数互为倒数．备注：①“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；②0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．例．（2022·全国·七年级）-3的倒数为（

）A． B． C．-3 D．3【答案】A【解析】【分析】直接利用倒数的定义得出答案．【详解】解：的倒数是．故选：A【点睛】本题考查了倒数．倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，注意：零没有倒数．解题的关键是掌握倒数的定义．变式1．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如果一个负数大于它的倒数，那么，这个负数是（

）A．真负分数 B．分数 C．整数 D．假分数【答案】A【解析】【分析】设这个负数为a，则a＜0，且，可得，即可求解．【详解】解：设这个负数为a，则a＜0，且，∴，解得：，∴这个负数是真负分数．故选：A【点睛】本题主要考查了倒数，解不等式，根据题意得到是解题的关键．变式2．（2022·山东·日照市新营中学三模）若，则x的倒数等于（

）A． B． C．3 D．-3【答案】D【解析】【分析】先解一元一次方程，求出，再求出的倒数即可．【详解】解：，移项得，，∵，∴的倒数-3，即x的倒数等于-3，故选：D．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义：两个数的乘积等于1，这两个数互为倒数是解答本题的关键．变式3．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）下列各数中，2022的倒数是（

）A． B．－2022 C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用倒数的定义得出答案．【详解】解：2020的倒数是：．故选：A．【点睛】此题主要考查了倒数，解题的关键是正确掌握倒数的定义进行求解，及互为倒数的两个数的积为1．◎题型6：有理数的乘方（1）乘方的概念求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。（2）乘方的性质负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。正数的任何次幂都是正数，00。例．（2021·辽宁大连·七年级期末）表示的意义是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据乘方的定义即可得出正确选项．【详解】解：代表3个相乘，即为，故选：A．【点睛】本题考查乘方的概念理解．一般地，几个相同的因数相乘，记作．变式1．（2020·广西·南丹县八圩瑶族乡初级中学七年级阶段练习）对乘积记法正确的是(

)A．-34 B．(-3)4 C．-(+3)4 D．-(-3)4【答案】B【解析】【分析】根据乘方的意义，可知四个(-3)相乘，可记为．【详解】．故选：B．【点睛】本题考查有理数乘方的意义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方．变式2．（2021·北京师范大学亚太实验学校七年级期中）若，则的值为（

）A．5 B．1 C．1 D．5【答案】B【解析】【分析】根据绝对值以及偶次方的非负性求出的值即可得出结果．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及偶次方的非负性，有理数加法，根据题意得出的值是解本题的关键．变式3．（2022·云南大理·一模）计算3的正整数次幂：，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是（

）A．1 B．3 C．7 D．9【答案】D【解析】【分析】根据3的正整数次幂：变化规律进而得出第20122个数与第二个数尾数相同，求出即可．【详解】解：，，，，，，，，，它们的尾数依次为；3，9，7，1循环，，第2013个数与第二个数尾数相同，的个位数字为9．故选：D．【点睛】此题主要考查了尾数特征，解题的关键是得出数字变化规律，利用规律求解．◎题型7：科学计数法10a×10n（其中1≥a≥10n例．（2022·广西·贺州市平桂区教育科学研究所七年级期中）下列各数用科学记数法表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法依次判断即可，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：A.，故此选项错误；B.，故此选项错误；Ｃ.，故此选项正确；D.，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．变式1．（2022年湖南省永州市中考数学真题）水州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏7791000头，同比增长29.33%，成为湖南省生猪产业发展高地和标杆、将数7791000用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a、n的值即可．【详解】解：由题意知：7791000=，故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．变式2．（2022·福建泉州·二模）据央视军事报道，临近春节，神舟十三号航天员乘组从400km外的太空向全国人民发来祝福，则400km用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：400km=400000m＝4×105m，故选：A．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．变式3．（2022·福建三明·二模）中华民族的母亲河黄河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积约为750000千米2．将750000用科学记数法表示为(

)A．75×104 B．7.5×104 C．75×105 D．7.5×105【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将750000用科学记数法表示为：7.5×105．故选：D．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．◎题型8：新定义题型正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.例．（2021·天津市北仓第二中学七年级期中）观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（

）A．0 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可．【详解】解：∵x=2＞0，∴2x-1=2×2-1=3．故选：B．【点睛】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，选择合适的程序是解题的关键．变式1．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）如图是一个数值转换机，例如输入a＝5，第一步52＝25，第二步25﹣4×5＝5，第三步5×（﹣3），输出结果为﹣15．若输入a＝﹣5，则输出结果应为（

）A．15 B．135 C．-135 D．15【答案】C【解析】【分析】把a的值代入计算程序中计算即可得到结果．【详解】解：输入a＝﹣5，第一步（﹣5）2＝25，第二步25﹣4×（﹣5）＝45，第三步45×（﹣3）＝﹣135，∴输出结果为﹣135．故选：C．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式2．（2022·全国·七年级单元测试）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为15，则第1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，第2021次输出的结果为（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A【解析】【分析】首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次输出的结果各是多少，总结出规律，然后判断出第2021次输出的结果为多少即可．【详解】第1次输出的结果为：15+3＝18，第2次输出的结果为：×18＝9，第3次输出的结果为：9+3＝12，第4次输出的结果为：×12＝6，第5次输出的结果为：×6＝3，第6次输出的结果为：3+3＝6，第7次输出的结果为：×6＝3，第8次输出的结果为：3+3＝6，第9次输出的结果为：×6＝3，…，从第4次开始，以6，3依次循环，并且第n次(n＞3)时，如果n-3为偶数，则输出结果为3，如果n-3为奇数，则输出结果为6，∵（2021﹣3）÷2＝2018÷2＝1009，∴第2021次输出的结果为3．故选：A．【点睛】此题考查了程序图的规律问题，解题的关键是正确分析题目中程序的运算规律．变式3．（2022·重庆市渝北区实验中学校九年级期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为25的是（）A．x＝7，y＝2 B．x＝6，y＝﹣1 C．x＝﹣2，y＝6 D．x＝4，y＝1【答案】A【解析】【分析】将各项中的x与y代入运算程序中计算即可．【详解】解：当x=7，y=2时，（x-y）2=（7-2）2=25，当x=6，y=-1时，（x-y）2=（6+1）2=49，当x=-2，y=6时，（x+y）2=（-2+6）2=16，当x=