专题06函数的单调性与最值(原卷版)

专题06函数的单调性与最值№专题06函数的单调性与最值№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题06函数的单调性与最值命题解读命题预测复习建议函数的单调性是函数的一个重要性质，在历年的高考中，单调性都有考察，这部分往往与导数去相联系，单纯的用定义证明函数单调性的题目几乎没有。对于最值问题往往与函数单调性相联系，在闭区间上的最值是出现最多的，而在导数极值最值那部分考察的比较多。预计2024年的高考函数的单调性出题还是以选择或者填空为主，主要是单调性的应用，应用单调性解不等式，判断大小，求解闭区间上的最值等问题。集合复习策略：1.理解函数单调性的定义；2.掌握函数单调性的应用；3.会利用函数的单调性求参数的范围。→➊考点精析←一.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．二.函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．三.复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．四.函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔f(x)在D上是增函数；eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2)),x1－x2)<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)，减区间为(－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a))．(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”五.常用结论1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反；(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．→➋真题精讲←1.（2023新高考Ⅰ卷·4）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B.C. D.2.（2023新高考Ⅱ卷·6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（）．A. B.e C. D.3.（2023新高考Ⅰ卷·15）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．4.（2023全国理科乙卷·6）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（）A. B. C. D.5.（全国理科乙卷·11）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.6.（2023全国文科乙卷·8）函数存在3个零点，则的取值范围是（）A B. C. D.7.（2023全国文科乙卷·10）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（）A. B. C. D.8.（2023新高考Ⅰ卷）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．9.（2023全国理科甲卷）已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围．10.（2023全国文科甲卷）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．→➌模拟精练←1．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏·统考二模）设，，，则（

）A． B．C． D．3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数．设s为正数，则在中（

）A．不可能同时大于其它两个 B．可能同时小于其它两个C．三者不可能同时相等 D．至少有一个小于6．（2023·江苏·统考二模）已知函数，则（

）A．是偶函数，也是周期函数 B．的最大值为C．的图像关于直线对称 D．在上单调递增7．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．B．的最大值是C．在上单调递增D．若函数在区间上恰有个极大值点，则的取值范围为8．（2023·广东·统考一模）已知函数.(1)求的极值；(2)当时，，求实数的取值范围.9.（2023·广东深圳·统考一模）已知函数，其中且．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数；(3)若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围．10．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围．→➍专题训练←1．（2023·安徽黄山·统考三模）定义在上的奇函数，满足对且，都有成立，则当不等式成立时，的最小值为________.2．（2023·河南·校联考三模）已知函数，若，则的取值范围是__________.3．（2023·河南·校联考三模）已知函数.若.则的取值范围是__________.4．（2023·全国·校联考三模）已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知函数，