平面上的距离（十二大题型）（原卷版）

1．5平面上的距离课程标准学习目标（1）能用坐标法、向量方法推导平面上两点间距离公式，体会向量法和几何法各自的特点，发展逻辑推理、数学运算素养．（2）能用两点间距离公式解决问题，能通过具体例子解释用两点间距离公式解决问题的基本步骤，发展数学运算素养．（1）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行直线间的距离公式并会应用.（2）会用坐标法证明简单的平面几何问题．知识点一：中点坐标公式若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式．【即学即练1】已知点，，则线段中点的坐标为.知识点二：两点间的距离公式两点间的距离公式为．知识点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．【即学即练2】已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．知识点三：点到直线的距离公式点到直线的距离为．知识点诠释：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．【即学即练3】已知到直线的距离等于3，则a的值为（

）A． B．或 C．或 D．知识点四：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．知识点诠释：（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．【即学即练4】若两条平行直线与之间的距离是，则．题型一：中点公式例1．（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为.例2．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为.例3．（2023·北京西城·高二统考期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为.变式1．（2023·江苏连云港·高二期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是．变式2．（2023·江苏·高二海安高级中学校考开学考试）直线l被两条直线l1：4x+y+3＝0和l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的线段的中点为P（﹣1，2），则直线l的斜率为.变式3．（2023·江苏南通·高二统考期中）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为.【方法技巧与总结】两点、，且线段的中点坐标为，则，题型二：两点距离公式例4．（2023·全国·高二专题练习）已知两点，，则（

）A．3 B．5 C．9 D．25例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（

）A． B． C． D．例6．（2023·全国·高二课堂例题）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（

）A． B． C．或 D．1或变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，则A，B两点的距离为（

）A．25 B．5C．4 D．变式5．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考开学考试）已知函数与的图像相交于，两点，则，两点间的距离为（

）A．7 B． C．5 D．1变式6．（2023·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】计算两点间距离的方法（1）对于任意两点两点间的距离公式为．（2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．题型三：由顶点判断三角形的形状例7．（2023·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是例8．（2023·高二课时练习）以为顶点的的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形例9．（多选题）（2023·高二单元测试）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（

）A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则变式7．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【方法技巧与总结】利用两点间距离公式求出三角形的各边长，然后再判断．题型四：由两点距离公式求最值例10．（2023·全国·高二课堂例题）的最小值为．例11．（2023·甘肃嘉峪关·高二校考期中）函数的最小值是.例12．（2023·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中），其中，，则二元函数的最小值为变式8．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值为．变式9．（2023·全国·高二专题练习）函数的最小值为.变式10．（2023·黑龙江鸡西·高二校考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为．变式11．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考阶段练习）已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为．变式12．（2023·山东聊城·高二聊城二中校考阶段练习）已知实数a，b满足，则的最小值为.题型五：点线距离公式例13．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知平面上点和直线，点P到直线l的距离为d，则.例14．（2023·高二课时练习）已知满足，则的最小值为例15．（2023·高二课时练习）已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为．变式13．（2023·全国·高二专题练习）点到直线的距离为．变式14．（2023·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为.变式15．（2023·全国·高三专题练习）点到直线的距离为.【方法技巧与总结】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．（2）点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．（3）直线方程中，或公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解．题型六：面积问题例16．（2023·浙江台州·高一温岭中学校考期末）已知在平面直角坐标系中，三个顶点坐标为(1)求直线方程；(2)求的面积.例17．（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）已知的顶点，AB边上的高所在直线为，D为AC中点，且BD所在直线的方程为．(1)求点B的坐标；(2)求的面积．例18．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知平行四边形的三个顶点坐标为、、.(1)求所在的直线方程；(2)求平行四边形的面积.变式16．（2023·江苏·高二假期作业）以，，为顶点的三角形的面积等于（

）A．1 B． C． D．2变式17．（2023·高二单元测试）已知直线和点，在直线上求一点，使过、的直线与以及轴在第一象限内所围成的三角形的面积最小，则坐标为（

）A． B． C． D．变式18．（2023·高一课时练习）已知点，则的面积等于()A． B． C． D．变式19．（2023·山东菏泽·高二校考阶段练习）的三个顶点分别为，如果直线将分割成面积相等的两部分，则实数的值等于（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论．题型七：由点线距离求参数例19．（2023·高二单元测试）已知直线过点，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和例20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例21．（2023·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）过点引直线，使，，两点到直线的距离相等，则直线方程是（

）A． B．C．或 D．或变式20．（2023·全国·高三专题练习）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（

）A． B． C． D．变式21．（2023·河南焦作·高二统考开学考试）已知直线，点和到直线l的距离分别为且，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或变式22．（2023·广东广州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（

）A．5或15 B．5或15C．5或15 D．5或15变式23．（2023·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）若点和点到直线的距离相等，则（

）A． B． C．或 D．或题型八：点关于直线对称例22．（2023·全国·高二专题练习）已知点A（a+2，b+2）和B（ba，b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=1，b=2 B．a=4，b=2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2例23．（2023·四川遂宁·高二统考期末）已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（

）A． B．C． D．例24．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，，，一束光线从点出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点上．则点D的坐标为（

）A． B． C． D．变式24．（2023·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程长为（

）A． B． C． D．变式25．（2023·全国·高二专题练习）点关于直线的对称点Q的坐标为（

）．A． B． C． D．变式26．（2023·全国·高二专题练习）已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的斜率为（

）A． B． C．4 D．变式27．（2023·全国·高二专题练习）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（

）A． B． C． D．变式28．（2023·四川达州·高二达州中学校考阶段练习）一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】求点关于直线对称的点方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为，两个条件建立方程组解得点方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得题型九：直线关于直线对称例25．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则（

）A． B． C． D．例26．（2023·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为．例27．（2023·全国·高二专题练习）直线关于直线对称的直线方程是.变式29．（2023·广东梅州·高二校联考阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为.变式30．（2023·高二课时练习）如果直线l与直线关于y轴对称，那么直线l的方程是．变式31．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）若直线与关于直线对称，则实数a=.变式32．（2023·辽宁沈阳·高二沈阳市回民中学校考阶段练习）若直线与直线关于轴对称，则.变式33．（2023·全国·高三专题练习）直线关于直线对称的直线方程是.【方法技巧与总结】求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程．题型十：平行线间距离公式例28．（2023·全国·高二课堂例题）两平行直线，之间的距离为．例29．（2023·福建宁德·高二统考期中）若直线与平行，则与间的距离是．例30．（2023·高二课时练习）直线与，之间的距离相等，则直线的方程是．变式34．（2023·高二课时练习）已知，则与之间的距离为．变式35．（2023·高二课时练习）若直线与直线的距离为，则实数的值为．变式36．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l到两条平行直线与的距离相等，则直线l的方程为．【方法技巧与总结】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线，且时，；当直线且时，．但必须注意两直线方程中的系数对应相等．题型十一：直线关于点对称例31．（2023·高二课时练习）直线关于点对称的直线的方程为．例32．（2023·高二单元测试）直线关于点的对称直线方程是．例33．（2023·河北廊坊·高三校考阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为.变式37．（2023·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）与直线关于点对称的直线方程是.变式38．（2023·高二课时练习）直线关于点对称的直线的方程是．变式39．（2023·上海闵行·高二校考阶段练习）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为．变式40．（2023·全国·高二专题练习）直线关于点对称的直线方程为．【方法技巧与总结】求直线l关于点中心对称的直线求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．题型十二：将军饮马问题例34．（2023·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（

）A． B． C． D．例35．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（

）A．2 B．3 C．4 D．5例36．（2023·全国·高二专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．变式41．（2023·全国·高一专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）．A．5 B． C．45 D．变式42．（2023·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）已知点在直线上，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式43．（2023·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（

）A． B． C． D．变式44．（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点的三等分点，过点作的平行线.(1)求直线的方程；(2)已知两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标.变式45．（2023·辽宁沈阳·高二校联考阶段练习）已知平面上两点和，在直线上求一点M．(1)使最大值；(2)使最小．变式46．（2023·全国·高二专题练习）已知点，直线．(1)在上求一点，使的值最小；(2)在上求一点，使的值最大．变式47．（2023·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，直线.(1)在直线上找一点使得最小，并求这个最小值和点的坐标；(2)在直线上找一点使得最大，并求这个最大值和点的坐标.【方法技巧与总结】由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线上求一点，使这点到两定点、的距离之差最大的问题，若这两点、位于直线的同侧，则只需求出直线的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若、两点位于直线的异侧，则先求、两点中某一点（如A）关于直线的对称点，再求直线的方程，再求它们与直线的交点即可．对于在直线上求一点，使到平面上两点、的距离之和最小的问题可用类似方法求解．1．（江西省景德镇市20222023学年高二上学期期中数学试题）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．4 B．5 C． D．2．（2023·湖南长沙·高一周南中学校考开学考试）如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023·全国·高二专题练习）已知直线：与关于直线对称，与平行，则（

）A． B． C． D．24．（2023·广东汕头·高二校考期中）若直线与平行，则间的距离是（

）A． B． C．4 D．25．（2023·高二课时练习）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．46．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（

）A． B． C．1 D．7．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知，满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．8．（2023·安徽·校联考二模）在平面直角坐标系中，定义两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离．已知点，若，则的最小值与最大值之