空间向量及其运算的坐标表示（解析卷）

空间向量及其运算的坐标表示1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的核心素养；2.掌握空间向量运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养；3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用，培养逻辑推理的核心素养；4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题，强化数学运算和逻辑推理的核心素养。重点：理解空间向量的坐标表示及其运算难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题阅读课本内容，自主完成下列内容。问题1：在平面向量中，我们借助平面直角坐标系得到了平面向量的坐标表示和坐标运算．在平面直角坐标系中如何用坐标表示向量呢？【答案】在平面直角坐标系中，分别取x轴、y轴正方向上的单位向量i，j作为基底，由平面向量基本定理可知，平面内任一向量a，存在唯一实数对（x，y），使a＝xi＋yj．实数对（x，y）叫作向量a在平面直角坐标系中的坐标，记作a＝（x，y）．问题2：类似于平面向量基本定理，类比推广到空间向量基本定理，能否将平面直角坐标系中的坐标表示向量类比推广到空间呢？知识点一空间直角坐标系在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样我们就建立了空间直角坐标系．(1)空间直角坐标系的定义：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O­xyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)画法：画空间直角坐标系O­xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标轴为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．(4)空间点的坐标表示：在空间直角坐标系O­xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．(5)空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O­xyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为a＝(x，y，z)．【探究1】与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？【提示】xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0，y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0，z)．【探究2】在空间直角坐标系中,向量OP的坐标与终点P的坐标有何关系?【提示】相同。1.若a=3i+2jk,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为.

【答案】(3,2,1)知识点二空间向量及其运算的坐标表示1、若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)．(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(5)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)．(6)若a⊥b，则有a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(7)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(8)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).①夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是②.③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。=4\*GB3④与任意空间向量平行或垂直【思考】若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)对吗？【提示】不一定正确，因为b1，b2，b3可能为0，只有b1≠0，b2≠0，b3≠0时才有eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3)成立．2、若，则①即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②，或.两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。3、空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.已知棱长为1正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试完成下列问题：试求出正方体各个顶点的坐标；若是的中点，则的坐标为，=此时关于原点的对称点的坐标为，关于平面的对称点的坐标为，关于轴的对称点的坐标为若，则的坐标为，若是线段上一点，若，则的坐标为【答案】1、A（1,0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），D（0,0,0），A1（1,0,1），B1（1,1,1），C1（0,1,1），D1（0,0,1），，1考点一求空间点的坐标角度1根据空间直角坐标系求坐标例1如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得，，所以，所以，所以的坐标为．故选：B．求空间点、向量的坐标一般步骤(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系；(2)运算：找出点在x轴、y轴、z轴上的射影的坐标；综合利用向量的加减及数乘运算表示向量；(3)定结果：根据射影坐标写出点的坐标；将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标.【对点演练】1.正方体的棱长为2，是上的点，且，以D为坐标原点，DA、DC、方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D2.已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．【答案】∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为2eq\r(23).则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2eq\r(23))．角度2根据对称性求坐标例2.在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12)．【对点演练】1、已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答.【详解】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选：D2、已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．答案(2，－3,1)解析点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．角度3根据向量的运算求坐标例3（2023北京高二北京第一六一中期中）已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，，由题意得：，即，解得：，故顶点的坐标为.故选：D【对点演练】1.已知点，向量，则点坐标是（）A．B．C．D．【答案】D2.若空间一点在轴上，则（）A．1B．0C．D．【答案】D3、（2023·全国·高二专题练习）平行六面体中，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，∵，又，∴，解得，即.故选：B.4.（2023·高二课时练习）已知向量，向量，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图：因为向量，向量，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，所以，，所以，解得，所以.故选：A5.（2023·高二课时练习）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.【答案】【解析】点､，为线段上一点，且，所以，设点的坐标为，则，则，即，解得，即；故答案为：．考点二求空间向量的坐标例4.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))的坐标．解建立如图所示的空间直角坐标系，设eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝j，eq\f(1,4)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝k，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0i＋4j＋4k＝(0,4,4)，∴eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)．【对点演练】已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(B1F,\s\up6(→))，eq\o(A1E,\s\up6(→))的坐标．【解析】(1)设x轴，y轴，z轴的单位向量分别为i，j，k.因为正方体的棱长为2，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＝2i，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2j，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2k.因为D(0,0,0)，所以A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)．又因为eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2i＋2j，所以B(2,2,0)．同理可得，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)．(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝－2i－j－k＝(－2，－1，－1)，eq\o(B1F,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝－2i－j－2k＝(－2，－1，－2)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(DD1,\s\up6(→))＝2j－k＝(0,2，－1)．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－2，－1，－1)，eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(－2，－1，－2)，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝(0,2，－1)．考点三空间向量线性运算的坐标表示例5.已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（）A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)【答案】A【解析】．故选：A【对点演练】1.（2023·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，，，则向量（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，所以向量．故选：B.2.若，则=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量线性关系的坐标运算求即可.【详解】.故选：D考点四空间向量的共线与共面例6．（2023·全国·高二专题练习）已知，，若与共线，则实数（

）A．2 B． C． D．2【答案】B【解析】∵，，∴，.∵与共线，∴，即.故选：B.【对点演练1】（2023·福建漳州·高二校考期中）与向量共线的单位向量可以为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.故选：D【对点演练2】（2023·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，若三点共线，则有，得，解得，，.故选：B例7（2022·全国·高二专题练习）已知，若四点共面，则实数为_______.【答案】8【分析】根据空间中四点共面可得向量共面，进而可求解.【详解】四点共面，存在实数，使得，，解得.故答案为：8【对点演练1】（2022·福建宁德·高二期中）若向量，，，且、、共面，则______．【答案】【分析】设，可得出关于、、的方程组，即可解得的值.【详解】因为、、共面，设，其中、，所以，，解得.故答案为：.【对点演练2】（2022·全国·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四点共面，则λ=___________.【答案】【分析】由已知可得共面，根据共面向量的基本定理，即可求解.【详解】由P，A，B，C四点共面，可得共面，，，解得.故答案为：考点五空间向量数量积的坐标表示角度1求空间向量的数量积例8.若，，，则的值为（）A．B．5C．7D．36【答案】B【对点演练】1.)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a＋3b)·(a－2b)＝________.答案(1)－244解析(1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.【对点演练】1已知向量，，若，则k的值等于（）A．1B．C．D．【答案】D2.（2023·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，因为，，所以，，因此，，于是得，则当时，，此时点Q，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：C角度2求空间向量的投影向量例9．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可．【详解】因为，0，，，2，，则向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量是．故选：．【对点演练1】（2022·全国·高二课时练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出向量在向量上的投影，从而求出投影向量，【详解】解：因为，所以，所以向量在向量上的投影为设向量在向量上的投影向量为，则且，所以，所以，解得所以故选：B【对点演练2】已知，，则在上的投影向量为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C【对点演练3】在标准正交基下，已知向量，，求向量在和上的投影．【答案】－2；3.【分析】求出坐标，利用投影公式即可计算.【详解】，在上的投影为，在上的投影为角度3空间向量的夹角问题例10（1）（2022·四川内江·高二期末（理））已知，，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.【详解】解：，，.故选：B.（2）在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H是C1G的中点．(1)求FH的长；(2)求EF与C1G所成角的余弦值．【分析】建立空间直角坐标系，确定点的坐标，然后利用向量的坐标运算来解决．【解析】如图所示，以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0，eq\f(1,2))，F(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，eq\f(3,4)，0)．(1)∵H是C1G的中点，∴H.又F，∴FH＝|eq\o(FH,\s\up6(→))|＝＝eq\f(\r(41),8).(2)∵eq\o(C1G,\s\up6(→))＝，则|eq\o(C1G,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),4).又|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，且eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(C1G,\s\up6(→))＝eq\f(3,8)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(C1G,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(C1G,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(C1G,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(51),17)，即EF与C1G所成角的余弦值为eq\f(\r(51),17).运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为几何结论．【对点演练】1．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量，，则向量与的夹角为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可.【详解】设向量与的夹角为，且，所以，，所以，故选：D2..若向量，，，，，，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为A． B．11 C．3 D．或11【答案】A【解析】向量，，，，，，，，，且与的夹角余弦值为，，整理得，解得或（不合题意，舍去），的值为．3.已知，，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C4．已知，，向量与的夹角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量夹角的坐标表示直接计算可得.【详解】因为向量与的夹角，所以又，解得.故选：B5.已知向量，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_____________．答案解析由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－eq\f(52,5)，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，即3t－eq\f(52,5)<0，所以t<eq\f(52,15).若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5,3,1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝－2λ，,3＝tλ，,1＝－\f(2,5)λ，))所以t＝－eq\f(6,5)，故t的取值范围是6.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．【解析】如图，以eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))为单位正交基底建立空间直角坐标系C­xyz.(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3)，∴线段BN的长为eq\r(3).(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(1，－1,2)，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(CB1,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(CB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(30),10).故A1B与B1C所成角的余弦值为eq\f(\r(30),10).角度4平行与垂直问题例11已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.【解析】(1)因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以设c＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝eq\r(－2λ2＋－λ2＋2λ2)＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)因为a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－eq\f(5,2).(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．【对点演练1】（2023·贵州铜仁·高二统考期末）已知空间向量，，若，则______.【答案】/【解析】空间向量，，由，得，解得，所以.故答案为：【对点演练2】已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若AB→∥AC→，则y﹣2A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4【解答】解：∵A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），∴AB→=(-1，∵AB→∥AC→，∴-12=2y-1=-2z-3，解得y＝﹣3【对点演练3】已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），且ka→-A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：向量a→=（1，1，0），b→=（1，0，2），∴ka→-b→=（k﹣1，k，﹣2），2a→+b→=（3，2，2），∵k【对点演练4】正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3eq\o(B1P,\s\up6(→))＝eq\o(PD1,\s\up6(→))，若PQ⊥AE，eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(DQ,\s\up6(→))，求λ的值．【解析】如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3eq\o(B1P,\s\up6(→))＝eq\o(PD1,\s\up6(→))，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a＝eq\f(3,4)，所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQ⊥AE，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝0，所以＝0，解得b＝eq\f(1,4)，所以点Q的坐标为.因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(DQ,\s\up6(→))，所以(－1，－1,0)＝λ，所以eq\f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.【变式】若G是A1D的中点，点H在平面xDy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．【解析】因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))，因为点H在平面xDy上，设点H的坐标为(m，n,0)，因为eq\o(GH,\s\up6(→))＝(m，n,0)－(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))＝(m－eq\f(1,2)，n，－eq\f(1,2))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)且eq\o(GH,\s\up6(→))∥eq\o(BD1,\s\up6(→))，所以eq\f(m－\f(1,2),－1)＝eq\f(n,－1)＝eq\f(－\f(1,2),1)，解得m＝1，n＝eq\f(1,2).所以点H的坐标为(1，eq\f(1,2)，0)，所以H为线段AB的中点．角度5空间向量的长度（模）问题例12.设、，向量，，且，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.【对点演练】1.在空间直角坐标系中，若点，，则（）A．2B．C．6D．【答案】D2.（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知.则__________．【答案】【解析】因为，且，所以，解得，则，故，所以.故答案为：．3.已知点，，则，两点的距离的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为点，所以有二次函数易知，当时，取得最小值为的最小值为故选：C.4..在正方体中，，O是侧面的中心，E，F分别是，的中点，点M，N分别在线段，上运动，则的最小值为（）A．B．3C．D．【答案】C【解析】以D为坐标原点，DA、DC、方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由题意，，，，，因为点M，N分别在线段，上运动，所以设，，所以，，所以，所以当时，，所以的最小值为，故选：C.1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则点B的坐标应为()A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)【答案】B【解析】eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝(9,1,1)．2．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,1,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)．由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＞0，得A为锐角；由eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＞0，得C为锐角；由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．3．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1,1,1) B．(－4,6，－2)C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)【答案】B【解析】若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)【答案】D【解析】依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq\f(7,5).5．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于()A．3eq\r(10)B．2eq\r(10)C.eq\r(10)D．5【答案】A【解析】a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3eq\r(10).6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b为共线向量，则()A．x＝1，y＝1 B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2) D．x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2)【答案】C【解析】∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，∴eq\f(2x,1)＝eq\f(1,－2y)＝eq\f(3,9)(y≠0)，∴x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2).7．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；对于B，设，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.对于C，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；对于D，设，无解,即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.故选：B.8．（2023·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（

）A． B． C．或 D．2【答案】A【解析】因为，所以，，又与夹角的余弦值为，，所以，解得，注意到，即，所以.故选：A.多选题9.已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】因为，，而，故A不正确；因为，，所以，故B正确；因为，故C正确；又，故D正确.故选BCD.10．（2023·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）空间直角坐标系中，已知，，，，则（

）A．B．是等腰直角三角形C．与平行的单位向量的坐标为或D．在方向上的投影向量的坐标为【答案】AC【解析】根据空间向量的线性运算，，选项A正确；计算可得，三条边不相等，选项B不正确；与平行的单位向量为：选项C正确；在方向上的投影向量与向量共线，，选项D不正确，故选：AC.11．（2023·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考期末）已知向量，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．不存在实数，使得D．若，则【答案】ACD【解析】对于A项，由可得，解得，故A项正确；对于B项，由可得，解得，故B项错误；对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.故选：ACD.11．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）下列关于空间向量的命题中，正确的有（

）A．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B．若，则的夹角是钝角C．已知，，若与垂直，则D．已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面【答案】ACD【解析】因为向量是空间的一个基底，则不共面，所以也不共面，所以也可以作为空间的一个基底，故A正确；当与的夹角为时，也可得，所以B错误；因为，，则，，且与垂直，所以，解得，故C正确；因为，所以，所以共面，所以四点共面，如图，取中点为，取中点为，则，又因为，故，所以，即，则在上且靠近的三等分点处，即满足此关系的点只有一个，所以点唯一，且与共面，故D正确；故选:ACD12．（2023·江西抚州·高二统考期末）如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P，使得，则边CG长度的可能值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】CD【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则，即，又，所以，由，得，显然且，则，所以，因为，所以，所以，所以.故选：CD.填空题13．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为________．【答案】eq\f(π,3)【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，又∵〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).14．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________.【答案】－eq\r(39)【解析】∵a·b＝2k，|a|＝eq\r(13)，|b|＝eq\r(k2＋9)，且k＜0，∴cos120°＝eq\f(2k,\r(13)×\r(k2＋9))，∴k＝－eq\r(39).15．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为________．【答案】4【解析】由题意知a∥b，所以eq\f(x,1)＝eq\f(x2＋y－2,2)＝eq\f(y,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x，①,x2＋y－2＝2x，②))把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－6))时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))时，b＝(1,2,3)＝a，a与b同向，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))此时x＋y＝4.16.（2023·辽宁大连·高二大连市第三十六中学校考期中）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________.【答案】且【解析】因为，所以，，因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，当时，，解得，所以实数的取值范围为且.故答案为：且.四、解答题17．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．【解析】∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．(1)∵(λa＋b)∥(a－3b)，∴eq\f(λ－2,7)＝eq\f(5λ＋3,－4)＝eq\f(－λ＋5,－16)，解得λ＝－eq\f(1,3).(2)∵(a－3