近世代数课程标准

近世代数课程标准一、课程概况

课程名称近世代数课程代码20102904适用专业数学与应用数学开课学期第3或4学期课程性质专业必修课程学时/学分68/4预修课程《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》二、课程目标课程目标

1：学生可以阐述近世代数中并能根据定义和性质进行举例和判断，以及应用性质对循环群、置换群及对称群、整环、域、除环给出相应的刻画；对群的同构以及环的同态能阐述定义及基本性质；对素理想、极大理想、环的特征和素域都能根据定义给出相应的判断；打好群、环、域基础，

课程目标

2：学生能够掌握近世代数课程中对群、环、域的更深一步知识，同时了解近世代数课程的相关历史背景以及国内外最新发展状况，具有一定的数学文化素养。学生要明确阐述出子群的陪集和正规子群的定义及正规子群对应的商群的概念，能熟练应用相关性质和相关定理知识来判别是否正规子群；能阐述群同态的定义并举例说明；能证明同态基本定理；对于多项式环、整环的商域、唯一分解整环、主理想整环以及欧几里得整环能阐述各自的概念和性质以及相互的联系；能够对扩域有进一步了解，理解并掌握代数扩越和有限域定义；能够理解并掌握重要性质和定理的结论和证明思路，并且可以综合应用相关性质和定理到实际计算中来解决问题。培养学生严密的数学语言表达能力、抽象的逻辑思维能力、严谨的推理论证能力以及熟练的抽象运算能力，为后续课程的学习和深造打下坚实的代数学基础。

课程目标

了解近世代数课程在近（现代数学中的基础地位和作用，以及与相关学科（如密码学、计算机科学等）的联系。

课程目标

4：具有终身学习与持续发展的意识和能力，能够利用近世代数的相关理以及与近世代数相关的现代数学学科。

三、课程目标与毕业要求的关系1、课程目标与毕业要求的对应关系毕业要求指标点课程目标学会教学学科素养3.1掌握数学学科的基本原理、基础知识、基本方法、基本思想，了解现代数学分支的基本知识和专业发展趋势123.2善于整合运用数学知识分析问题、解决问题，具备对数学问题进行抽象概括化和逻辑推理的能力，具备良好的数学表达能力123.3了解数学与物理和计算机等其他相关学科的联系，理解数学在社会生活的实际应用价值3

学会育人

综合育人6.1接受数学学科独有的谨慎细腻，思维严密的训练，能够将数学课堂教学与思政教育紧密结合。能有效掌握教学案例设计、学生情感价值观察和分析、掌握灵活多样化的教学方法4学会发展学会反思7.1掌握数学教学专业发展规律，具有数学教学反思意识，树立终身学习理念。能够利用反思改进教学手段、针对教育教学工作中的现实需要与问题和国内外学科发展趋势做纵深对比，进行探索和研究，初步具备数学教学研究能力1242、课程目标与毕业要求的矩阵关系图名称践行师德学会教学学会育人学会发展师德规范教育情怀学科素养教学能力班级管理综合育人学会反思沟通合作1.11.21.32.12.22.33.13.23.34.14.24.35.15.25.36.16.26.37.17.27.38.18.28.3近世代数HHHLM近世代数HLM课程目标

1HHM课程目标

2HHM课程目标

3H课程目标

4LM注：H

表示高支撑，M

表示中支撑，L

表示低支撑。

四、课程教学要求与重难点

序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点

1

群掌握等价关系与集合的分类的定义及关系，为学习全书打好基础；能够阐述群的相关定义和性质，并能根据定义、等价定义和性质进行举例和判断；能阐述子群等相关定义和性质，并能根据定义和性质进行举例和判断；掌握会求元素的阶；循环群的定义和性质、判定，会求循环群的全部生成元和子群；掌握置换群和对称群定义，掌握的性质和刻画。等价关系与集合的分类的定义及关系；群的定义及其性质；循环群的定义和性质、判定，会求循环群的全部生成元和子群；掌握置换群和对称群定义，掌握的性质和刻画。等价关系与集合的分类的关系；群的定义及其等价定义的理解；理解并掌握生成子群的刻画；凯莱定理；掌握有限和无限循环群的刻画；变换群、置换群的刻画。

2

群的进一步讨论学生要明确子群的陪集以及正规子群的定义及正规子群对应的商群的概念及性质和相关定理知识；掌握群的同态定义以及同态基本定理。子群陪集的相关理论、有限群的拉格朗日定理；正规子群的定义及判别条件、商群子群的左右陪集的刻画与联系；正规子群的判别法则；商群的构造；群同态基本定理的理解及应用。

3

环学生能够熟悉并阐述环、子环定义及对应等价定义并会用性质进行判定；学生能够熟悉并阐述理想定义并会用性质进行判定，掌握商环定义和性质；别；环的特征的定义、性质及求法，素域的定义和基本性质。

环、子环的定义、判别条件及基本性质；理想和商环的定义、判别条件及初步性质；别；环的特征的定义、性质及求法，素域的定义和基本性质。理想和商环的定义、判别条件；整环、域的性质及判别；素理想和最大理想的定义及判别；环的特征的定义及求法。序号课程内容框架教学要求教学重点教学难点

4

环的进一步讨论学生能够理解在整环上讨论整除的概念以及多项式环的概念、性质、理解整环的商域的概念、构造过程及性质、对整环上讨论整除理论有比较系统的了解，并能用所学的理论解决一些简单的与环和域性质有关的问题。多项式环的概念及性质；理解整环的商域的概念、构造过程及性质；素元和不可约元的定义及关系，唯一分解整环的概念及性质；主理想整环以及欧几里得整环的定义及相关性质以及他们之间的联系。多项式环的性质；整环的商域的构造过程及性质；素元和不可约元的定义及关系；唯一分解整环、主理想整环以及欧几里得整环之间的联系。

5

域的扩张学生掌握域的一些基本结果，在域上有向量空间的定义上，掌握扩域的定义和基本性质，了解域的代数扩张含义及性质，对多项式的分裂域有所理解，对有限域进一步了解，了解用直尺和圆规作图的背景。扩域的概念及性质；代数扩张的定义及性质；多项式的分裂域的定义及判定条件；有限域的基本性质和刻画；了解用直尺和圆规作图的背景。扩域的概念及性质；代数扩域的定义及判定，极小多项式的求法；有限域的刻画；尺规作图。

五、课程教学内容、教学方式、学时分配及对课程目标的支撑情况序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标1群课程简介；代数运算；等价关系与集合的分类：等价关系与集合的分类各自的定义及关系讲授、课堂讨论21234群的概念：群的定义及其几个等价定义的证明；交换群，有限群和无限群及群的阶的概念、例子以及群的基本性质讲授、课堂讨论4134子群：子群的定义及其等价定义及判别法；子群的交与生成子群讲授、课堂讨论4134同构、自同构的概念与性质及判定；交换群和一般群的关系；凯莱定理讲授、课堂讨论214循环群：元素的阶的定义、性质及求法；；求有限循环群的全部子群的方法讲授、课堂讨论4

1

序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标讲授、课堂讨论4134习题课讲授、课堂讨论214

2

群的进一步讨论子群的陪集：集合的积的定义及群里子集的积的性质；子群的左右陪集、定义及相同和不同之处；Lagrange定理讲授、课堂讨论22正规子群与商群：正规子群的定义、例子；正规子群的判别条件和性质；商群的定义及性质讲授、课堂讨论2234群同态性质及同态基本定理讲授、课堂讨论2234习题课讲授、课堂讨论224

3

环环的定义与基本性质：环、子环的定义、例子及基本性质讲授、课堂讨论2134整环、域、除环：零因子、无零因子环的概念及判定；整环、域、除环的定义及例子讲授、课堂讨论2134理想与商环：理想的定义及判定；理想的性质；主理想的定义及构成；商环的定义及性质讲授、课堂讨论213本定理以及环的第二同构定理；环的扩张定理讲授、课堂讨论213素理想与极大理想：素理想与极大理想的定义、例子、判定及简单性质讲授、课堂讨论213环的特征与素域：环的特征的概念、性质及求法，素域的概念、例子讲授、课堂讨论21习题课讲授、课堂讨论214序号课程内容框架教学内容教学方式学时支撑课程目标

4

环的进一步讨论多项式环：讲授、课堂讨论

224整环的商域：商域的概念、存在性、唯一性及构造方法及例子、基本性质讲授、课堂讨论2234唯一分解整环：唯一分解整环的定义、性质及例子讲授、课堂讨论22主理想整环与欧几里德整环：主理想整环的定义、例子与基本性质；欧几里德整环的概念、性质与例子讲授、课堂讨论22习题课讲授、课堂讨论224

5

域的扩张向量空间：向量空间简介讲授、课堂讨论12

扩域：扩域、单扩域及有限扩域的概念、例子及基本性质讲授、课堂讨论32

代数扩张：代数元、超越元及代数扩张的概念、基本性质和典型例子讲授、课堂讨论224多项式的分裂域：多项式的分裂域简介讲授、课堂讨论22

有限域：有限域的基本性质及例子

讲授、课堂讨论123几何作图：尺规作图背景讲授、课堂讨论124习题课讲授、课堂讨论2246综合复习综合复习（全部内容）讲授、课堂讨论4课程目标1234

六、课程目标与考核内容

课程目标考核内容课程目标

1：学生可以阐述近世代数中并能根据定义和性质进行举例和判断，以及应用性质对循环群、置换群及对称群、整环、域、除环给出相应的刻画；对群的同构以及环的同态能阐述定义及基本性质；对素理想、极大理想、环的特征和素域都能根据定义给出相应的判断；打好群、环、域基础，1、

期末考试：5)

元素的阶的定义、性质及求法；；求有限循环群的全部子群的方法；7)

环、子环的定义、例子及基本性质；8)

零因子、无零因子环的概念及判定；9)

整环、域、除环的定义及例子；10)

理想的性质；主理想的定义及构成；商环的定义及性质；本定理以及环的第二同构定理；环的扩张定理；12)

素理想与极大理想的定义、例子、判定及简单性质；13)

环的特征的概念、性质及求法，素域的概念、例子；2、课堂出勤和课堂表现、平时作业、期中测试等课程目标2：学生能够掌握近世代数课程中对群、环、域的更深一步知识，同时了解近世代数课程的相关历史背景以及国内外最新发展状况，具有一定的数学文化素养。学生要明确子群的陪集以及正规子群的定义及正规子群对应的商群的概念及性质和相关定理知识；掌握群的同态定义以及同态基本定理；对于多项式环、整环的商域、唯一分解整环、主理想整环以及欧几里得整环能明白各自的概念和性质以及相互的联系；能够理解并掌握重要性质和定理的结论和证明思路，并且可以综合应用近世代数中的性质和定理到实际计算中来解决问题。培养学生严密的数学语言表达能力、抽象的逻辑思维能力、严谨的推理论证能力以及熟练的抽象运算能力，为后续课程的学习和深造打下坚实的代数学基础。1、

期末考试：1)

集合的积的定义及群里子集的积的性质；2)

子群的左右陪集、定义及相同和不同之处；Lagrange定理的应用；3)

正规子群的定义、例子；正规子群的判别条件和性质；商群的定义及性质；群同态性质及同态基本定理；6)

商域的概念、存在性、唯一性及构造方法及例子、基本性质；7)

唯一分解整环的定义、性质及例子；主理想整环的定义、例子与基本性质；8)

欧几里德整环的概念、性质与例子；9)

向量空间定义及性质；10)

扩域、单扩域及有限扩域的概念、例子及基本性质；11)

代数元、超越元及代数扩张的概念、基本性质和典型例子；12)

多项式的分裂域例子；13)

有限域的基本性质及例子；14)

几何作图；2、课堂出勤和课堂表现、平时作业、期中测试等课程目标考核内容课程目标3：了解近世代数课程在近（现）代数学中的基础地位和作用，以及与相关学科（如密码学、计算机科学等）的联系。1、期末考试：1)

代数运算、同态、同构、等价关系与集合的分类；2)

群的概念与证明；3)

子群的概念及判别条件；4)

变换群、置换群的相关理论；5)

正规子群的概念及判别条件，商群的概念与构造，拉格朗日定理；6)

群的同态性质；7)

环的概念及证明，子环的相关概念及判别方法，8)

环同态基本定理；9)

理想、主理想、最大理想的概念及判别条件；10)

剩余类环、最大理想构造域的方法；11)

商域的构造等；12)

有限域的基本性质及例子；2、课堂出勤和课堂表现、平时作业、期中测试等课程目标

4：具有终身学习与持续发展的意识和能力，能够利用近世代数的相关理论指导中学数学中代数方面的教学实践，并能够在中学数学教学实践中客观、真实地介绍近世代数史以及与近世代数相关的现代数学学科。

1期末考试：1)

代数运算、映射、同态、同构、等价关系与集合的分类；2)

群的概念与证明；3)

子群的概念及判别条件；4)

变换群、置换群的相关理论；5)

环、整环、域的概念及证明，整环、域的性质；6)

多项式环；7)

商域的构造；8)

代数元，代数扩张的定义；9)

几何作图等。2、课堂出勤和课堂表现、平时作业、期中测试等

七、考核方式与评价细则考核方式比例考核/评价细则

课堂出勤

10%评价标准：根据学生上课出勤情况1)

全勤

100

分；103)

迟到、早退、事假一次扣54)

病假、公假、丧假不扣分；5)

旷课三次以上不及格。

平时作业、课堂表现

10-20%评价标准：根据学生提交的作业情况。每个班每次批改二分之一的作业，根据学生作业完成情况给出A+、A、A-、B、C、D等级，一学期一个学生大约上交12次左右作业。全部为A计100分；两次及以上A+，95分；两次及以上