数学北师大版选修1-2知识导航4.2复数的四则运算

§2复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法自主整理1.复数的加法、减法运算:(a+bi)±(c+di)=______________.2.复数的乘法运算:(a+bi)(c+di)=______________.3.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为__________,用__________表示.4.设z=a+bi,则=____________,z=____________.5.满足(c+di)(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫作____________,记作_____________或____________.高手笔记1.复数的加、减、乘、除运算后,所得的结果仍为复数.2.复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似.3.复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对任何z1、z2、z3∈C有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意复数z、z1、z2和正整数m、n有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1n·z2n.4.若z=z,则z为实数;若z+z=0(z≠0),则z为纯虚数.5.根据复数所满足的运算律,可知i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=i,(1+i)2=2i,(1i)2=2i,=i,=i.若设ω=+i,则1+ω+ω2=0,=ω,ω2=,=1.名师解惑理解复数的除法运算的转化.剖析:复数的除法是复数乘法的逆运算,但每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都同乘分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简.复数的除法与分母“有理化”的方法相类似.学习时,注意培养这种转化的思想和类比思想.讲练互动【例1】计算(6+6i)+(3i)(53i).分析:利用复数加、减法法则进行计算.解:(6+6i)+(3i)(53i)=(6+35)+(61+3)i=4+8i.绿色通道复数的加、减法运算,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,实部与实部相加减作实部、虚部与虚部相加减作虚部.变式训练1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2z1对应的点位于()答案:B【例2】已知x、y∈R,且+,求x、y的值.分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:+可写成+=,5x(1i)+2y(12i)=515i,(5x+2y)(5x+4y)i=515i,∴∴绿色通道本题为复数的除法运算,将每个分式的分母同乘分母的共轭复数,再由复数相等的定义,转化为实数方程组.变式训练+的值.解:原式==.【例3】计算i2006+(+)8()50.分析:利用i的幂的周期性,(1±i)2=±2i便可简便地求出结果.解:原式=i501×4+2+(4i)4()25=1+256i=255i.绿色通道注意复数计算中常用的整体.变式训练.解:原式===i.【例4】设|z|=1且z≠±i,证明是实数.分析:(1)z为复数可设出z=x+yi(x、y∈R),再进行运算、判断;(2)由|z|=1转为z=1,即=,进一步化简.证法一:设z=x+yi(x、y∈R).则===.∵|z|=1,∴x2+y2=1.∴yx2yy3=y(1x2y2)=0.∴∈R.证法二:∵|z|=1,∴z=1.∴=.∴=.设z=a+bi,则z+=2a∈R.∴为实数.变式训练4.已知x、y为共轭复数,且(x+y)23xyi=46i,求x、y及|x|+|y|.解:设x=a+bi,则y=abi,∴