相似三角形教案

相似三角形一、比例线段1、比例线段的有关概念假如选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。在四条线段中，假如其中两条线段的比等于此外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做构成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。假如作为比例内项的是两条相似的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。2、比例的性质（1）基本性质①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c（2）更比性质（互换比例的内项或外项）（互换内项）（互换外项）（同步互换内项和外项）（3）反比性质（互换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB提成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。逆定理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。三、相似三角形1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表达，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC，均有△ABC∽△ABC；（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。3、三角形相似的鉴定（1）三角形相似的鉴定措施①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③鉴定定理1：假如一种三角形的两个角与另一种三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。④鉴定定理2：假如一种三角形的两条边和另一种三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。⑤鉴定定理3：假如一种三角形的三条边与另一种三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的鉴定措施①以上多种鉴定措施均合用②定理：假如一种直角三角形的斜边和一条直角边与另一种直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、相似多边形（1）假如两个边数相似的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形假如两个图形不仅是相似图形，并且每组对应点所在直线都通过同一种点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一种图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。运用位似变换可以把一种图形放大或缩小。典例一、比例线段1、如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．典例二、相似三角形的概念2、如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）典例三、三角形相似的鉴定3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A． B． C． D．6【变式训练】如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．典例四、三角形相似的性质4、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点（不与O，B重叠），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：CB是∠ECP的平分线；（2）求证：CF=CE；（3）当=时，求劣弧的长度（成果保留π）【变式训练】直线y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．典例五、位似图形5、如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心通过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9【变式训练】对于平面图形上的任意两点P，Q，假如通过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是（）平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似典例六、相似三角形的综合应用6、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重叠），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为；（2）与否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，祈求出AD的长度；若不存在，请阐明理由；（3）①求证：=；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y有关x的函数关系式（可运用①的结论），并求出y的最小值．【变式训练】如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一种三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为．1.(·杭州)如图，在中，点分别在和上，，为边上一点(不与点重叠)，连接交于点，则下列式子一定对的的是()A.B.C.D.2.(·哈尔滨)如图，在中，点在对角线上，，于点，，交于点，则下列式子一定对的的是()A.B.C.D.3.(·青海)如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点.已知，则的长为()A.3.6B.4.8C.5D.5.24.(·内江)如图，在中,，则的长为()A.6B.7C.8D.95.(·贺州)如图，在中，分别是边上的点，.若，则的长为() A.5B.6C.7D.86.(·淄博)如图，在中，为边上的一点，且.若的面积为，则的面积为()A.B.C.D.7.(·重庆)如图，.若，则的长为()A.2B.3C.4D.58.(·玉林)如图，与交于点，则图中相似三角形共有()A.3对B.5对C.6对D.8对9.(·张家界)如图，在中，连接对角线，延长至点，使，连接，分别交于点.(1)求证:;(2)若，求的长.10.(·黄冈)如图，在中，，认为直径的⊙交于点，过点作⊙的切线交于点，连接.求证:(1)是等腰三角形;(2).11.(·雅安)如图的对角线相交于点通过点，分别交于点的延长线交的延长线于点.(1)求证:;(2)若，求的长.12.(·凉山州)如图，，平分，过点作交于点，连接交于点.(1)求证:;(2)若，求的长.13.(·上海)如图，是⊙的两条弦，且是延长线上一点，连接并延长交⊙于点，连接并延长交⊙于点.(1)求证:;(2)假如，求证:四边形是菱形.14.(·泸州)如图，为⊙的直径，点在的延长线上，点在⊙上，且.(1)求证:是⊙的切线;(2)已知是的中点，，垂足为交于点，求的长.年月日 1.(·赤峰)如图，分别是边上的点，.若，则的长为()A.1B.2C.3D.42.(·海南)如图，在中，，是边上一动点，过点作交于点为线段的中点，当平分时，的长为()A.B.C.D.3.(·兰州)已知，，则的值为()A.2B.C.3D.4.(·巴中)如图，在中，为的中点，延长至点，使，连接交于点，则为()A.2:3B.3:2C.9:4D.4:95.(·安徽)如图，在中，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点.若，则的长为()A.3.6B.4C.4.8D.56.(·凉山州)如图，在中，点在边上，，是的中点，连接并延长交于点，则为()A.1:2B.1:3C.1:4D.2:37.(·温州)如图，在矩形中，为的中点，认为边作正方形，边交于点，在边上取点使，作交于点，交于点.欧几里得在《几何原本》中运用该图解释了，现以点为圆心，长为半径作圆弧交线段于点，连接，记△的面积为，图中阴影部分的面积为.若点在同一直线上，则的值为()A.B.C.D.8.(·眉山)如图，在菱形中，，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接.有下列结论:①;②;③;④若，则点到的距离为.其中，对的的个数是()A.1B.2C.3D.49.(·遂宁)如图，