七年级数学上册专题3.1 一元一次方程中的综合（压轴题专项讲练）（人教版）（解析版）

/专题3.1一元一次方程中的综合【典例1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x−1=3和x+1=0为“美好方程”．（1）请判断方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是否互为“美好方程”；（2）若关于x的方程x2+m=0与方程3x−2=x+4是“美好方程”，求（3）若关于x方程12022x−1=0与12022x+1=3x+k是“美好方程”，求关于【思路点拨】（1）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；（2）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；（3）先求出12022x−1=0的解为x=2022，根据“美好方程”的定义，可得方程12022x+1=3x+k的解为：x=−2021，然后把12022【解题过程】解：（1）是，理由如下：由4x−(x+5)=1解得x=2；由−2y−y=3解得：y=−1．∵−1+2=1∴方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”．（2）解：由3x−2=x+4解得x=3；由x2+m=0解得∵方程3x−2=x+4与方程x2∴−2m+3=1，解得m=1．（3）解：由12022x−1=0解得∵方程12022x−1=0与方程∴方程12022x+1=3x+k的解为：又12022(y+2)+1=3y+k+6∴y+2=−2021，解得：y=−2023．1．（2022·浙江·七年级单元测试）满足方程x+23+x−4A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【思路点拨】分类讨论：x≥43，x≤−2【解题过程】当x≥43时，原方程为：x+2当x≤−23时，原方程为：−x−2当−23<x<43时，原方程为：x+故选：C.2．（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）方程x3+x15+A．20212023 B．20232021 C．20231011【思路点拨】由13=121−13【解题过程】解：∵13=121−∴12n−1方程变形得：1即12去分母得：20222023解得：x=故选C．3．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程3x−5m2−x−m3=19的解，比关于x的一元一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5（xA．2 B．1 C．0 D．﹣1【思路点拨】分别求出方程3x−5m2−x−m3=19的解为x=114+13m7【解题过程】解：3x−5m去分母得：33x−5m去括号得：9x−15m−2x+2m=114，移项得：9x−2x=114+15m−2m，合并得：7x=114+13m，系数化为1得：x=114+13m−2去括号得：−6x+8m=1−5x+5m，移项得：−6x+5x=1+5m−8m，合并得：−x=1−3m，系数化为1得：x=3m−1；∵关于x的一元一次方程3x−5m2−x−m3=19∴114+13m7∴114+13m=21m+98，解得m=2，故选A．4．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程x−38−ax3=x2A．−11 B．−26 C．−28 D．−30【思路点拨】先解方程可得x=703+2a（a≠−32），根据方程的解是负整数可得【解题过程】解：解关于x的方程x−得x=703+2a（a∵关于x的方程x−38−ax∴703+2a∴2a+3=−1或2a+3=−5或2a+3=−7或2a+3=−35即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19，∴满足条件的所有整数a的值的和为-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30，故答案为：D．5．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程2kx+m3=x−nk6+2【思路点拨】先将x=1代入原方程得，根据无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案．【解题过程】解：将x=1代入2kx+m3∴2k+m3∴(4+n)k=13−2m，由题意可知：无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，∴n+4=0，∴n=−4，m=13∴m+n=5故答案为：56．（2022·浙江·七年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号max{a,b,c}表示a，b，c三个数中较大的数，例如max{2,3,4}=4.按照这个规定则方程【思路点拨】分x<0时，x>0时和x=0时三种情况讨论，列出方程求解即可．【解题过程】解：当x<0时，max{x,−x,0}=−x即3x−2=−x，解得x=1当x>0时，max{x,−x,0}=x即3x−2=x，解得x=1，当x=0时，max{x,−x,0}=0即3x−2=0，解得x=2综上所述，x=1，故答案为：x=1．7．（2022·河北保定·七年级期末）已知关于x的一元一次方程x2020+a=2020x的解为x=2020，那么关于y的一元一次方程【思路点拨】方程x2020+a=2020x整理得：x2020方程1−y2020=2020(1−y)+a整理得：1−y2020−2020(1−y)=a，令得到关于y的一元一次方程可解得答案.【解题过程】根据题意得：方程x2020+a=2020x该方程的解是：x=2020方程1−y2020=2020(1−y)+a令1−y=n则原方程可以整理得：n则n=−2020，即1−y=−2020解得：y=2021故答案是：20218．（2022·全国·七年级课时练习）解关于x的一元一次方程x1×3【思路点拨】先裂项相消，再根据一元一次方程的解法求解．【解题过程】解：x1x1x110102021x=4042．9．（2022·上海·七年级专题练习）解关于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．【思路点拨】将k看作已知数，按一元一次方程的解法步骤求解即可．【解题过程】解：移项，（k+1）（k﹣1）x＝2（k+1）（k+2），当k+1≠0，且k﹣1≠0，即当k≠±1时，系数化为1，得x＝2k+1化简，得x＝2k+4k−1当k=1时，方程无解．当k=-1时，方程有无数解．10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：|x-【思路点拨】利用绝对值的性质，将方程转化为x﹣3x+1＝4或x﹣3x+1＝﹣4，再分情况讨论：当3x+1＞0时可得到|3x+1|=3【解题过程】解：原方程式化为x-3x+1＝当3x+1＞0时，即x＞﹣13由x-x-∴x＝﹣52与x＞﹣1由x-x﹣∴x＝32当3x+1＜0时，即x＜﹣13由x-x+3x+1＝∴x＝34与x＜﹣1由x-x+3x+1＝﹣∴x＝﹣54故原方程的解是x＝32或x＝﹣511．（2022·全国·七年级课时练习）如果方程3x−42−7=2x+13−1【思路点拨】先解关于x的方程得出x=10，将其代入方程4x-（3a+1）=6x+2a-1求得a的值，继而代入计算可得．【解题过程】3x−439x−12−42=4x+2−65x=−4+12+42x=10将x=10代入方程4x−(3a+1)=6x+2a−140-（3a+1）=60+2a-1，解得a=-4．即a2-a+1=（-4）2-（-4）+1=21．12．（2022·江苏·七年级单元测试）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x−12+＝3时，发现正整数(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程3x−12(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？【思路点拨】（1）由题意得方程3x−12（2）设被污染的正整数为m，得方程3x−12+m=3，求解得【解题过程】（1）解：3x−12去分母，得3x−1+4=6；移项，合并同类项，得3x=3；系数化为1，得x=1．（2）解：设被污染的正整数为m，则有3x−12解之得，x=7−2m∵7−2m3是正整数，且m∴m=2．13．（2021·吉林松原·七年级期末）某同学在解关于y的方程3y−a4的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10．（1）求a的值；（2）求方程正确的解．【思路点拨】（1）按照该同学去分母的方法得到3(3y−a)−2(5y−7a)=1，把y=10代入方程，再去括号，移项，合并同类项，把系数化“1”，即可得到答案；（2）把a=1代入原方程，再按照解一元一次方程的步骤解方程即可.【解题过程】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12，则原方程变为3(3y−a)−2(5y−7a)=1，此时方程的解为y=10，代入得3(30−a)−2(50−7a)=1

整理得：11a=11,解得a=1（2）将a=1代入方程3y−a4得3y−1去分母：3(3y−1)−2(5y−7)=12去括号：9y−3−10y+14=12整理得：−y=1解得y=−1即原方程的解为y=−114．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）一题多解是培养发散思维的重要方法，方程“6(4x−3)+2(3−4x)=3(4x−3)+5”可以有多种不同的解法．(1)观察上述方程，假设y=4x−3，则原方程可变形为关于y的方程：_________，通过先求y的值，从而可得x=_____；(2)利用上述方法解方程：3(x−1)−1【思路点拨】（1）把原方程化为6(4x−3)−2(4x−3)=3(4x−3)+5，再把y=4x−3整体代入求解y，再求解x即可；（2）把原方程整理为：3(x−1)−13(x−1)=2(x−1)−12(x−1+2)，设x−1=y,则原方程化为：【解题过程】(1)解：设y=4x−3，则原方程可变形为6y−2y=3y+5,解得：y=5,∴4x−3=5,解得：x=2.故答案为：6y−2y=3y+5,2(2)解：3(x−1)−设x−1=y,则原方程化为：3y−1去分母得：18y−2y=12y−3(y+2),整理得：y=−6∴x−1=−6解得：x=15．（2022·全国·七年级专题练习）解关于x的方程x3（13+1因为13所以方程的解：x＝0．请按这种方法解下列方程：(1)x−13(2)x−232【思路点拨】（1）利用乘法的分配律得到（x﹣1）(1（2）先变形为x−272【解题过程】（1）解：∵（x﹣1）(1∴x﹣1＝0，∴x＝1；（2）解：∵x−232∴x−232∴x−232即x−272∴（x﹣27）(1∴x﹣27＝0，∴x＝27．16．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）仔细观察下面的解法，请回答为问题．解方程：3x−12解：15x﹣5＝8x+4﹣1，15x﹣8x＝4﹣1+5，7x＝8，x=7(1)上面的解法错误有处．(2)若关于x的方程3x−12=4x+25＋a，按上面的解法和正确的解法得到的解分别为x1，x【思路点拨】（1）找出解方程中错误的地方即可；（2）利用错误的解法与正确的解法求出x1，x2，根据题意确定出【解题过程】（1）解：正确解法为：3x−12去分母得，15x﹣5＝8x+4﹣10，移项得，15x﹣8x＝4﹣10+5，合并同类项得，7x＝﹣1，系数化为1得，x=−1可知上面的解法错误有2处；故答案为：2；（2）3x−12=错误解法为：15x﹣5＝8x+4+a，移项得：15x﹣8x＝4＋a+5，合并同类项得：7x＝9+a，解得：x=79+a，即x1正确解法为：去分母得：15x﹣5＝8x+4+10a，移项合并得：7x＝9+10a，解得：x=9+10a7，即x2根据题意得：x2−由9a7为非零整数，得到|a|最小值为717．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定了一种运算：|a bc d|＝ad﹣bc【思路点拨】由新定义得3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，解一元一次方程即可．【解题过程】解：∵|abcd|＝ad﹣bc∴3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，∴6x+3+4x﹣4＝19，∴10x＝20，∴x＝2．18．（2022·全国·七年级专题练习）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程的解，y0是关于y的方程的一个解，且x0，y0满足x0+y0=424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x=5x−400的解是x=400，方程y=24的解是y=24或y=−24，当y=24时，满足(1)试判断关于y的方程y−1=20是否是关于x的一元一次方程x+403=2x(2)若关于y的方程y−1−3=13是关于x的一元一次方程x−2x−2a3【思路点拨】（1）根据新定义的概念进行分析计算；（2）分别求得两个方程的解，然后根据新定义概念分情况讨论求解．【解题过程】解：（1）是，理由如下：x+403=2x，解得：x=403，y−1=20，解得：y=21或y=−19∵403+21=424，∴关于y的方程y−1=20是关于x的一元一次方程x+403=2x（2）x−2x−2a解得：x=4a+3，y−1−3=13解得：y=17或y=−15，∵关于y的方程y−1−3=13是关于x的一元一次方程x−①当4a+3+17=424时，解得：a=101；②当4a+3−15=424时，解得：a=109，综上，a的值为101或109．19．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为；(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．【思路点拨】（1）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；（2）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣12（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n（3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝−92，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5【解题过程】（1）解：（1）解方程3x+k＝0得：x＝﹣k3∵3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴﹣k3＝3﹣k解得：k＝92（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：x＝﹣12（mn+n∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝﹣2+mn+n，∴﹣12（mn+n）＝﹣2+mn+n∴3mn+3n＝4，∵x＝n，∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，∴3×2+3n＝4，解得：n＝﹣23把n＝﹣23代入mn＝2得：m×（﹣2解得：m＝﹣3；（3）解：解方程3x＝mn+n得：x＝mn+n3∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝3+mn+n，∴mn+n3＝3+mn+n∴mn+n＝−9∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n＝2mn+2n＝2（mn+n）＝2×（−9＝﹣9．20．（2022·福建福州·七年级期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝