2023-2024学年广东省惠州市惠城区惠台学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省惠州市惠城区惠台学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在平面直角坐标系内，把点P(−2,4)沿xA.(−1,4) B.(−2.下列不等式中不一定成立的是(

)A.若x>y，则−x<−y B.若x>y，则x2>y23.若分式2aba+b中的a、b的值同时扩大到原来的A.不变 B.是原来的3倍 C.是原来的6倍 D.是原来的9倍4.已知一次函数y=−x+A.y的值随x的值增大而增大 B.图象经过第一、二、三象限

C.图象必经过点(0,2) D.5.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=20cm，接着活动学具成为图A.20cm B.30cm C.6.为计算某样本数据的方差，列出如下算式S2=(2A.样本容量是4 B.样本的平均数是4 C.样本的众数是3 D.样本的中位数是37.若4x2−(k+A.±6 B.±12 C.−13或11 D.8.关于x的不等式组6−3x<02x≤A.a=10 B.10≤a<129.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,1)，B(3,1)A.−1≤b≤1

B.−110.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、A.①②③ B.①③ C.①二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.因式分解：3a2−2712.如图，已知一次函数y=kx+3和y=−x+b的图象交于点P

13.如图，已知长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B

14.若关于x的方程kx+1+3x15.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH.三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题10.0分)

(1)解方程：x2−2x−2417.(本小题7.0分)

先化简，再求值：(2m+1m18.(本小题7.0分)

如图，已知△ABC中，AB=BC，

(1)用直尺和圆规在边AC上找一点P，使得点P到点A、点B的距离相等.(保留作图痕迹，不要求写作法19.(本小题9.0分)

某超市计划购进甲，乙两种商品进行销售.经了解，甲种商品的进价比乙种商品的进价高50%，超市用1500元购进甲种商品比用2000元购进乙种商品的重量少50千克，已知超市对甲，乙两种商品的售价分别为45元/千克和30元/千克．

(1)求甲，乙两种商品的进价分别是多少？

(2)若超市购进这两种商品共45020.(本小题9.0分)

如图，直线y=−2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B.与直线y=32x相交于点A．

(1)求A点坐标；

(2)如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以O21.(本小题9.0分)

我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形.例如：某三角形三边长分别是3，2和3，因为(3)2+32=12=3×22，所以这个三角形是非凡三角形．

(1)若△ABC是非凡三角形，且AB=3，22.(本小题12.0分)

【方法回顾】连接三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线，探索三角形中位线的性质，方法如下：如图1，D、E分别是AB、AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连接CF；

(1)证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到线段DE与BC的位置关系和数量关系分别为______、______．

(2)【初步运用】如图2，正方形ABCD中，E为边AD中点，G、F分别在边AB、CD上，且AG=2，DF=3，∠GEF=23.(本小题12.0分)

已知，如图①，在▱ABCD中，∠A=90°，AB=BC=45，点E为CD上的一动点，连接BE，过点C作CH⊥BE于点H，以CH为腰作等腰直角△HCG，∠HCG=90°，连接答案和解析1.【答案】A

【解析】解：将点P(−2,4)向右平移1个单位长度，得到点′(−12.【答案】B

【解析】解：A、在不等式x>y的两边同时乘−1，不等号的方向改变，即−x<−y，原变形正确，故本选项不符合题意；

B、当0>x>y时，则x2>y2不成立，故本选项符合题意．

C、在不等式x<y的两边同时除以3，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意．

D、在不等式x+m<y+m的两边同时减去m，不等号的方向不变，原变形正确，故本选项不符合题意．

故选：B3.【答案】B

【解析】解：原式=2×3a×3b3a4.【答案】C

【解析】解：A、由于一次函数y=−x+2的k=−1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意；

B、一次函数y=−x+2的k=−1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；

C、将(0,2)代入y=−5.【答案】D

【解析】解：如图1，图2中，连接AC．

图1中，∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=20cm，

在图2中，∵四边形ABCD是正方形，

∴A6.【答案】B

【解析】解：根据方差算式s2=(2−x−)2+2(3−x−)2+(7−x−)2n可得，这组数据有2，3，3，7共4个，

因此样本容量为4，样本众数为3，

中位数是3+37.【答案】C

【解析】解：∵4x2−(k+1)x+9能用完全平方公式因式分解，

∴k+1=±12，8.【答案】B

【解析】解：由6−3x<0得：x>2，

由2x≤a得：x≤a2，

∵不等式组恰好有3个整数解，

∴不等式组的整数解为3、4、5，

∴5≤9.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征．

将A(1,1)，B(3,1)，C(2,2)的坐标分别代入直线y=12x+b中求得b的值，即可得到b的取值范围．

【解答】

解：直线y=12x+b经过点B时，将B(3,1)代入直线y=12x+b中，可得32+b10.【答案】C

【解析】解：①∵F是AD的中点，

∴AF=FD，

∵在▱ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD/​/BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；

延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB/​/CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF11.【答案】3(【解析】解：3a2−27

=3(a2−9)

=12.【答案】x>【解析】解：当x>2时，kx+3>−x+b，

即不等式kx+3>−x+b的解集为x>2．

故答案为x>2．

观察函数图象得到当x>2时，函数y=kx13.【答案】6c【解析】【分析】

此题考查了折叠的性质，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．

根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．

【解答】

解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，

∴BE=ED，

∵AD=9cm=AE14.【答案】−3或−【解析】解：方程两边都乘(x+1)(x−1)得：k(x−1)+3(x+1)=7，

∴kx−k+3x+3=7，

∴(k+3)x=k+4，

当k+3=0时，方程无解；

当k+3≠0时，x=k+4k+3，

∵15.【答案】7

【解析】【分析】

连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC=10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP=3，然后证四边形PGCH是矩形，得GH=CP，当A、P、C三点共线时，CP最小=AC−AP=10−3=7，即可求解．

本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理以及最短路径问题等．正确添加辅助线是解题的关键．

【解答】

解：连接AC、AP、CP，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠BCD16.【答案】解：(1)x2−2x−24=0，

则(x−6)(x+4)【解析】(1)利用因式分解法解出方程；

(217.【答案】解：(2m+1m−1)÷m2−1m

=【解析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．

本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．18.【答案】解：(1)如图，点P即为所求；

(2)证明：∵AB=BC，∠ABC=120°，

∴∠A=∠C=30°，

由(【解析】(1)作AB的垂直平分线即可找到点P；

(2)根据已知条件和线段垂直平分线的性质可得∠CBP=90°19.【答案】解：(1)设乙种商品的进价为x元，则甲种商品的进价为(1+50%)x元，根据题意得，

1500(1+50%)x=2000x−50，

解得x=20，

经检验，x=20是原方程的根，

∴(1+50%)×20=30元，

答：甲商品的进价为30元，乙商品的进价为20元；

(2)设购进乙商品a千克，甲商品(450−【解析】(1)设乙种商品的进价为x元，则甲种商品的进价为(1+50%)x元，根据“用1500元购进甲种商品比用2000元购进乙种商品的重量少50千克”得到等量关系，列出分式方程，解方程即可．

(2)设购进乙商品a千克，甲商品20.【答案】解：(1)联立方程组得：y=−2x+7y=32x，

解得：x=2y=3，

∴A点坐标是(2,3)；

(2)设P点坐标是(0,y)，

∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，

∴OP=PA，

∴22+(3−y)2=y2，

解得y=136，

∴P点坐标是(0,136)，

故答案为(0,136)；

(3)存在；

∵直线y=−2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．

∴C(72,0)，B(0,7)，

∴S△AOC=12×72×3=214<6，S△【解析】(1)联立方程组，即可求得；

(2)设P点坐标是(0,y)，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；

(3)分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD=x，根据S△OBQ21.【答案】15【解析】解：(1)∵AB=3，BC=6，

∴3<AC<9，

又∵△ABC是非凡三角形，

∴AB2+BC2=3AC2，或AB2+AC2=3BC2，或AC2+BC2=3AB2(不存在舍去)

∴AC=32+623=15或AC=108−9=311(不符合题意舍去)，

故答案为：15；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=DO=12BD22.【答案】DE/​【解析】解：(1)DE//BC，DE=12BC．

如图1，在△ABC中，延长DE(D、E分别是AB、AC的中点)到点F，使得EF=DE，连接CF，

在△ADE和△CFE中，

AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF

∴△ADE≌△CFE(SAS)，

∴AD=CF，∠A=∠ECF，

∴AD/​/CF，

∵AD=BD，

∴BD=CF，

∵BD/​/CF，

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴DE/​/BC，DF=BC，

∴DE=12DF=12BC．

(2)如图2，延长GE、FD交于点H，