2021-2022学年人教九年级（上）数学寒假作业（四）

2021-2022学年人教新版九年级（上）数学寒假作业（四）

一.选择题（共8小题）

1.今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增.某药店一月份销售量是

5000枚，二、三两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x,则该药店三月份销售口

罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（）

A.y=5000（1+x）B.y=5000（1+x）2

C.y=5000（1+x2）D.y=5000（l+2x）

2.据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若

我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GCP增长的百分率为x,则y

关于x的函数表达式是（）

A.y=2.4(l+2x)

B.y=2.4(1-x)2

C.y=2.4(1+x)2

D.y=2.4+2A(1+x)+2.4(1+x)

3.某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管

的水平距离为工米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（

)

2

B.y=-3(A+A)2+3

2

C.y=-12(X-A)2+3D.y=-12(x+工)2+3

22

4.在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-1^+bx+c的一部分（如

4

图），其中出球点8离地面。点的距离是1m，球落地点A到。点的距离是4根，那么羽

毛球到达最高点时离地面（）

41642

5.在边长为弧的正方形ABCQ中，对角线AC与80相交于点0,尸是8。上一动点，过

P作EF//AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,/\0EF的面积为y,当1

<x<2时，y与x之间的关系式为（）

A.y--x2+xB.y--

22

C.y=-x1+3x-2D.y—x1~3x+2

6.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子04,0恰为水面中

心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径

落下.在过0A的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（〃力与

水平距离x（小）之间的关系式是、=-f+2x+3,则下列结论错误的是（）

A.柱子0A的高度为3根

B.喷出的水流距柱子1相处达到最大高度

C.喷出的水流距水平面的最大高度是3根

D.水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外

7.如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形.现测得当水面宽AB=16"时，涵洞顶点与水

面的距离是2m.这时，离开水面1.5加处，涵洞的宽。E为（）

C.0.4D.0.8

8.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大

程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度

为80米，高度为200米.则离地面150米处的水平宽度（即CC的长）为（）

图①图②

A.40米B.30米C.25米D.20米

二.填空题（共6小题）

9.赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y=-L2.当

25

水面离桥拱顶的高度DO为4,“时，水面宽度AB为m.

10.某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽A8=1.6m,涵洞顶点。到水面的距

离为24”，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是

11.在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x,

若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是.

12.如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cs,3cm,

其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm小球滚动的区域（空白区域）面

积为）3?.则y关于X的函数关系式为：（化简为一般式）.

13.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间f（单位：秒）的函数解析式是s

=60「1.5落则飞机停下前最后10秒滑行的距离是米.

14.如图，在足够大的空地上有一段长为。米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形

菜园4BC。，己知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a=30米，则

矩形菜园ABCD面积的最大值为.

墙

三.解答题（共6小题）

15.某服装店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，当销售价为120元时，每天可售

出20件，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件.

（1）设每件服装降价x元，若平均每天盈利1050元，求x的值；

（2）设此款服装每天可盈利y元，求y的最大值.

16.要将一个一条边长为xcm周长为80c/n的矩形纸片ABCD的四角各剪去一个小正方形,

折叠成一个高为4c〃?的无盖纸盒（粘合部分面积忽略不计）.

（1）求这个无盖纸盒的容积V与原矩形纸片的一边长x之间的函数关系；

（2）这个无盖纸盒的容积y是否存在最大值？如果有最大值，求出该值，并求出此时x

工cm

17.某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后

每年可创利33万元，但使用8年后生产线报废该生产线投产后，从第1年到第x年的维

修、保养费用累计为y万元，且'=一+灰，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年

的为4万元.

（1）求a的值；

（2）小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能赢利100

万元.你认为这个判断正确吗？请说明理由.

18.如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽。4=8,〃,

桥拱顶点B到水面的距离是4〃?.

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为1.2,"的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点04〃时，桥下

水位刚好在OA处，有一名身高1.68/W的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶

是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）.

①②

19.突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时某商场经过市场调查，整理

出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表：

第x天售价/（元/件）日销售量/件

1WXW30x+40100-2x

已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元.

（1）y与x的函数关系式为；

（2）在销售该商品的第几天时，日销售利润为2250元？

（3）当售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润为多少？

20.北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际

问题.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台

终点A作水平线的垂线为），轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线Ci：y=

-二^2+40近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点

480

滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=公+c运动.当运动员运动到离A处的水平

120

（2）求抛物线C2所对应的函数表达式.

（3）当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山

坡C1的竖直距离为10米？

2021-2022学年人教新版九年级(上)数学寒假作业(四)

参考答案与试题解析

选择题(共8小题)

1.今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增.某药店一月份销售量是

5000枚，二、三两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x,则该药店三月份销售口

罩枚数y(枚)与x的函数关系式是()

A.y=5000(1+x)B.y=5000(1+x)2

C.y=5000(1+x2)D.y=5000(1+2%)

【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】设出二、三月份的平均增长率，则二月份的市场需求量是5000(1+x),三月份

的产量是5000(1+x)2,据此列函数关系式即可.

【解答】解：该药店三月份销售口罩枚数y(枚)与x的函数关系式是：y=5000(1+x)

2

故选：B.

【点评】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数，解题的关键是正确列出二次函数关

系式.原来的数量为“，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调

整到aX(1+x),再经过第二次调整就是aX(1+x)(1+x)=a(l±x)2.增长用“+

下降用“-

2.据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GAP总值约为2.4千亿元人民币，若

我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度G3P增长的百分率为x,则.y

关于x的函数表达式是()

A.y=2.4(l+2x)

B.y=2.4(1-x)2

C.y=2.4(1+x)2

D.y=2.4+2A(1+x)+2.4(1+x)

【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x,第二季度季度GDP总值约为2.4(1+x)

元，第三季度GZ)尸总值为2.4(1+x)2元，则函数解析式即可求得.

【解答】解：根据题意得，

y关于x的函数表达式是：y=2.4(1+x)2.

故选：C.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题

关键.

3.某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管

的水平距离为工米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(

)

2

A.y=-(x--1)2+3B.y=-3(x+A)2+3

22

C.y=-12(x--L)2+3D.y=-12(x+工)2+3

22

【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

【分析】待定系数法求解可得.

【解答】解：根据题意设函数解析式为y=a(x-1)2+3,

2

将点(0,0)代入，得：2a+3=0,

4

解得：a=~12,

・•・函数解析式为y=-12(x-1)2+3,

2

故选：C

【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

4.在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-2/+法+。的一部分(如

4

图)，其中出球点B离地面。点的距离是1〃?，球落地点A到。点的距离是4,小那么羽

毛球到达最高点时离地面()

X

A.空米B.空米C.9米D.3米

41642

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】用待定系数法求出函数解析式，根据解析式的顶点式得出函数最大值即可.

【解答】解：根据题意，将点A(4,0)、点8(0,1)代入y=-

4

得：14+4b+c=0,

1c=l

\J.

解得：4,

c=l

函数解析式为y=-Jg+Mr+l=-A(x--)之+2殳，

444216

...当x=2•时，y取最大值为空，

2-16

羽毛球到达最高点时离地面骂"，

16

故选：B.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质求最值是解题的关键.

5.在边长为底的正方形ABCD中，对角线AC与BO相交于点O,P是8。上一动点，过

P作EF//AC,分别交正方形的两条边于点E,F.设BP=x,/\OEF的面积为y,当1

VxV2时，y与x之间的关系式为()

B

A.y=-/+xB.y=-

22

C.y=-x^+3x-2D.y=x2-3x+2

【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】根据正方形的性质求出AC=BD=2,0B=0D=1BD=\,当1cx<2时，P

2

在0。上，由E尸〃AC,可得△OEFS/VJAC,根据相似三角形对应边成比例求出EF=4

-2%,再根据三角形的面积公式即可求出y与x之间的关系式.

【解答】解：•.•四边形ABCQ是正方形，边长为企，

：.AC=BD=2,OB=OD=^BD=\,

2

设BP=x,△OEP的面积为y,当1cx<2时，P在0。上，

'CEF//AC,

."./XDEF^^DAC,

工EF：AC=DP：OD,

g|JEF：2=(2-x)：1,

：.EF^4-2x,

.•.y=2E『OP=Lx(4-2x)(x-1)=-，+3x-2,

22

故选：c.

【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，相似三角形的判定与性质，三角

形的面积，根据x的取值范围判断P在。。上，进而利用数形结合是解答本题的关键.

6.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子0A,0恰为水面中

心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径

落下.在过0A的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y(m)与

水平距离x(/«)之间的关系式是y=-7+2x+3,则下列结论错误的是()

A.柱子OA的高度为3,“

B.喷出的水流距柱子1"?处达到最大高度

C.喷出的水流距水平面的最大高度是3%

D.水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】根据题目中的二次函数解析式可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以

解答本题.

【解答】解：Vy=-/+2r+3=-（x-1）2+4,

...当x=0时，y=3,即。4=3〃?，故A选项正确，

当x=l时，y取得最大值，此时y=4,故8选项正确，C选项错误，

当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故。选项正确，

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质

和数形结合的思想解答.

7.如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形.现测得当水面宽时，涵洞顶点与水

面的距离是2%这时，离开水面1.5巾处，涵洞的宽OE为（）

A..?立.B.-4立.C.0.4D.0.8

55

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识.

【分析】根据图象，先设出抛物线的解析式，然后根据题意可以得到点A的坐标，代入

抛物线解析式，即可求出抛物线的解析式，然后再将点。的纵坐标代入，即可得到点E

和点。的横坐标，从而可以求得OE的长.

【解答】解：设该涵洞的截面边缘对应的抛物线解析式为

当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离是1m.

...点A的坐标为(-0.8,-2),

-2=aX(-0.8)2,

解得。=-25,

8

物线解析式为丫=-至已

8

由题意可知点。的纵坐标为：-(2-1.5)=-0.5,

当尸-0.5时，

-0.5=-"2,

8

解得X--0.4或x=0.4,

二点。的坐标为(0.4,-0.5),点E的坐标为(-0.4,-0.5),

：.DE=0.4-(-0.4)=04+0.4=0.8,

故选：D.

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解

析式.

8.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大

程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度

为80米，高度为200米.则离地面150米处的水平宽度(即CD的长)为()

图①图②

A.40米B.30米C.25米D.20米

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面

直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再把y=150代入函数解析式则可

知点C、。的横坐标，从而可得CQ的长.

【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段A8的垂直平分线所在的直线为y轴建立

平面直角坐标系：

(-40,0),B(40,0),E(0,200),

设外侧抛物线的解析式为y=a(x+40)(x-40),将(0,200)代入，得:

200=a(0+40)(0-40),

解得：0=-工，

8

内侧抛物线的解析式为y=-Xr+200,

8

将y=150代入得：-竺+200=150,

8

解得：x=±20,

AC（-20,150）,D（20,150）,

***CD=40机，

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是

解题的关键.

二.填空题（共6小题）

9.赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为y=-工2.当

25

水面离桥拱顶的高度DO为4,“时，水面宽度AB为20m.

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；运算能力.

【分析】根据题意分别求出点A、3的坐标，计算即可.

【解答】解：由题意得，-4=-2”,

25

解得x=±10,

即点A的坐标为（-10,-4）,点8的坐标为（10,-4）,

这时水面宽度为20〃i,

故答案为：20.

【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关

键.

10.某涵洞是抛物线形，截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6加，涵洞顶点。到水面的距

离为2.4m,在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是\=-生.

----------4-

【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y=af.根据48=1.6,涵洞顶点。

到水面的距离为2.4m,那么A点坐标应该是(-0.8,-2.4),利用待定系数法即可求解.

【解答】解：设函数关系式为

4点坐标应该是(-0.8,-2.4),

那么-2.4=0.8X0.8Xa,

即a=-耳

4

故答案为：y=-&.

4

【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题中的信息得出函数经过的点的坐

标是解题的关键.

11.在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x,

若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是v=-4f+8x.

【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】先表示出小正方形的边长，再根据剩下阴影部分部分的面积=大正方形的面积

-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可.

【解答】解：；在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部

分的宽度均为X,

小正方形的边长为2-2x,

根据题意得：y=22-(2-2r)2,

整理得：y--4X2+8X.

故答案为：y=~+8X.

【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正

方形的面积-小正方形的面积列式是解题关键.

12.如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5a*,3cm,

其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为XC7”,小球滚动的区域（空白区域）面

积为）s?.则y关于x的函数关系式为：y=/-8x+15（化简为一般式）.

【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

【专题】函数及其图象；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力；应用意识.

【分析】通过平移将空白区域转化为长为（5-x）cm,宽为（3-X）“"的长方形的面积

即可.

【解答】解：由题意得，

y=（5-x）（3-x）—x1-8x+15,

故答案为：y—x2-8x+15.

【点评】本题考查函数关系式，掌握矩形面积、空白区域面积、阴影部分面积之间的关

系是解决问题的前提，通过平移将空白区域转化为长为（5-x）cm,宽为（3-x）c机的

长方形是解决问题的关键.

13.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间f（单位：秒）的函数解析式是s

=60L1.5凡则飞机停下前最后10秒滑行的距离是150米.

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】根据二次函数的解析式求得其对称轴即可得出飞机滑行所需时间为20秒，再求

出前10秒飞机滑行的距离即可.

【解答】解：：S=60L1.5»=-3（/-20）2+600,

2

-l<0,抛物线开口向下，

2

二当t=20时,s有最大值,此时$=600,

飞机从落地到停下来共需20秒，

飞机前10秒滑行的距离为：si=60X10-1.5X1（）2=450（米），

...飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600-450=150（米），

故答案为：150.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一

般式写成顶点式是解题的关键.

14.如图，在足够大的空地上有一段长为“米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形

菜园ABC3,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若。=30米，则

矩形菜园ABCD面积的最大值为1050平方米.

墙

BC

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；推理能力.

【分析】设为x米，则2C=(100-Zx)米，由含x代数式表示出菜园面积，再将解

析式配方求解.

【解答】解：设A8为x米，则8C=(100-2%)米，矩形菜园ABC。面积为y.

由题意得：y=x(100-2x)=-2(x-25)2+1250,

V0<100-2x<30,

，35Wx<50

...当x=35时，y=-2X(35-25)2+1250=1050为最大值，

故答案为：1050平方米.

【点评】本题考查二次函数最值问题，解题关键是熟练掌握二次函数求最值方法.

三.解答题(共6小题)

15.某服装店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，当销售价为120元时，每天可售

出20件，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件.

(1)设每件服装降价x元，若平均每天盈利1050元，求x的值；

(2)设此款服装每天可盈利y元，求)，的最大值.

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识.

【分析】(1)根据题意，可以得到方程(120-X-80)X(20+2x)=1050,然后求解即

可；

(2)根据题意，可以得到了=(120-JC-80)X(20+2x),然后将该函数解析式化为顶

点式，再根据二次函数的性质，即可得到y的最大值.

【解答】解：(1)由题意可得，

(120-X-80)X(20+2%)=1050,

解得xi=5,X2—25,

即x的值是5或25；

(2)由题意可得，

y=(120-x-80)X(20+2JV)=-2(x-15)2+1250,

.•.当x=15时，y取得最大值，此时y=1250,

即y的最大值是1250.

【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，

列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答.

16.要将一个一条边长为比〃?，周长为80««的矩形纸片ABCD的四角各剪去一个小正方形，

折叠成一个高为的无盖纸盒(粘合部分面积忽略不计).

(1)求这个无盖纸盒的容积V与原矩形纸片的一边长x之间的函数关系；

(2)这个无盖纸盒的容积V是否存在最大值？如果有最大值，求出该值，并求出此时x

xcm

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】(1)由一条边长为xcvn,周长为80c/n得邻边为(40-x)cvn,即得V=4X(x

-8X40-X-8)=-4/+160X-1024；

(2)根据V=-4?+160x-1024=-4(x-20)2+576即可得到答案.

【解答】解：(1)一条边长为XCTM,周长为80cm,

邻边为(40-x)cm,

根据题意可得：

V=4X(x-8)*(40-x-8)=-4?+160x-1024,

...无盖纸盒的容积V与原矩形纸片的一边长x之间的函数关系为:-4?+160x-1024：

(2)存在，

VV=-47+160x-1024=-4(x-20)2+576,

且-4<0,

：.x^20cm时，丫取最大值576c/.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出二次函数关系式.

17.某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后

每年可创利33万元，但使用8年后生产线报废该生产线投产后，从第1年到第x年的维

修、保养费用累计为y万元，且卜=一+法，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年

的为4万元.

(1)求“的值；

(2)小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能赢利100

万元.你认为这个判断正确吗？请说明理由.

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】(1)根据条件解方程组易得解析式；

(2)列出利润的表达式，分别代入x=4,x=8即可得到答案.

【解答】解：(1)由题意，x=l时，y=2,

x=2时，y=2+4=6,分别代入>=/+区，

得卜+b=2,

I4a+2b=6

解得：卜=1,

lb=l

.".y=jr+x；

(2)设g=33x-100-W-x,

贝Ug=-?+32x-100=-(x-16)2+156,

由于当1WXW16时，g随x的增大而增大，

故当x=3时，g=-(x-16)2+156=-13<0,

当x=4时，g=-(x-16)2+156=-(4-16)2+156=12>0,即第4年可收回投资；

当x=8时，g=-(x-16)2+156=-(8-16)2+156=92<100,即报废前不能赢利100

万元.

，小敏同学判断错误.

【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解此类题的关键是根据题意确定

出二次函数的解析式，实际问题中自变量X的取值要使实际问题有意义，因此在求二次

函数的最值时.

18.如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽。4=8〃7,

桥拱顶点B到水面的距离是4m.

(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

(2)一只宽为1.2机的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点04”时，桥下

水位刚好在OA处，有一名身高1.68机的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶

是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平).

①②

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识.

【分析】(1)根据题意结合图象可以求出函数的顶点8(4,4),先设抛物线的顶点式)，

=a(x-4)2+4,再根据图象过原点，求出。的值即可；

(2)先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出)，的值，然后和1.68比较

即可.

【解答】解：(1)如图②，由题意得：水面宽OA是8〃?，桥拱顶点8到水面的距离是4〃?，

结合函数图象可知，顶点B(4,4),点O(0,0),

设二次函数的表达式为y=a(jc-4)2+4,

将点。(0,0)代入函数表达式，

解得：-1,

4

，二次函数的表达式为/=-A(x-4)2+4,

4

即>>=-1_/+2^(0WxW8)；

4

（2）工人不会碰到头，理由如下：

•.•小船距。点0.4〃?，小船宽1.2机，工人直立在小船中间,

由题意得：工人距。点距离为0.4+JLX1.2=1,

2

...将=1代入y=--kx2+2x,

4

解得：y=—=1.75

4

V1.75w>1.68m,

...此时工人不会碰到头.

【点评】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键.

19.突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时某商场经过市场调查，整理

出某种商品在某个月的第x天与日销售量的相关信息如下表：

第X天售价/（元/件）日销售量/件

1«0x+40100-2x

已知商品的进价为20元/件，设该商品的日销售利润为y元.

（1）y与x的函数关系式为产-zAbOx+ZOOO；

（2）在销售该商品的第几天时，日销售利润为2250元？

（3）当售价为多少元时，日销售利润最大？最大利润为多少？

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；

（2）根据（1）中所得关系式，把y=2250代入即可求解；

（3）根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）根据题意，得丫=（100-2x）（x+40-20）,

即产-2?+60%+2000；

故答案为：y=-2?+60A+2000;

（2）依题意得：-2?+60十+2000=2250,

整理得：?-30x+125=0,

解：xi=25,12=5,

即第5天或第25天时，日销售利润为2250元；

（3）由产-2?+60^+2000=-2（x-15）2+2450,

即当x=15时，日销售利润有最大值为2450元，

此时，售价应为15+40=55元.

答：当售价为55元时，日销售利润最大，最大利润为2450.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利用

函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际

选择最优方案.

20.北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际

问题.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台

终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线Ci：y=

--±^r2+40近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点

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滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-^^+bx+c运动.当运动员运动到离A处的水平

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