2021-2022学年山西省临汾市城西中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年山西省临汾市城西中学高三数学理联考

试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知双曲线一/=1的渐进线方程为y=0,则m=()

11

A.3B.9C.3D.9

参考答案：

D

显然m>0,令mx2-y2=o,则#=土标x,因为双曲线mx'-y?=工的渐进线方程

为，=±3》，则m=9；故选D.

点睛：研究双曲线的渐近线的方法往往是先确定焦点坐标，再去确定渐近线的形式，比较

容易出现错误，记住下列结论可较好的避免错误：

①双曲线h'+nya=<。)的渐近线方程为mx"+叼产=。6»<0).

②以二±工=。为渐近线的双曲线方程可设为涓=4a*°1

2.设x,y为正数，且(x-DST)=4,则()

A.0<x+”6B,x+”6

c.x+y之1+jD.0<x+y/i+/

参考答案：

B

略

3.函数/8)=〃-4+m的零点一定位于下列哪个区间

A.(1,2)B.(2,3)C,(3.4)D.(45)

参考答案:

A

4.如右图所示，在一个边长为1的正方形/仍。内，曲线丁=/和曲线尸=石围成

一个叶形图（阴影部分），

向正方形/次内随机投一点（该点落在正方形

力如。内任何一点是等可能的），则所投的点落在

叶形图内部的概率是（）

AD

参考答案：

D

5.求曲线¥=/与所围成的图形的面积s,正确的是（）

CS4俨心D$炖⑸◎

参考答案：

A

6.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）

A.60个B.48个C.36个D.24个

参考答案:

B

考点：分步乘法计数原理.

分析：偶数即个位数字只能是2或4

解答：解：偶数即个位数字只能是2或4,其它位置任意排放共有

Cj?Aj=2X4X3X2X1=48个

故选B

点评：分步乘法计数原理的理解，偶数怎样选，注意没有0；当然也可以用概率解答.

j■—）

7.要得到函数厂财，的图像，只需将函数3的图像（)

<

A.向右平移6个单位B.向右平移三个单位

与

c.向左平移个三单位D.向左平移6个单位

参考答案:

A

略

8.已知是函数—（加十】）的图象与X轴的两个不同交点，其图象的

顶点为R，则3尸0夫面积的最小值是（）

_S/2

A.1B.j2c.2\'2D.“

参考答案：

A

略

9.已知函数/。）=2*-2,则函数y="（幻1的图象可能是（

)

参考答案：

B

lO./xTbgzX是集合/到对应的集合»的映射，若4=(124),则等于()

A.WB.{2}C.{1胃

D(L4}

参考答案：

C

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.方程J/2=k(x_2)+3有且只有一个实根，则k的取值范围

是.

参考答案：

53

k=12或k>Z

考点：根的存在性及根的个数判断.

专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；直线与圆.

分析：作函数丫=近彳-3与函数y=k(x-2)的图象，由图象求出斜率的临界值，从

而写出k的取值范围即可.

解答：解：作函数y=J4-x2-3与函数y=k（x-2）的图象如下,

圆心（0,-3）；

①当直线与半圆相切时，即直线为L时,

|-2k+3|

Vl+k2=2；

5

解得，k=五；

0-（-3）3

②当直线为12时，k=2-（-2）=4,

③当直线为L,时，k不存在；

结合图象可知，

53

k=12nKk>4；

53

故答案为：k=五或k>4

点评：本题考查了数形结合的思想应用及直线的斜率的求法应用，属于中档题.

(d-3)x+5,x<1

"加工>1

12.已知函数.x是(-co.xo)上的减函数，那么a的取值范围

是

参考答案：

(0,2]

略

X)1

'代a

13.已知2>1,实数x,y满足x-KO,若目标函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值

为.

参考答案：

2

【考点】简单线性规划.

【分析】作出不等式组表示的可行域，将目标函数变形丫=-*+2,判断出Z表示直线的纵

截距，结合图象，求出k的范围

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示

•••y=-x+z,则z表示直线的纵截距

做直线L：x+y=O,然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C(a,a)时，z

最大

此时z=2a=4

：.a=2

故答案为：2.

x>l

x-2y+3>0

14.已知%y满足条件l/2x,则玄-41y的最大值为

参考答案:

15.设1为虚数单位，则】+t+i-'+?4?=

参考答案:

因为产+产“+产♦、产4=0。所以］+j+产+...+产=1七+产=j

16.给出下列命题：

xJ+2x-3,

/(*)='x-l，(X>T)

①若函数gx+L(x'l)在点x=1处连续，则a=4；

②若不等式忸"对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范

围是】<4<3；

③不等式(X_2)卜2_以-8R0的解集是｛x［万之2)

其中正确的命题有.(将所有真命题的序号都填

上)

参考答案：

①②

r1

17.已知f(x)=3X2+2X+1,若」-If(x)dx=2f(a),贝I」a二.

参考答案：

-1或5

【考点】定积分.

【分析】先求出f(X)在［-1,1］上的定积分，再建立等量关系，求出参数a即可.

【解答】解：/.,'f(x)dx=/-,l(3X2+2X+1)dx

=(x:i+x2+x)|-i'=4=2f(a),

f(a)=3a2+2a+l=2,

11

解得a=-l或瓦故答案为-1或巨

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本题满分12分)已知锐角迎给中的三个内角分别为儿及。.

(I)设就直=丽施，求证AA5C是等腰三角形；

r.banr0|cos2C,2cos,^-l|-_anA=-

(ID设向量$(2防。.73］,12且s〃九若3,求

$in(--5)

3的值.

参考答案：

(D因为就石=而i同厮以方i(而-淳)=0,又获♦而+以-0,(2

分）所疝--还+所.所以-（75♦丽（而-丽所以启-而（4

分）所以1彳百「•修忑p,即卜|8。|,故△/回为等腰三角形.（6

分）

--2sinC（2cos2--1）=-V3co$2C…仁…

（II）・.・s//I,・・・2,Asm2C--5/3co$2C,即

tan2c・・6・・•C为锐角，.•./仲），..产=等，..°=?

（2分）

5m

/4-B...呜卜Hl

|/2j2

mX--4OK4«—

又3,且力为锐角，••.3,（4

分）

suif--B|-sm[A--Usn^cos--cos^sin"«：'-

/.13Jk3j336（6分）

19.平面图形944cle如图4所示，其中34cle是矩形，3c=2.骐=4,

AB=AC=&,

4为=44=有。现将该平面图形分别沿3c和反射折叠，使&®与M瓦G所在

平面都

与平面"51cle垂直，再分别连接M.84.C&得到如图2所示的空间图形，对此

空间图形解答

下列问题。

(I)证明：阳上次7；(H)求例的长；

(in)求二面角力-3C-4的余弦值。

参考答案：

(I)取8c.用G的中点为点。.q,连接/o.oq.AQAq

则AB=AC^AOLBC,面阕(7工面=A0_1_面84。。

同理：4/，面8反。】。得：4。"4°1=40・4，Q共面

又丝，3(7.。4口4。=0=3(7J•面0MJ>5C

(n)延长4Q到。，使0】D=。/得:O^fJOA=>ADfJOOy

00)LBC,面44cl«L面3女。1。=8］，面4片附=4。上面

43

M=JM+%'=&+(2+11=5

(Ill)4O•LBC,40"L8C=乙4。4是二面角力_BC^_4的平面角

在Rtxoo6中，4。=J困+40?=Jd+i=2/

/ACA_Q+A02一醒75

在火心。<4中，8$4—-2加」4。~~"T

.更

得：二面角4-EC-4的余弦值为5。(Ibylfx)

20.已知函数fa)-21nx-P+妆(awR).(I)当时，求/(K)的图象在x=l处的

J.

切线方程；(n)若函数虱x)=/*)-c+m在1'°上有两个零点，求实数牌的取值范

围；

(m)若函数/a)的图象与1轴有两个不同的交点4fo>0),且

求证："2(其中/'(D是其外的导函数).

参考答案：

(I)当。=2时，/(x)-2tar-?+2r；Ar)---2x+2切点坐标为⑺，

切线的斜率上=JF>=2,则切线方程为3-1=五工7),即了=2x-l2分

八2c-2(x+lYi-D

(II)侬・加X・X*+JB,则一,丁x,

故屋(1)=0时，1=1.当2<*"时，g'O。；当l<x<e时，g'(x)<Q.

故泰力在x-l处取得极大值=4分

又4=*2-5虱e)・"2*,g(e)-g(l)=4-e>+1<0则侬<尺)，

.♦.式x)在〔96上的最小值是乳©.6分

虱x)在可上有两个零点的条件是式一）-2-FSQ,1<WIW2+F

e尹解得e»

。2+口

，实数E的取值范围是8分

(III)•••人垃的图象与X轴交于两个不同的点内片°>一眄

pln^-xj+吗=0,

方程2111r・r'+or-0的两个根为力。，则1，映-启+的-0.两式相减得

/.如14-In%))A

4.(应♦Xj)------------------4、1C(x)二一一2x♦a

Ki-X,又/OO—kix-x1+叫J⑴xa,则

了,(空)・a+4)+Q・_£__23厂X)

2Jtj+Xj*i+4'一与

」--炯3)＜0贴二—r-A

下证％+、*.-s(*),即证明,,十%，,，。

cu(O*2。+Inf＜Q

•••05＜匕，即证明,r+1在。々＜1上恒成立,10分

「—广tt(f所可,xo<t<l,,-.uV）>0,

2(4-Q+比，1＜Q

.•.u(f)在(Q.D上是增函数，则如)＜四)=0,从而知

-i）＜0

故（*）式＜0,即'2/成立......12分

略

21.(13分)

已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点.

(I)写出AOBC的重心G,外心F,垂心H的坐标，并证明G,F,H三点共

线.

(II)当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.

参考答案：

解析：(I)解：由aOBC三顶点坐标0(0,0),B(1,0),C(b,c)

(c#0),可求得

G(—.-)(1b-6=1

重心33,外心F2&,垂心3.当2时，

G,F,H三点的横坐标均为5,故三点共线；当“5时，设G,H所在直线

的斜

率为生"，F,G所在直线的斜率为七种.因为

c_b-b^

ca+362-36

c(l-2b)

cb'+c'-b

k—丁勿_/+»,_〃

xb+l1-«l-»)

-2,所以4H=G,F,H三点共线.

综上可得，G,F,H三点共线.

c1-3b1

(H)解：若FH//OB,由得歌

配方得24空审，即夕亭('斗…

1更

所以，顶点C的轨迹是中心在（5,0）,长半轴长为2,短半轴长为

1

2,且短

,亘2

轴在X轴上的椭圆，除去（0,0）,（1,0）,（2,T）,（2,-

更

2）四点.

/（X）=O-----（X€R）

22.设《是实数，-2"+1。

（1）若函数/（X）为奇函数，求。的值；

（2）试证明