2021-2022学年北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步训练试卷（含答案详解）

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步训练

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，将回放在每个小正方形的边长为1的网格中，点4B,C均在格点上，则N/J的正切值

是（）

C.2D.7

CP1

2、如图，在AABC•中，ZABC=135°,点、P为4c上一点、,且/PBA=90。，—贝han/APB的值

为（）

A.3B.2D.73

2

3、在△/回中，ZC=90°,BC=2,sinA=-f则边47的长是（）

A.6B.3aiD.VB

式子专sin45°+V12sin60°

4、-2tan45°的值是（）

A.2&-2B.2C.273D.2

2

5、如果直线y=2x与X轴正半轴的夹角为锐角a那么下列各式正确的是（）

1

A.sina=—B.COS6Z=-C.tana=—D.cota=—

2222

6、已知某水库大坝的横断面为梯形,其中一斜坡AB的坡度i=l：G，则斜坡AB的坡角。为

）

A.30°B.45°C.60°D.150°

7、学习了三角函数的相关知识后，小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度.如图，小丽先

在坡角为30。的斜坡AB上的点4处，测得树尖£的仰角为15。，然后沿斜坡走了10米到达坡脚8处,

又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚。处，大树所在斜坡的坡度i=3:4,且大树与坡

脚的距离8为15米，则大树EO的高度约为（）

（参考数据：sin15。p0.26,cos15。p0.97,tan15。右0.27,6土1.73结果精确到0.1）

A.10.9米B.11.0米C.6.9米D.7.0米

8、在中,ZC=90°,BC=3,AC=4f那么cosZ?的值等于（）

33

A.D.

4B-ic-?5

9、在科学小实验中，一个边长为30cm正方体小木块沿着一个斜面下滑，其轴截面如图所示.初始状

态，正方形的一个顶点与斜坡上的点P重合，点P的高度用=40加，离斜坡底端的水平距离用■=

80cm.正方形下滑后，点8的对应点*与初始状态的顶点力的高度相同，则正方形下滑的距离（即

A4,的长度）是（）cm

D.4075

10、如图，AABC的顶点都是正方形网格中的格点，贝Ijsin/8AC=（）.

2

r回

35

第II卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，如果小华沿坡度为1:6的坡面由力到6行走了8米，那么他实际上升的高度为米.

B

2、在/中，ZO90°,如果cosag,AO2,那么的长为—

3、如图，在矩形4%/中，AB=4,60=3,将△M2沿射线6〃平移长度a(a>0)得到△//C〃，连

接/S,A0,则当△/夕”是直角三角形时,a的长为

4、等腰AMC‘底角是3。，面积是竿,

则AABC的周长是

5、如图，中，BA=CB=AD,AACD=Z^,tanABAC^1,切=66+8,则线段比1长度为

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)

1、在中，4,是宛边上的高，NCM5°,sinB=-,AD=\,求8c的长.

2、为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地力和人工智能科技馆C参观学

习，如图所示，学校在6处，/位于学校的东北方向，，位于学校南偏东30。方向，C在/的南偏西

15°方向（32+326）km处，学生分成两组，第一组前往4地，第二组前往C地，两组同学同时从

学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h,第二组乘公交车，速度是32km/h,哪组学生先到达目的

地？请说明理由（结果保留根号）.

3^计算：花-（乃-应）-2cos450+1-4|.

4、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在力处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后

在8处观察到电视塔在北偏西53度的方向上.已知电视塔C距离公路46的距离为300米，求小明的

徒步速度.（精确到个位，sin37°«0.6,cos37°»0.8,sin53°«0.8,cos53o«0.6,tan37°®0.75,

tan53°®1.3）

北

5、如图，在平面直角坐标系中，直线y=Ax-34交才轴于点6,交y轴于点/,tanNn60=2.

(1)求衣的值;

(2)点G为线段四上一点，过点G作交y轴正半轴于点C,若点G的横坐标为t,线段0C

的长为d,求d与力之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长GC交x轴于点〃，连接优；在a'上截取8〃=0C,尸为第一象

限内一点，且必，x轴，连接两点后在第三象限，连接4反BE、DE,若4CB0=2NFHB,

NAEB+乙0BC=9Q：且小=。，DE="员,求点£坐标.

48

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解.

【详解】

解：连接做,

则蝌应，AD=2-

故选D.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜

边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键.

2、A

【分析】

过点、P作PD〃AB交BC于点、D,因为NABC=135。，且NPB4=90。，则tanN必方tan45°=1,得出

CP1

PB=PD,再有弁=不，进而得出tan/4力的值.

Iz.

【详解】

解：如图，过点P作交BC于点。，

，△CP4ACAB,

.ACAB

'~PC~7D

c

D

VZABC=135°,且ZPB4=90。，

：・ZPBD=45。,

/.tanZ.PBD=tan45°=1,

PB=PD,

又♦匹-

•.•AC一_3.,

PC

.,/.DRABABAC2

..tanNAPB=——===3.

PBPDPC

故选A.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行

求解.

3、A

【分析】

先根据比‘=2,sin/=12■求出的长度、，再利用勾股定理即可求解.

【详解】

解：Vsin/f=4l=--BC=2,

A83

：.AB=3,

•*-AC=JAB2-8c2=收一寸二石,

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦的定义、勾股定理等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键.

4、B

【分析】

先分别求解特殊角的三角函数值，再代入运算式进行计算即可.

【详解】

解：芋sin45°+V12sin60°-2tan45°

=—?—2>/3?—2?1

222

=-+3-2

2

=3

-2

故选B

【点睛】

本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，正确的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.

5、D

【分析】

在直线厂2x上任取一点尸（a,2a）,过点。作x轴的垂线，垂足为点8,则可求得a的正余弦、正

余切值，从而可得答案.

【详解】

如图，在直线产2x上任取一点尸（a,2a）,过点/作x轴的垂线，垂足为点6

则05=|a|,如=2|a|

由勾股定理得：OP=yiOB-+PB-=yla2+4a2=45\a\

_PB_2|a|_26OB

在直角△〃如中，sinCX~'OP~45\a\~~Tcosa=——=-旦-*

OP6同5

PB2h|cOB2

tana----==一=2,COt£Z=------=

OB\a\PB2

故选项D正确

故选：D

【点睛】

本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x轴

的垂线得到直角三角形.

6、A

【分析】

直接利用坡角的定义得出答案.

【详解】

解：•••某水库大坝的横断面是梯形，其中一斜坡AB的坡度，=1:退,

•••设这个斜坡的坡角为。，

1百

故tanCL=—f==—，

G3

故。=30°.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意正确得出坡角与坡比的关系.

7、D

【分析】

过点/作加，口交口延长线于点G,过点/作力心必交"的延长线于点凡延长况■交项的延

长线于点〃，可知四边形/做为矩形，解直角三角形/断得4户5,上56，解直角三角形削得

隧9,CH=12,从而得到4G,再通过解直角三角形4龙求得旄的长，进一步得出结论.

【详解】

解：过点/作切交功延长线于点G,过点［作力吐龙，交”的延长线于点尸，延长"交功

的延长线于点〃，如图，

则四边形4/部为矩形，

C.AG^FH,G附AF

在应△/"中，AB=10,Z4BF=30°

?.AF=-AB^-x]0=5m^GH

22

•*-BF=ylAB2-AF2=>/102-52=5痒8.65m

DH3

在应△O®中，—=-,CD=15m

CH4

可设DH=3xm,CH=4xm

由勾股定理得，CH2+DH-=CD2

，(3x)2+(4x)2=]52

解得，x=3

ADH=9m,CW=12m

Z.DG=DH-GH=9-5=4m

：.AG=FH=8.65+20+12=40.65m

EG

在灯中，tan15°=—

AG

：.EG=AG.tan15°=40.65x0.27®10.98m

ED^EG-DG^10.98-4=6.98»7.0m

故选：D

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答

此题的关键.

8、D

【分析】

根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可.

【详解】

解：如图，•.,在RtZU6C中，NO=90°,BC=3,AC=4,

AB=\IAC2+BC2^5>

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键.

9、B

【分析】

根据题意可得：4与3'高度相同，连接AB，，可得他，〃砂，利用平行线的性质可得:

WAA-PEF,根据正切函数的性质计算即可得.

【详解】

解：根据题意可得：/与夕高度相同，如图所示，连接

.".AB'/ZEF,

：.ZB'AA=NPEF,

PF1

，tanZB'AA'=tanNPEF=——=-,

EF2

.,,A'B'301

..tanZBnlAAA=-----=——=-

A4'A4'2

A4'=60,

故选：B.

【点睛】

题目主要考查平行线的性质及锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数的性质是解题关键.

10、D

【分析】

根据题意和图形，可以得到/G6c和的长，然后根据等面积法可以求得必的长，从而可以得到

sinNB4c的值.

【详解】

解：作5_L/6,交于点。，

由图可得，

AC=拒不=2亚,BC=2,AB=^42+42=472)

..ABxCDBCx4

'-2---2-

.4必CD2x4

••---------------------,

22

解得，CD=M，

CD6M

・・・sinZBAC=

AC-275"lo"

故选：D.

【点睛】

本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

二、填空题

1、4

【分析】

根据坡度的概念（把坡面的垂直高度h和水平方向的距离1的比叫做坡度）求出/A,根据直角三角

形的性质解答.

【详解】

解:

•+A_1

••tanA—尸=—,

G3

.,.ZA=30°,

.•.上升的高度=^AB=4（米）.

故答案为4.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解

题的关键.

2、6

【分析】

根据余弦的定义可得c°d茄=3,代入止2即可求得加

【详解】

解：如图，

A

BC

vcosA=—=-,AC=2

AB3

.-.AB=6

故答案为：6

【点睛】

,a的邻边

本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，COS6Z=•

斜边

3、工或3

55

【分析】

分两种情况：①如图1,/DA8=90。，②如图2,£AB0=90°,分别作辅助线，构建相似三角

形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值.

【详解】

解：分两种情况：

①如图1,Z/XAB=90°,延长CB交AB于G,过点。作〃HVAB,交BA的延长线于H,

:•/H=/AGB=/BGB=9。°,

・・•四边形］宓9是矩形，

：.ZBAD=ZC=90°,AD=BC=3,

AH

\^anZABD=——

AB需畔H

设耳G=3x,BG=4x,

:.BR=a=5x,

由平移得：D0=BB=5X,

:.DH=3+3x,AH=BG=4x,

:.AG=AB=BG=4-4x,

YNDAB=NHAD+NBAB=9Q°,

NAD聃4HAD=90°,

:.NADH=NGAB,

YNH=NAGB=90°,

/.△//HAs2AGB,

.D,HAH„3+3x4x

..----=----,即a-----=—,

AGB'G4-4x3x

②如图2,NAB0=90°,延长CR交4?于M,则CMLAB,

：.NAME=90°,

由平移得：BC=BC=3,

同理设B腓=3m,BM=4m,则BR=a=5m,

.'.41/=4-4m,

,：NAR附N"BC=90°,NMAB+NAR必=90°,

NDBC=/MAB,

•:NC=NAMB=E0°,

：.XDCBsMBMA,

.CD'B'C'43

••=,Knn|J*=t

MB，AM3m4-4m

/.5=5ZZ7=5X—=

综上，a的值是g或?.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三

角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论.

4、—V3+40

3

【分析】

设腰长为X,则等腰三角形的高为;，底边长为岛，三角形的面积为="述，解得X的

2223

值，进而求出周长2x+6x的值.

【详解】

解：设等腰三角形的腰长为x,高为入山30。=楙，底边长为2xcos3(T=瓜

,16x400—

S=-xV3xx-=------

223

解得了=迪

3

••・周长为2]+氐=述+40

3

故答案为：述+40.

3

【点睛】

本题考查了锐角三角函数值，等腰三角形.解题的关键在于利用三角函数值将边长表示出来.

5、10

【分析】

4

作4d加于点长作施工然于点区首先根据出;/的，=]表示出8E=4x,A£=3x,然后根据等

腰三角形的性质和30°角直角三角形的性质表示出4C和/尸的长度，然后根据勾股定理表示出此和

外的长度，最后根据口的长度列方程求解即可.

【详解】

如图所示，作44%与点凡作施上4c与点色

4

VtanZBAC=-,BELAC

3

，设8E=4x,AE=3x

AB=yjAE2+BE2=5x

：.AD=BC=AB=5x

VAB=BC,BELAC

:.AE=CE=—AC=3x

2

：.AC=6x

FAFIDC,N/W=30°

AF=-AC=3x

2

・・・在向A4C〃中，FC=yjAC2-AF2=3y[3x

，在H/AAZ”7中，FD=\lAD2-AF2=4x

,?DF+CF=DC

，4x+3氐=6石+8,解得：x=2

，8C=5x=10,

故答案为：10.

【点睛】

此题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是

根据题意正确作出辅助线，以及熟练掌握以上知识点和性质定理.

三、解答题

1、2近+1

【分析】

先由三角形的高的定义得出N｛妗//屐90°,再解RtA/ZT,得出小1；解RtA4施,得出4?=3,

根据勾股定理求出劭=2&，然后根据叱断火即可求解.

【详解】

An1

解：•.•tanC=器，gptan45°=—=1,

：.DC=\

•••sin八嗡斗即击4

...仍3

在RtAARD中，AD2+BD2=AB2，

BD=>JAB2-AD2=A/32-12=诋=2y/2

.*BC=BD^D(^25/2+1-

【点睛】

本题考查了三角函数正切和正弦的应用，做题的关键是求出物和加、的长.

2、第二组，见解析

【分析】

过点6作物1.然于〃，在Rt△%9中证得如=勿，设加=x,WOCD=x,在RtZUfi9中，4BAC=

30°,利用三角函数定义表示出力〃的长，在Rt△胸中，利用三角函数表示出切的长，由/分5=

然列出方程问题得解.

【详解】

解：如图，过点6作曲，“■于〃

依题意得,

NBAE=45°，ZJ^=105°,ZCAE=15°,

：.ZBAC=30°,

ZJG?=45°.

在RtABCD中,NBDC=9Q°，//必=45°,

:.NCBD=45°,

：.ACBD=ADCB,

:.BD=CD,

设BD=x,则勿=x,

在"中，N为。=30。,

/.AB=2BD=2x,tan30°—,

AD

.y/3_x

••-=~~~~,

3AD

/.AD—5/3x,

在打△劭C中，ZBDC=90°,NZO=45。,

・•/nrn—BD\/2

••Sin4^DUIJ——9

BC2

：.BC=41X,

,/办/片32+326，

广上x=32+32^.

/.x=32,

AB=2x=64,BC=^BDr+CD1=Vx2+x2=后=32a,

第一组用时：644-40=1.6(/?)；第二组用时：32立+32=0

VV2<1.6,

.•.第二组先到达目的地，

答：第一组用时L6小时，第二组用时近小时，第二组先到达目的地.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，方位角的计算，勾股定理，一元一次方程，解题的关键是学会添加常

用辅助线面构造直角三角形解决问题.

3、72+3

【分析】

根据二次根式的性质、零指数幕的性质、45。的余弦值和绝对值的性质计算即可.

【详解】

解：A/8——>/2j—2cos45°+1—4|

=2^-l-2x—+4

2

=272-1-72+4

=0+3.

【点睛】

本题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、零指数幕的性质、45。的余弦值和绝对值的性

质是解题关键.

4、126米/分钟

【分析】

过C作。，4?于D,则C£>=300米，由解直角三角形求出力〃和劭的长度，则求出48的长度，即

可求出小明的速度.

【详解】

解：过C作C0LA8于。，则C£>=300米，

北

西一卜东

NC4D=90°-37°=53°,

，tanZCAD=tan53°=—«1.3,

AD

仞*231,

同理：BO«400

AB=AD+BD=63\

速度:631+5*126（米/分钟）.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出4〃和政的长度.

5I?2115

5、（1）A=~2；（2）rf=6~—/,0<t<—（3）点/（一~——）.

25988

【分析】

(1)先求出直线y=M-3A交x轴于点6(3,0),妙3,根据三角函数求出tan2=

笠OA=与OA，点/(0,6)利用待定系数法求即可；

On3

(2)过G作G/_Lx轴于L,根据点G的横坐标为t,得出OL=t,以=3-3利用三角函数求出GL=6-

2t,根据勾股定理/比JoT+08?=病百=3百，GB=VGA2+LB2=,J（6-2r）2+（3-r）2=（3-f）

利用线段差求出的=4比除3石-(3一)石=石心再求出cos/勿生丝=一==3叵，得出｛俏%即

'AB3V552

可;

(3)作/咏的平分线交y轴于T,过。作0Q工BT交BC与Q,交BT干V,过6作BSVAE^S,过夕

作以，x轴于点/根据角平分线可得N仍及N必六;NC8。，根据NCB0=2NFHB,得出

/OBF/CBKBO=—x24FHB=4FHB,先证△况g△叱(ASA),得出绛册三，再证

224

315

△仍隹△//(ASA),得出叱姓3,可求给他叱一+3=—，利用勾股定理在RtZ^C如中，00=

44

^BC2-OB2=J^J-32=|)求出&j，可证AOOA-OO^-=j=BC,再证CG为AB的垂直平分

线，可证△?1胡为等腰直角三角形，求出诉/及os45°=34、正=上叵，再证丛EBSsACB0,可求

22

—A./iox-099

BE=2、4=15师,可求少=20仁2x7=5,设区加，JD=0D-0J=--fn,B尸3+m,根据勾股定

38

一（机『解得，〃=?,=］即可.

理J^=DE2-Dr=BE2-BJ2即3+

oo

【详解】

解：（1）・・•直线y=h-3〃交x轴于点氏

当y=0时，产3,

・・・点8（3,0）,如3,

OA

•・•t人anAB0=2-----=—

OB3

.,•好6,

・・・点力(0,6),

♦••点力在直线y=kx-3kh,

：.-3A=6,

：.k=-2；

(2)过G作G£_Lx轴于£,

・・,点G的横坐标为3

/.OLrt,应二3-1,

GLGL

：.tanZAB0=2二一=一,

LB3T

・・・必62,

在中4后辰前7=行工=36，

在RtZ\6Z6中G&=ylGI?+LB2=,J(6-2/)2+(3-/)2=(3-/)75,

GA=AB-G片3亚-。7)亚=R,

'：cosZOAB=—=-^i==—,

AB3小5

...cosZOAB=cosZGAO—=—=—,

A