2021-2022学年上海中学高三（上）期中数学试卷（解析版）

2021-2022学年上海中学高三(上)期中数学试卷

一、填空题

1.不等式log2xW2的解集为.

2.设｛a“｝是各项为正数的等比数列，且43a4=2,则log2a2+log2a5=.

3.设集合｛x层+2x+a=0｝有且只有两个子集，则。=.

4.己知函数yRiii占T(m<0)在(-8,2］上有意义，则实数m的范围

是.

5.已知p：x2-3x-4^0,q：|x-3\^m,若p是q的充分不必要条件，则实数，”的取值范

围是.

6.函数f(x)=上七的最小值是________________.

xl-2x2

7.已知函数f(x)=,:「，则不等式/(x-3)(级)>0的解集为____________.

1+1x1

8.声强级L(单位：dB)与声强/的函数关系式为：L=101g(」75).若普通列车的声

1012

强级是9&/B,高速列车的声强级为4548,则普通列车的声强是高速列车声强的

倍.

9.若存在实常数k和6使得F(x)和G(%)对其公共定义域上的任意实数x都满足；F

(x)^kx+b和G(x)Mkx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“分

隔直线”.已知函数f(x)=-x2(xeR),g(x)=—(x>0),若f(x)和g(x)之

X

间存在“分隔直线”，则b的取值范围为.

10.设函数f(x)=|x+§-ax-b|，若对任意的实数“，。，总存在XQE底，5］使得/(X0)

》机成立，则实相数的取值范围是.

11.如图，函数/(X)的图像由一条射线和抛物线的一部分构成，/(X)的零点为得，若

不等式f(x+序)》/(X)(aW0)对XGR恒成立，则实数a的取值范围

是____________________

12.已知数列｛%｝满足xo=O且取+1|=山.1+2|,依N*,则|xi+X2+X3+…+X2021I的最小值

是.

二、选择题

13.已知在R,则“对任意mbeR,4+b峰kab”是“AW2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14.等差数列｛%｝中，4”S,44为等比数列，则公比为()

A.1或工B.—C.——D.1

222

15.已知a,beR,则“。+回》0”是“函数/(X)=小+1|+冰-1|存在最小值”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件

a2-]

16.已知数列｛%｝满足：当a“WO时，a.=——；当%=0时，a«i=0；对于任意实数

n+12an+

a\,则集合｛"|a”W0,n=\,2,3,…｝的元素个数为()

A.0个

B.有限个

C.无数个

D.不能确定，与“I的取值有关

三、解答题

17.已知关于x的不等式ax2-x+\-aWO.

(1)当。＞0时，解关于x的不等式；

(2)当2WxW3时，，不等式or2-x+1-aWO恒成立，求实数a的取值范围.

18.己知函数/(X)=5-3x,g(x)=3x-2.

(1)若h(x)—\f(x)|-|g(x)I，且力(x)W机恒成立，求实数机的最小值；

(2)若0(x)=@f(x)+Vg(x)，求⑴(x)的值域.

19.科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动

造成的二氧化碳排放所致.应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳

达峰，而后实现碳中和.2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在

2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作

报告明确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展

清洁电能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%,

2021年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%.

(1)设从2021年开始的“(〃CN*)年内火电发电总量为S,亿千瓦时，清洁电能总发电

量为7；亿千瓦时，求S,,7；(约定〃=1时为2021年)；

(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？

20.已知函数y=/(x)的定义域为。，若存在实数a,h,对任意的xe。，有且

使得/(x)V(2a-x)=28均成立，则函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称，反

之亦然，我们把这样的函数/(x)叫做“中函数.

(1)已知“中函数"y=/(x)的图像关于点(1,2)对称，且疣(0,1)时，f()=--

xxX;

求花(1,2)时，函数/(X)的解析式；

(2)已知函数问/(X)是否为“中函数”？请说明理

x+1x+2x+3x+4

由；

(3)对于不同的“甲函数”/(x)与g(x),若/(x)、g(x)有且仅有一个对称中心,

分别记为(〃i,p)和(小q),

①求证：当机=〃时，/(x)+g(x)仍为“甲函数”；

②问：当时，f(x)+gJ)是否仍一定为“中函数”？若是，请说明理由；若不

一定是，请举出具体的反例.

21.若数列｛。“｝满足：存在正整数T,对于任意正整数%均有斯+r=a,成立，则称｛⑥｝为周

’a—l，an>l

期数列，且周期为T,已知数列｛““｝满足切=入(入>0),且a1.

n+1—»0<a<l

lan1n1

(1)若“4=5.请写出所有可能的人的值构成的集合；

(2)对于任意给定的正整数T(TN2),是否存在实数入>1,使得｛““｝是周期为T的数

歹U?若是，请给出符合要求的人的一个值(用T表示)：若不是，请说明理由；

(3)若〃尸入(入€Q,入22),问：数列｛m｝是否可能为周期数列？若是，请给出符合要

求的入的一个值；若不是，请说明理由.

参考答案

一、填空题

1.不等式的解集为(0,4］.

【分析】由题意利用对数函数的定义域和单调性，求得x的范围.

解：由不等式log2xW2=log24可得，0VxW4,

故答案为：(04］.

2.设｛“")是各项为正数的等比数列，且a3a4=2,则logzs+log2a5=］.

【分析】由各项为正数的等比数列通项公式结合对数运算法则得：log2a2+1吟的=1咱35

=log2a3&4=log22,由此能求出结果.

解：•••｛“"｝是各项为正数的等比数列，且a3a4=2,

10g2«2+10g2fl5=10g242a5=log243tt4=log22=1.

故答案为：1.

3.设集合**+2%+4=0｝有且只有两个子集，则〃=1.

【分析】集合｛x|x2+Zr+a=0｝有且只有两个子集，可得:此集合只含有一个元素，即/+2x+a

=0只有一个实数根，可得△=(),解得a.

解：•••集合｛x*+2x+a=0｝有且只有两个子集，

此集合只含有一个元素，即/+2x+a=0只有一个实数根，

.'.△—4-4(7=0,解得a=l,

故答案为：1.

4.已知函数yR^T(irKO)在(-8,2］上有意义，则实数m的范围是.

【分析】问题转化为利x+1N0在(-8,2］上恒成立，求出mx+\在(-8,2］上的最小

值，再由最小值大于等于0求解机的范围.

解：要使函数yf/mx+1(m<0)在(-8,2］上有意义，

则g+120在(-8,2］上恒成立，

•:g(x)=mx+\(;w<0)在(-8,2］上为减函数，

则g(x),nin=g(2)=2m+\,可得2m+120,即-

实数的范围是［V，0）.

故答案为：［1，0）.

5.已知p：x2-3x-4^0,q：-3|W〃z,若p是q的充分不必要条件，则实数机的取值范

围是［4,+8）.

【分析】分别化简不等式，利用p是q的充分不必要条件，得,即可得出

的取值范围.

解：p：x2-3x-4W0=(x+1)(x-4)W0,解得-1

q：\x-3|〈根，解得3-机

・・力是夕的充分不必要条件,

[m+3)4

13-irt^-1解得团24,

则实数机的取值范围是［4,+8）,

故答案为：［4,+8）.

6.函数f（x）=^4TL（o〈x〈］）的最小值是_3+2亚_.

xl-2x2

【分析】由题意得到£6）=工七事=［2乂+（1-2乂）］后-七」=），再利用基本不等式

xl-2x2xl-2x

求解即可.

解：...0<x《...《TMr[2x+(l-2x)]嗫工宏)

=种萨■含=3+2后,

当且仅当2（［2x）=2x时,即x=2z返时等号成立,

2xl-2x2

，函数f（x）=工七一（°<x<!）的最小值是3+2&.

xl-2x2

故答案为：3+2172-

7.已知函数f（x）=«:।，则不等式f（x-3）t/（2x）>0的解集为{x|x>l}.

1+lxl

【分析】先判断f（x）是奇韩式且是R上的增函数，不等式可化为『（X-3）>/（-2r）,

可得x-3>-2x,从而求得它的解集.

解：由题意得了（x）为奇函数，当x>0时，/（x）=3=1-2，

1+xx+1

故/（X）在（0,+8）上是增函数，故它在（-8,0）上也是增函数.

又f（X）=0,故f（X）是R上的增函数.

由不等式/(x-3)+f(2x)>0,可得/(x-3)>f(-2JC),.,.x-3>-2x,解得x>1,

故原不等式的解集为{xb>l},

故答案为：{4X>1}.

8.声强级L(单位：dB)与声强/的函数关系式为：L=101g(一%).若普通列车的声

1012

强级是98d8,高速列车的声强级为45dB,则普通列车的声强是高速列车声强的_102

倍.

【分析】根据已知条件，结合指数与对数的互化及指数的运算性质，即可求解.

解：•.•L=101g(一士运)，普通列车的声强级是9848,高速列车的声强级为45四,

1012

L1亚1n9.5-12

皿产以故右右口。5

故答案为：105.

9.若存在实常数出和6,使得产(%)和G(%)对其公共定义域上的任意实数x都满足；F

(x)Nkx+b和G(x)Wkx+b恒成立，则称此直线y^kx+b为F(x)和G(x)的“分

隔直线”.已知函数/(x)=-/(x€R),g(x)(x>0),若/(x)和g(x)之

X

间存在“分隔直线”，则b的取值范围为[0,4].

【分析】设f(X)和g(X)的“分割直线”为y=kx+b9则必有-*Wkx+b及工2kx+b

x

(x>0)恒成立，由此可到FW4b及力2<-4%恒成立，由此可得解.

解：设/CO和gCO的“分割直线”为y=kx+b,

2

由函数f(x)=-x(A-6R),g(x)=—(x>0),的图象及题意可知，必有-fWAx+Z?

X

及工2kx+b(x>0)恒成立，

X

・・・〃对任意实数X都成立，则△|=尸-40W0恒成立，即22W助恒成立；

,.,工2米+/?对任意x>0都成立，即履2+bx-1W0对任意x>0都成立，则ZWO,A2=

x

〃+4攵W0恒成立，即by-4攵恒成立，

・・・〃W16RW64b,

：.b(b-4)(尻+4>16)WO

・・・0WbW4,

即〃的取值范围为[0,4].

故答案为：［0,4］.

ax-b|，若对任意的实数。，乩总存在x°E点，5］使得/(xo)

10.设函数f(x)二=|x

X

N机成立，则实机数的取值范围是_(-8,

5

【分析】函数f(x)=|x+-L-ax-b|表示函数g(x)=x」与函数〃(x)=ar+b横坐标

XX

相等时，纵坐标的竖直距离，作出图象，分析当“(X)位于直线“与直线乙2正中间时，

函数/(x)的最大值最小，利用对勾函数的性质，分析求解即可.

解：由题意，函数f(x)=|x+§-ax-b|表示函数g(x)=x+■与函数〃(x)=如+6横

坐标相等时，纵坐标的竖直距离，

作出函数g(x)=xd的图象如图所示,

26

由图可知，当h(X)位于直线心与直线乙2正中间时，函数/(X)的最大值最小,

直线匕的方程为y=g(4)=g(5)=孕，

55

因为g(x)=乂」■是对勾函数，

X

由对勾函数的性质可得，直线乙2的方程为y=g(1)=2,

T-2

所以8_.

[f（X）max]min-2

5

所以

5

则实〃?数的取值范围是(-8,-I］.

5

故答案为:(-8,咯］.

D

11.如图，函数/(X)的图像由一条射线和抛物线的一部分构成，/(X)的零点为若

不等式/(元+/)2/(x)(。六0)对AGR恒成立，则实数a的取值范围是

(-8,-平](J[平,”)一

00

/OI2x

【分析】利用待定系数法求出射线与抛物线的方程，令/(X)=t(1</<2),设函数y

=f(x)的图象与直线y=，交点的横坐标分别为XI,X2,X3且X|<X2〈X3,将问题转化为

序》(X3-X1)max,分别求出X”X2,孙求出(83-Xl)“MX,即可得到〃的不等关系，求

解即可.

解：由题意可知，射线经过点([，0),(1,2),

则射线的方程为y-1x4(x41)，

OO

当了21时，设/(x)=m(x-2)2+1(%2>0),

因为/(I)=〃?+1=2,解得加=1,

所以当尤21时，f(x)=(x-2)2+1,

函数>=/(]+。2)的图象可以看作函数y=/(x)的图象向左平移/个单位长度，

令/(x)=t(l<r<2),

设函数y=f(幻的图象与直线交点的横坐标分别为即，X2,X3且X1VX2VX3,

由题意可知，〃之2(X3-X1)max9

人42板砥3t-2

令qxa二t，触得x[_一4一，

令(X-2)2+1=6解得X2=2f/t-l，Xg=2+7t-l»

所以x3-x]=2-n/t-l-3；2,

令四37，则0<日<1，

则>3-x广2+.-3(宁)-.2尸亭U等2噌《将

所以(Xq-Xi)也,

\3A1zmax12

则。2》常，解得@<墨或a>^，

所以实数“的取值范围为(-8,-2叵](J5返，一)・

66

故答案为：(-8,-至返](J[下返，=)♦

66

12.已知数列｛方｝满足沏=0且以+1|=以一1+2|,依N*,则|X|+X2+X3+…+X2021I的最小值是69.

【分析】利用题中的条件，可知为是整数，对加+1|=以一共2|进行两边平方，然后对两边

分别求和，移项变形，即可解出.

解：由数列｛/｝满足沏=0且以+1|=以一i+2|,在N*,

可知见是整数，对以+1|=由-1+2|进行两边平方得，乂/+2元计1=阳_]2+4叫-1+4,

**•x।^+2xi+l=x02+4沏+4,

x2^+2X2+1=x]2+4XI+4,

•*-Xg2+2%3+1=X22+4工2+4,

22

Ax+

2021^o2i+l=x202o+4QO2O+4,

把这2021个式子相加，可得

(Xj^+X2^+*e，+X2Q20^+x2021(xi+X2+•••+X2020+X2021)+1X2021

=(。+x]2+X?2+•••+X202O2)+4(0+x1+X2+•••+X2020)+4X2021,

移项可得X20212+2%2021=2(XI+X2+・・・+X2020)+6063,

即x2021+4工2021+4=2(xi+Q+•••+X2020+X2021)+6067,

+2)2=2(xi+X2+•••+X2020+X2021)

:.(x2Q2i+6067,

..,,,,.1(Xonni+2)2-6067.

..|x1+X2+•••+X2020+X20211=|___________|.

2

易知，当女为偶数时，瞬为偶数，4为奇数时，公为奇数，故X202I+2为奇数.

要使用+x2+・・・+X2020+x202il最小，需|_^红?曰也I最小，需出宽1+2)2应和6067

最靠近.

由于772=5929,792=7821,

•/当X2021+2=77时,|X]+冗2+,••+%202。+入20211=I'，2021+2)6°67]=69,

2

2

X202i+2=79时，仇1+X2+…+X2O2O+X2O2||=I_^21L1^__^Z_|=87,

2

故答案为：69.

二、选择题

13.已知依R,则“对任意m昵R,。2+加》履戏是“&W2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】由题意任意〃、於R都成立，看成关于“的二次不等式，利用判别式即可求解,

再结合充要条件判断即可.

解：•；。2+〃2-履/720对任意461t都成立，

；.△=(kb)2-4/W0

即h2(3-4)WO

对任意bER都成立

即4-N》0成立，

故在[-2,2],

又因为[-2,2阵(-8,2]

所以“对任意mb&R,必时》皿”是“kW2”的充分不必要条件,

故选：A.

14.等差数列｛%｝中，0,。3,。4为等比数列，则公比为()

A.1或工B.—C.-D.1

222

【分析】设等差数列｛如｝公差为乩由条件可得(m+2d)2=0(m+3d),解得d=O或

“i=-4d,在这两种情况下，分别求出公比的值.

解：设等差数列｛"”｝公差为d,：可，的，0t成等比数列,

.".aj2=a\a4,即(ai+2t/)2=a\(ai+3"),解得J=0或〃i=-44.

若d=0,则等比数列的公比g=l.

a3-2d1

若m=-4d,则等比数列的公比q

a［~4d2

故选：A.

15.已知a,b€R,则“a+网>0”是“函数f(x)=中+1|+如-1|存在最小值”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件

【分析】由题意函数/(x)=仇什"+爪X-1|是连续的函数，可得在［-11］内必有最大值和

最小值，只考虑xW-1或时/(x)有最小值，进而求出a+b^0,结合a+b^0和

。+|例》0的关系即可得出答案.

解：因为/(x)是连续的函数，所以在［-1.1］内必有最大值和最小值，

所以考虑xW-1或x与l时/(x)有最小值即可，

-(a+b)x+b-a,x4一l

由题意得，f(x)="(a-b)x+a+b,

(a+b)x+a-b,x>l

若f(x)有最小值，则当x2l时必有a+b20,否则/(x)单调递减，无最小值；

同理，当xW-1时必有-(a+b)W0即4+6>0,否则/(x)单调递增，无最小值，

所以/(尤)存在最小值="+620,又a+\b\^O是a+b^O的必要不充分条件，

所以〃+以20是V(%)存在最小值”的必要不充分条件.

故选：C.

2.1

16.已知数列｛%｝满足：当时，a,=——；当%=0时，a«+i=0；对于任意实数

2an

则集合｛“I斯WO,n=\,2,3,♦•,｝的元素个数为()

A.0个

B.有限个

C.无数个

D.不能确定，与⑶的取值有关

【分析】讨论0=0,0=±1,和0#土I且0WO三种情况，根据题意可以得到：若

an>1,则a„+i>0；若0<a„<1,则斯+iV0；

若则a“+i>0；若&VT,则a,,+i<0.

不妨从0>1时开始讨论，得到“2,。3,如，…的符号，最后得到答案.

解：当41=0时，根据题意，则"2=43=04=3=0，则集合的元素有无数个；

当0=±1时，则42=0,根据题意，则°3=。4=i=0,则集合的元素有无数个；

当41W±1且“|WO时，a+1=^-x(a

Nan

若%>1,则小+|>0；若贝1]%+|<0；

若-l<a”<0,则即+1>0；若则a“+i<0.

-

而a„+i-a„=-^-x(a-匚)-a(an/),贝!I如>0时，数列递减且无下限(X)；

2an2an

。“>0时,数列递增且无上限(*).

(1)若。|>1,则斯+1-%>0,根据(X)可知，在求解4”。2,…的迭代过程中，终

有一项会首次小于0,不妨设为以(k>i,Kez)；

(2)若像<-1,贝！jat+i<0；

①若a*+l<-l,则以+2V0,接下来进入(2)或(3)；

②若-1<依+1<0,接下来进入(3)；

(3)若-1<公<0,则四+|>0,接下来进入(1)或(4)；

(4)若0<像<1,则痣+|<0,接下来进入(2)或(3).

若则进入(4).

若则进入②.

若0<-1,则进入①.

如此会无限循环下去，会出现无限个负数项.

综上：集合｛川。“<0,n=\,2,3,…｝的元素个数为无数个.

故选：C.

三、解答题

17.己知关于x的不等式ax1-x+1-aWO.

(1)当。>0时，解关于x的不等式：

(2)当2WxW3时，不等式or2-x+1-aWO恒成立，求实数a的取值范围.

【分析】(1)不等式化为(%-1)(ar+a-1)W0,再分类讨论两根的大小，求出对应

不等式的解集即可.

(2)不等式化为a(x2-1)Wx-1,即“W―J恒成立，求出f(x)=在xe[2,3]

x+1x+1

时的最小值即可.

解：(1)不等式ax1-x+1-可化为(x-1)(ax+a-1)WO,

当a>0时，不等式化为(x-I)(%--)W0,

a

①当上3>1,即ova〈事寸，解不等式得KW上生，

a2a

②当上3=1,即“=工时，解不等式得*=1,

a2

③当上3<1,即“〉」时，解不等式得上生WxWl.

a2a

综上，当0<。<!时，不等式的解集为31WxW上三},

当时，不等式的解集为口仇=1},

当。>《时，不等式的解集为上生WxWl}.

2a

(2)由题意不等式ar2-x+1-aWO化为a(x2-1)Wx-1,

当疣[2,3]时,x-1G[1,2],且x+1曰3,4],

所以原不等式可化为恒成立，

x+1

设/(X)=」;，xe[2,3],则/(x)的最小值为/(3)=',

x+14

所以a的取值范围是(-8,1].

18.已知函数/(%)=5-3x,g(x)=3x-2.

(1)若h(x)=/(x)I-|g(x)I，且/i(x)恒成立，求实数机的最小值；

(2)若0(x)=Mf(x)Zg(x),求中(X)的值域.

【分析】(1)利用绝对值不等式求出力CO的最大值，即可得到答案；

(2)表示出(p(x),求出(p(%)的定义域，利用二次函数图象与性质求解(p2(x)的

范围，即可得到函数(p(x)的值域.

解：(1)函数/(x)=5-3x,g(x)=3x-2,

则h(x)=|f(x)|-\g(x)|=|5-3x\-|3x-2区I(5-3x)+(3x-2)|=3,

所以〃(x)的最大值为3,

因为力(x)Wm恒成立，，

则h(x)maxWm,

所以加23,

故实数"?的取值范围为[3,+8).

⑵。(x)=Vf(x)-h/g(x)=V5-3x+V3x-2,

所以叩(x)的定义域为［-1,当，

因为铲a)=3+2V-9x2+21x-10e［3,6】，

故(P(x)eEV3>遥］，

故隼CO的值域为［愿，V61.

19.科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动

造成的二氧化碳排放所致.应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳

达峰，而后实现碳中和.2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在

2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作

报告明确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展

清洁电能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%,

2021年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%.

(1)设从2021年开始的〃(〃€N*)年内火电发电总量为S”亿千瓦时，清洁电能总发电

量为7；亿千瓦时，求S”Tn(约定〃=1时为2021年)；

(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？

【分析】(1)根据已知条件，结合等比数列的前〃项和公式，即可依次求解.

(2)设从〃年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量，即A>S”再结合对数

函数的公式，即可求解.

解：(1)S„=8+8(1-20%)+8(1-20%)2+...+8(1-20%)«-1=

7；=4+4(l+25%)+4(+25%)2+・・・+4(l+25%)"r=4X25)=-16(1-1.25").

1-1.25

(2)设从〃年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量，即

40(1-0.8")<-16(1+1.25"),解得1.25”>1•或L25"<1(舍去)，

5

坨万Ig5-lg21-21g2,,

故

log过c--I-g-5---l-g-4=-1---3-1-g-2-=41，

4

故当〃=5时，T„>Sn,

即从2025年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量.

20.已知函数y=/(x)的定义域为。，若存在实数a,b,对任意的在。，有24-在。，且

使得f(x)+f(2a-x)=26均成立，则函数y=/(x)的图像关于点(a,b)对称，反

之亦然，我们把这样的函数/(x)叫做“中函数.

(1)已知“中函数"y=f(x)的图像关于点(1,2)对称，且xe(0,1)时，f(x)=x-4；

X

求正(1,2)时，函数/(X)的解析式；

(2)已知函数f(x)=心三问/(*)是否为“中函数”？请说明理

x+1x+2x+3x+4

由；

(3)对于不同的“W函数(x)与g(x),若/(x)、g(x)有且仅有一个对称中心,

分别记为分,p)和(〃，q),

①求证：当时，f(JC)+g(x)仍为函数"；

②问：当〃?#〃时，f(x)+gJ)是否仍一定为“中函数”？若是，请说明理由；若不

一定是，请举出具体的反例.

【分析】(1)xC(1,2)时，2-xe(0,1),利用函数y=/(x)的图像关于(1,2)

对称，即可求出/(x)：

(2)求出f(x)tM-5-x)=8,得到函数f(x)的对称中心，结合“中函数”的定义,

即可判断得到答案；

(3)①证明函数f(x)+g(x)关于点(m,詈)对称，结合“卬函数”的定义，即可

证明；

②利用“中函数”的定义分析判断即可.

【解答】(1)解：当xe(1,2)时，2-xe(0,1),

又函数y=f(x)的图像关于(1,2)对称,

所以/(x)=4-f(2-x)=4-(2-x----)=x+2-i—―,

2-x2-x

故xC(1,2)时，函数/(x)的解析式为了(X)=x+2+J

2-x

1____L11

(2)解：函数f(x)=

x+1x+27^3x+4

1_____]___1]

所以f(-5-x)=4~

-4~x-3-x-2-x-1-x

故/(x)+f(.-5-x)=8,