2021-2022学年上海交大南洋中学高一数学文月考试卷含解析

2021-2022学年上海交大南洋中学高一数学文月考试卷

含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

xM-1或为之1

〃力=，

1.设IT<X<1,g(x)是二次函数，若/L㈤]的值域是[038),则

g(x)的值域是

()

A.(-co,-l]U[l,-K)o)B.(-ro-l]U[0,-K»)

C.[0版)D.[1,•⑹

参考答案：

C

略

K5

—<a<-n

36,则cosa的值是()

3-4-4-3招话-33-动

A.10B.10C.5D.5

参考答案：

A

【分析】

(X1

COS

由已知利用同角三角函数基本关系式可求16J的值，进而根据两角差的余弦函数

公式，即可得出结果.

n、女］(n、£•(£、.宗

_+Q-—|=cos—+acos—+sm—4-asin—

K6)6］16J616J6

—231一上空

L5J25210

故选：A.

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化

简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

3.根据表格中的数据，可以断定方程。*-2*-5=0的一个根所在的区间是（）

X01234

ex12.727.3920.0954.60

2x4-55791113

A.。［)B<2)

C.(2,3)D,(3,4)

参考答案:

C

sina-2cosa

一5,那么tana

4.已知3sina+5cosa的值为（）

2323

A>—2B、2C、16D、-16

参考答案:

D

略

5.半径为五的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）

B.州

A.2局c/

参考答案：

C

略

6.

己次03+sin2/74-2Z>(2^/2+sin(^+—)+-”-----对于

4g-⑶

/恒成立，则曲J取值范围是()

2

A.Z>4B.Z>3c.l>2D.l>-2

参考答案：

B

7.函数y=-x?+x-1图象与x轴的交点个数是()

A.0个B.1个C.2个D.无法确定

参考答案：

A

【考点】二次函数的性质.

【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用.

【分析】利用二次函数的性质判断求解即可.

【解答】解：函数y=-x'+x-1,开口向下，又△=1-4X(-1)(-1)=-3<0.

抛物线与x轴没有交点，

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力.

8.设全集。={1,2,3,4},集合S={1,2},T={2,3},则(分“，等于()

A.{2}B.{3}C.{4}D.{2,3,4}

参考答案：

B

【分析】

根据补集和并集的定义可计算出集合(G5)117.

【详解】由题意可得分={34},因此，(分)“,={3}

故选：B.

【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.

<1

9.在xG[O,2%]上满足cosx2的x的取值范围是()

xn5irn2x51r

AJO,3]B,f3,3]C.[3,3]D.[3,乃I

参考答案：

B

【分析】

1x5JC

cosr=—x=一,——

先求2时，33,再判断不等式的解集

1x5x,1x5n]

cosv——X.=—,—cosx,♦_xe—,—I

【详解】2时，解得33,则2,那么L33」，故选B

10.圆心坐标为(1,一1)，半径长为2的圆的标准方程是()

A.(X-1)2+(J+1)2=2B(x+l)2+(y-l)2=2

22

c.任一球+廿+以=4D(x+l)+(y-l)=4

参考答案：

C

【分析】

根据圆的标准方程的形式写.

【详解】圆心为(L-1),半径为2的圆的标准方程是(工-1)2+(产+1)2

故选C.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11,已知元素(XJ)在映射」下的象是(x+2乂2x-y),则3D在/下的原象

是.

参考答案：

(U)

12.已知角)的终边经过点工(一么，4a),其中。<0,贝ijsina的值等于。

参考答案：

_4

~5；

13.对于函数+2%在使得/(x)3M成立的所有常数M中，我们把M的最大值

河吨=-1叫做/⑶=7+2*的下确界,则对于&NR,且ab不全为0,S+a的下确

界是____________________

参考答案：

J

2

14.已知数列｛小｝的前〃项和Sa=二一I那么数列｛斯｝的通项公式为

参考答案：

10.»=1

[2n-l,n>2

15.若基函数y=(m2-2m-2)x"'…在(0,+~)上为减函数，则实数m的值是

参考答案：

3

考点：幕函数的概念、解析式、定义域、值域.

专题：计算题；函数的性质及应用.

分析：根据给出的函数为嘉函数，由黑函数概念知产-m-1=1,再根据函数在（0,+8）

上为减函数，得到幕指数应该小于0,求得的m值应满足以上两条.

解答：解：因为函数丫=（m2-2m-2）x』一既是塞函数又是（0,+~）的减函数，

（蚌3或正-1

2

,m-2m-2=1\>_1

所以I-4m-2<0,?2工,解得：m=3.

故答案为:m-3.

点评：本题考查了幕函数的概念及性质，解答此题的关键是掌握幕函数的定义，此题极易

把系数理解为不等于0而出错，属基础题

xy2工2

16.设正实数x,y,z满足x「3xy+4y2-z=0,则当；"取得最大值时，7+3-9的最大

值为.

参考答案：

1

【考点】7F：基本不等式.

【分析】由正实数x,y,z满足x?-3xy+4y2-z=0,可得z=x2-3xy+4y于是

]

叁丁与一2三2-3

z=xZ-3xy4-4y%yx0,利用基本不等式即可得到最大值，当且仅当x=2y>0时取

222--1）2+1

等号，此时Z=2y2.于是x+y-z=Zyy2y=y\再利用二次函数的单调

性即可得出.

【解答】解：由正实数x,y,N满足4-3xy+4y之-z=0,♦,.z=x2-3xy+4y匚

]<]_

卫丁理一2三包-32A叵互-3

z=x-3xy+4y=yxYyx=1,当且仅当x=2y>0时取等号，此时

z=2y2.

212-__i）2i2工2

Ax+y-z=Zyy2y=+g,当且仅当y=l时取等号，即x+y-z的最

大值是1.

故答案为L

4sina-2cosa

17.已知tana=3,则5cosa+3sina的值__.

参考答案：

7

【考点】GK：弦切互化.

【分析】把分子分母同时除以cosa,把弦转化成切，进而把tana的值代入即可求得答

案.

4sina-2cosa4tana-24-3-2_5

【解答】解：5cosCl+3sinCl=5+3tanCl=5+3X3=7

_5

故答案为：T

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.如图,已知正方体ABCD-AiBCiC，E为8口的中点.

(1)求证：直线AC_L平面SBQDi；

(2)求证:OEII平面AC8.

参考答案:

(1)证明：在正方体用6-44CIA中，平面他团,

平面二起，4A.................................2分

在正方形4SO中，JCLBD,...................4分

又及，仁平面用皿4,43匚平面旦皿「曲|1耳8=耳

二直线4C_L平面

网友科

.........7分

Cl

(2)证明：设*0的=5连结

在正方体ABCD-44WA中,“空叫"所以四边形4即2是平行四边形.

则有

早刊皿

........9分

---分别为为取V®的中点，二区啖

---四边形40ns是平行四边形.

-ZW口组......................11分

又用u平面麓gy平面

二DE//平面加4............14分

19.定义在D上的函数f(x),如果满足：对任意xGD,存在常数M>0,使得If(x)

|WM成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f

1-q,2X

(x)=4-x+p?2-x+l,g(x)=1+q*2X.

(I)当P=1时，求函数f(x)在(-8,o)上的值域，并判断函数f(x)在(-8,

0)上是否为有界函数，请说明理由；

q€(0,返］

(II)若2」，函数g(x)在［0,1］上的上界是H(q),求H(q)的取值范

围；

(111)若函数f(x)在［0,+8)上是以3为上界的有界函数，求实数p的取值范围.

参考答案：

【考点】函数与方程的综合运用.

11

【分析】(I)当a=l时，f(x)=1+(2)x+(4)x,可判断f(x)在(-8,o)上

的单调性，由单调性可得求得f(x)在(-8,0)上的值域，由值域可判断函数f(x)

在(-8,0)上是否为有界函数.

2

(IDg(x)=l+q-2x-1,易判断g(x)在［0,1］上的单调性，由单调性可求得g

(x)的值域，进而求得：g(x)的值域，由上界定义可求得H(q)的范围；

(III)由题意知，|f(x)|W3在［0,+8)上恒成立，即-3Wf(x)W3恒成立，设t=

(5)x,te(0,1］,则转化为3Wl+pt+t?W3恒成立，分离参数p后转化为求函数最值

即可解决；

11

【解答】解：(I)当a=l时，f(x)=1+(~2)x+(7)x,

因为f(x)在(-8,0)上递减，

所以f(x)>f(0)=3,即f(x)在(-8,0)的值域为(3,+8),

故不存在常数M>0,使|f(x)|WM成立.

所以函数f(x)在(-8,0)上不是有界函数.

2

(II)g(x)=l+q*2X-1,Vq>0,xE［0,1］,；.g(x)在［0,1］上递减，

1-2q<g(x)<^—

.'.g(1)Wg(x)Wg(0),即l+2q1+q,

&1-q1-2q

Vq6(0,2］,A1+q|2|l+2q|,

1-q

.Mg(x)W1+q,

l-q1-q

H(q)1+qI，即H(q)的取值范围为［1+q,+<«).

(Ill)由题意知，|f(x)|W3在［0,+8)上恒成立，

设t=(2),te(0,1］,由-3Wf(x)W3,得-3Wl+pt+t?W3,

4_2

_(t+T)WpW^-t在(o,i］上恒成立,

12

设h(t)=-t-t,m(t)=t-t,则h(t)在(0,1］上递增；m(t)在(0,1］上递

减，

所以h(t)在(0,1］上的最大值为h(1)=-5；m(t)在(0,1］上的最小值为m(1)

=1,

所以实数P的取值范围为［-5,1］.

20.(本小题满分9分)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：

(1)两数之和为5的概率；

(2)两数中至少有一个奇数的概率；

(3)以第一次向上点数为横坐标X,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆

x?+y2=15的内部的概率.

参考答案:

解:将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件

(1)记''两数之和为5”为事件A,则事件A中含有4个基本事件，

A__\

所以P(A)=36-9；答：两数之和为5的概率为

9.。。。。。。。。。。。。。36)

(2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B,则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，

所以P(B)=364；答：两数中至少有一个奇数的概率

3

4.。。。。。。。。。。6

分组频数孵

[10,20)180.15

[20,30)300.25

[30,40)420.35

[40,50)240.2

[50,60)60.05

(3)基本事件总数为36,点(x,y)在圆x?+y2=15的内部记为事件C,则C包含8个事

_8__22

件，所以P(C)=36-5.答：点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率§。。。。。9分

略

21.(13分)已知函数f(x)=x2+|x-a|+l,x6R,aWR.

(1)讨论函数的奇偶性；

(2)若函数f(x)的最小时为g(a),令m=g(a),求m的取值范围.

参考答案：

考点：函数奇偶性的判断；函数的图象.

专题：函数的性质及应用.

分析：(1)根据函数奇偶性的定义进行判断；

(2)若函数f(x)的最小时为g(a),令m=g(a),求m的取值范围.

解答:(1)若a=0,则f(x)=x2+|x|+L

f(-x)=(-x)2+|-x|+l=x2+|x-a|+l=f(x),此时f(x)为偶函数,

若aWO,(0)=l+|a|W0,/.f(x)不是奇函数，

Vf(1)=2+|1-a|,f(-1)=2+|a+l|,

Af(-1)Wf(1),则函数不是偶函数；

即a#0时，f(x)为非奇非偶函数.

13

(2)当xWa时，f(x)=(x-2)2+a+4.

1

a<2,函数f(x)在(-8,a］上单调递减.

从而函数f(x)在(-8,a］上的最小值为g(a)=f(a)=a?+l；此时m>aa+L

1131

a22时，函数f(x)在(-8,a］上的最小值为g(a)=f(